2020版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第2节用样本估计总体教学案含解析.pdf
第二节 用样本估计总体第二节 用样本估计总体 考纲传真 1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折 线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准 差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用 样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征理解用 样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 1作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图 2频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折 线图 (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频 率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 3茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以记录所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都 能带来方便. 注意：茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数 4样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数 据的平均数)叫做这组数据的中位数 (3)平均数：把称为a1，a2，an这n个数的平均数 a1a2an n (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，xn的平均数为，则这组数据的标准差 x 和方差分别是 s 1 nx 1 x2x2 x2xn x2 s21 nx 1 x2x2 x2xn x2 常用结论 1频率分布直方图的 3 个结论 (1)小长方形的面积组距×频率 频率 组距 (2)各小长方形的面积之和等于 1. (3)小长方形的高，所有小长方形高的和为. 频率 组距 1 组距 2平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的 x 平均数是ma. x (2)数据x1，x2，xn的方差为s2. 数据x1a，x2a，xna的方差也为s2； 数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2. 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 ( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( ) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高 ( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数 据可以只记一次( ) 答案 (1) (2)× (3) (4)× 2(教材改编)一个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率为 0.25，则该组样本的频数 为( ) A4 B8 C12 D16 B B 设频数为n，则0.25，n32× 8. n 32 1 4 3(教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的 中位数和平均数分别是( ) A91.5 和 91.5 B91.5 和 92 C91 和 91.5 D92 和 92 A A 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96， 中位数是91.5，平均数91.5. 9192 2 x 8789909192939496 8 4某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为35,40)，40,45)，45,50)，50,55)，55,60，由此得到 频率分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的有_人 4848 由频率分布直方图可知 45 岁以下的教师的频率为 5×(0.0400.080)0.6，所以 共有 80×0.648(人) 5已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_ 0 0.1 1 5 个数的平均数5.1， 所以它们的方差s2 (4. 7 x 4.74.85.15.45.5 5 1 5 5.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1. 茎叶图的应用 1(2019·成都检测)某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则 此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( ) A117 B118 C118.5 D119.5 B B 22 次考试中，所得分数最高的为 98，最低的为 56，所以极差为 985642， 将分数从小到大排列，中间两数为 76,76，所以中位数为 76， 所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 4276118. 2(2019·泉州质检)某中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段测试中 两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数 是 89，则nm的值是 ( ) A5 B6 C7 D8 B B 由甲组学生成绩的平均数是88，可得 88，解得m3.由乙组学生成绩的中位 7080 × 390 × 384682m5 7 数是 89，可得n9，所以nm6，故选 B. 规律方法 茎叶图中的三个关注点 1“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一. 2重复出现的数据要重复记录，不能遗漏. 3给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心” 下移者平均数较大，数据集中者方差较小. 样本的数字特征及应用 1(2019·济南一中质检)2018 年 2 月 20 日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一 摩拜单车免费骑”活动为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小 时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为 ( ) A9 B4 C3 D2 B B 由茎叶图得该组数据的平均数 (8789909193)90. x 1 5 方差为 (8790)2(8990)2(9090)2(9190)2(9390)24. 1 5 2甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( ) 甲 乙 A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 C C 甲 的 平 均 数 是 6， 中 位 数 是 6， 极 差 是 4， 方 差 是 45678 5 2； 乙的平均数是6， 中位数是 5， 极差是 4， 2212021222 5 55569 5 方差是，故选 C. 1212120232 5 12 5 3甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了 5 次，成绩如下 表(单位：环)： 甲108999 乙1010799 如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的最佳人选应是_ 甲 甲乙9，s ×(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2 ， x x 2 甲 1 5 2 5 s ×(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2 s，故甲更稳定 2 乙 1 5 6 5 2 甲 规律方法 1众数、中位数、平均数及方差的意义,平均数与方差都是重要的数 字特征，是对总体的一种简明地描述；平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标 准差描述波动大小. 2在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论. 频率分布直方图及应用 考法 1 求样本的频率、频数 【例 1】 (2019·石家庄检测)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)， 制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为 17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中 每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( ) A56 B60 C120 D140 D D 由直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.160.080.04)×2.5 0.7，则每周自习时间不少于 22.5 小时的人数为 0.7×200140.故选 D. 考法 2 频率分布直方图与样本的数字特征的综合 【例 2】 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水 情况进行了调查通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)将数据 按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 (1)求直方图中a的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数 解 (1)由频率分布直方图可知：月均用水量在0,0.5)内的频率为 0.08×0.50.04. 同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5×a0.5×a， 解得a0.30. (2)由(1)知， 该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.060.040.020.12. 由以上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.1236 000. (3)设中位数为x吨 因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.210.250.730.5， 又前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.480.5， 所以 2x2.5. 由 0.50×(x2)0.50.48，解得x2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨 规律方法 1.频率、频数、样本容量的计算方法 (1)×组距频率； 频率 组距 (2)频率，样本容量，样本容量×频率频数 频数 样本容量 频数 频率 2频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘 以小长方形底边中点的横坐标之和 易错警示：1.频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率，切莫与条形图混淆 频率 组距 2制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确 (1)为了了解某校高三学生的视力情况， 随机地抽查了该校 100 名高三学生的 视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后 5 组频数和为 62， 设视力在 4.6 到 4.8 之间的学生数为a，最大频率为 0.32，则a的值为( ) A64 B54 C48 D27 B B 前两组中的频数为 100×(0.050.11)16. 因为后五组频数和为 62，所以前三组为 38.所以第三组频数为 22.又最大频率为 0.32 的 最大频数为 0.32×10032.所以a223254. (2)某班 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区间是 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100 若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方 图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比 如表所示，求数学成绩在50,90之外的人数 分数段50,60)60,70)70,80)80,90 xy11213445 解 估计这次语文成绩的平均分55×0.0565×0.475×0.385×0.2 x 95×0.0573. 所以这 100 名学生语文成绩的平均分为 73 分 分别求出语文成绩在分数段50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人数依次为 0.05×1005,0.4×10040,0.3×10030,0.2×10020. 所以数学成绩分数段在50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人数依次为 5,20,40,25.所以 数学成绩在50,90之外的人数有 100(5204025)10(人). 1(2018·全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现 翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的 经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是( ) A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 A A 设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为 2x. 建设前种植收入为 0.6x，建设后种植收入为 0.74x，故A不正确； 建设前其他收入为 0.04x，建设后其他收入为 0.1x，故B正确； 建设前养殖收入为 0.3x，建设后养殖收入为 0.6x，故 C 正确； 建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的 58%，故 D 正确 2(2017·全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的 亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量 稳定程度的是( ) Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差 Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数 B B 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程 度，应该用样本数据的极差、方差或标准差故选 B. 3(2017·全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的 折线图 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 A A 对于选项A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份，故A错； 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项 C，D，由图可知显然正确 故选 A. 4(2016·全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均 最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为 15 ，B点表示 四月的平均最低气温约为 5 .下面叙述不正确的是( ) A各月的平均最低气温都在 0 以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20 的月份有 5 个 D D 对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在 0 以上，A正确；对于选项B，七 月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温 点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项 C，三月和十一月 的平均最高气温均为 10 ， 所以 C 正确 ； 对于选项 D， 平均最高气温高于 20 的月份有七月、 八月，共 2 个月份，故 D 错误 自我感悟：_ _ _
