2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线教学案含解析.pdf
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1、第七节 抛物线第七节 抛物线 考纲传真 1.掌握抛物线的定义、 几何图形、 标准方程及简单几何性质(范围、 对称性、 顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 1抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程与几何性质 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0)标准方程 p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标O(0,0) 对称轴x轴y轴 焦点坐标F(p 2,0) F(p 2,0) F(0,
2、p 2) F(0,p 2) 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围x0,yR Rx0,yR Ry0,xR Ry0,xR R 开口方向向右向左向上向下 常用结论 与抛物线有关的结论 (1)抛物线y22px(p0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|x0 ,也称为抛 ( p 2,0) p 2 物线的焦半径 (2)y2ax(a0)的焦点坐标为,准线方程为x . ( a 4,0) a 4 (3)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦, 若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2p2. p2 4 弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角) 2p s
3、in2 以弦AB为直径的圆与准线相切 通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于 2p,通径是过焦点最短的弦 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准 ( a 4,0) 线方程是x .( ) a 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 ( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2抛物线yx2的准线方程是( ) 1 4 Ay1 By
4、2 Cx1 Dx2 A A yx2,x24y,准线方程为y1. 1 4 3(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1,则点M的纵坐标是 ( ) A. B. C. D0 17 16 15 16 7 8 B B M到准线的距离等于M到焦点的距离, 又准线方程为y, 设M(x,y), 则y 1 16 1 16 1,y. 15 16 4(教材改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点, 如果x1x26,则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 B B 抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.根据题意可得,|PQ|PF| |QF|x
5、11x21x1x228. 5(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4), 则该抛物线的标准方程为_ y28x或x2y 设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0) 将P(2, 4) 代入,分别得方程为y28x或x2y. 抛物线的定义与应用 【例 1】 设P是抛物线y24x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|PF|的最小值为 _ 4 4 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|P1F|.则有|PB| |PF|P1B|P1Q|BQ|4,即|PB|PF|的最小值为 4. 拓展探究 (1)若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB
6、|PF|的最小值 (2)若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y24x,直线l的方程为xy50, 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1d2的最小值 解(1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部 |PB|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0), |PB|PF|BF|2,42225 即|PB|PF|的最小值为 2.5 (2)由题意知,抛物线的焦点为F(1,0) 点P到y轴的距离d1|PF|1, 所以d1d2d2|PF|1. 易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离, 故d2|PF|的最小值为3, |15| 1212 2 所以d1d2的最小值为 31
7、.2 规律方法 与抛物线有关的最值问题, 一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线 想焦点,看到焦点想准线” ,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (1)已知P是抛物线y24x上的一个动点,Q是圆(x3)2(y1)21 上的 一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|PN|的最小值为( ) A3 B4 C5 D.12 (2)动圆过点(1,0),且与直线x1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_. (1 1)A A (2 2)y24x (1)由抛物线方程y24x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0), 所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21 的圆心M作抛物线准线的垂线MH,
8、交圆于Q,交 抛物线于P,则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13. (2)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. 抛物线的标准方程与几何性质 【例 2】 (1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为 6,那么抛物线的标准方程是 ( ) Ax2y Bx2y或x2y 1 12 1 12 1 36 Cx2y Dx212y或x236y 1 36 (2)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点, 交C的准线于D,E 两点已知|AB|4,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为( )2
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