特殊平行四边形二初二数学主讲教师邓兰萍.ppt

特殊平行四边形（二） 初二数学 主讲教师:邓兰萍,正方形 一完美的正方形: .是更特殊的平行四边形:具有平行四边形的一般特征; .是特殊的矩形:有一组邻边相等的矩形; .是特殊的菱形:有一个角是直角的菱形; .是中心对称图形又是轴对称图形有四条对称轴 . 如图:,二.正方形的特征 .边:四条边相等; AB=BC=CD=DA .角:四个角相等; A=B=C=D=90° .对角线:相等且互相垂直平分; AC=BD,ACBD, AO=OC,BO=OD .O是正方形ABCD的对称中心, 直线AC.BD.EF.GH都是它的对称轴.,三.正方形的识别: 说明:根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,遇到具体问题时,可以本着先判断是平行四边形,再判断是矩形或菱形,进而得到正方形.,四.其它: .与正方形相关的三角形:等腰直角三角形. 图形分解: .正方形的面积: S正方形=a 2 = l 2,3.正方形问题中常见的图形变换: （）,（）,五.正方形知识的应用: 例.已知:如图,E是正方形ABCD中BD 上一点,且BEBC, 求:DCE的度数.,分析:正方形ABCD对角线BD平分ABC, 故BCD是等腰Rt,DBC45,由 条件可知BEC为等腰,BCE可求, 进而利用正方形特征可求DCE度数.,解正方形ABCD ABCBCD90 又BD平分ABC BEBC 在BEC中由内角和可知 DCEBCDBCE9067.522.5,例.如图,ABC中,ACB=90°,CD是角平分线,DEAC于E,DFBC于F.试说明DFCE为正方形的理由.,分析:判断正方形可先确定四边DFCE为矩形或菱形 证明:ACB90 又DEAC于E,DF BC于F CEDCFD90 四边形DFCE为矩形,（有三个角是直角的四边形是矩形） CD是ABC的角平分线 DEDF（角平分线上的点到角的两边距离相等） 矩形DFCE为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）,例.如图,E是正方形ABCD内一点,且ABE是等边三角形. 求:BED的度数.,分析:由于正方形ABCD与正三角形ABE边等,因此可利用特殊四边形和三角形角的关系得到结论.,解:正方形ABCD DAB90 ADAB 又ABE为等边三角形 EABAEB60 AEAB ADAE DAEDABEAB30 在ADE中,由内角和, 有 BEDAEBAED6075135,点评: 问题一:若等边ABE的E点落在正方形ABCD的外部 时,想一想图形是什么样,能画出来吗?这时 BED是多少度? 问题二:若E是平面内一点,且有它到正方形ABCD各顶 点的距离相等,问这样的E点存在吗?若存在, 有几个?你能画图示意吗?,例. 已知:如图,E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点,且AEFG. 求证:AE=FG.,分析:若将线段FG,沿射线FB方向平移, 平移距离为线段FB的长.由于条件 给出的是正方形,因此可得到线段 BP（如图）这样可利用正方形的特 征,得到ABE绕正方形对角线交点 逆时针旋转90能与BCP重合,对应 线段AEBPFG 解答过程略.,点评:是不是这个题目的条件还可以这样变更:如图, 若M、N分别是AD、BC上的点,E、F分别是AB、 DC上的点,且有MNEF,那MN与EF的数量关 系一定等吗?请说明你的理由.,例.已知:如图,E、F分别是正方形 ABCD中AB、BC的中点,且CE交 DF于M点.求证:AM=AB.,分析:由基本图形的分析,BEC绕正方形 中心逆时针旋转90能与FCD重合, 易证ECDF,将BCE绕E点旋转180,得到 EAP,由于是正方形ABCD,故P、A、D共线, APBC且APBC, MA是RtDPM斜边 中线,有APAMAB 证明略,F,E,B,D,C,A,M,1,2,P,例. 已知:如图,P是正方形ABCD中AC上一点,PEAD于 E,PFCD于F. 求证: OEOF; OE=OF.,分析:解决问题的关键是判断E点绕O点顺时针旋 转90后能与F点重合,关键是AEDF? 由条件不难知道AEP是等腰Rt,而四 边形EPFD易证为矩形,所以有AEEPDF, 问题得证:,证明: 正方形ABCD中,BADADC90 OAOD且AOD90 OAEODF45 P是AC上一点,且PEAD于E,PFCD于F, 即PEDPFD90 四边形EPFD为矩形,EPDF 在AEP中, EPAPAE45, AEEP AEDF,将AOE绕O点顺时针旋转90,A点与D点重合,E点与F点重合 OEOF 由可知,E、F是 AOE与DOF关于O点旋转对称的点, OEOF,例7.已知:如图,E是正方形ABCD的对角线 BD上任意一点, AE的延长线交CD于G,交BC的延 长线于H,F是GH的中点. 求证:CFCE。,分析:由于正方形是轴对称图形,所以DAE与DCE关于直线 BD对称,12 又由于正方形ABCD中,ADBC,所以1H 在RtGCH中,由于F点是GH中点 所以CFFH,3H 所以23 因为3490 所以2490 故CFCE 证明过程略,B,C,H,例8.如图,正方形ABCD中,EBF=45°,E、F分别在边AD和CD上.求证:EF=AE+FC.,分析:待证结论中EF与AE、FC比较分散,应想办法移动图形,相对集中,考虑到结论出现AEFC 不妨把FBC绕B点逆时针旋转90得到PBA,由于正方形ABCD,CBAD90 显然P、A、E共线,问题就转化为证明PEEF,由于对应点P、E与B点连线夹角为90,又EBF45,可知BE平分PBF,又因为BPBF,故BPE与BFE关于直线BE对称,问题得证. 证明过程略.,点评:几何问题中有时会见线段和差问题,一般处理时 常用手段是“截长补短”即将每条短线段中的一条 通 过 变换与另一条接在一起,证明其和等于长线段, 这叫补短,另一种情况是把长线段截出一段等于 一条短线段再证明剩下的部分与另一条短线段相 等,这叫截长.,例9.已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作AGBE于G,AG交BD于F. （）说明OE=OF. （）若点E在AC的延长线上, AGBE交DB的延长线于F,其他条件不变（如图）,则结论“OE=OF”还成立吗?请说明理由.,分析: （1）正方形ABCD中,ACBD,OAOB又因为AGBE,所以12,AOF绕O点逆时针旋转90后能与BOE重合,因此有OEOF （2）受（1）的启发,BOE绕O点顺时针旋转90后也能与AOF重合,因此OEOF结论仍能成立.,点评:和有些题目类似,虽然E、F点的位置有变化,但 OEOF的结论确没有发生变化,由此可知许多图 形之间都存在这种内在联系.,例10. （）如图,若点P为正方形ABCD边AB上一点,以PA为一边作正方形AEFP,连BE、DP,并延长DP交BE于点H. 求证:DHBE。 （）如图,若点P为正方形ABCD内任意一点,其余条件不变,，（）的结论是否成立?若成立，请给出证明;若不成立,请说明理由.,（1）由条件可知DAP绕A点顺时针旋转90就可与BAE重合, 12 又因为34,因此在 DAP和 BHP中DAPBHP, 因为DAB90,所以BHP90,故DHBH （2）与例9非常类似,正方形PAEF绕A点旋转过程中,实际一 直存在DAP绕A点顺时针旋转90能与BAE重合这一事实. 因此ADPABE不变,后面问题的解决同（1） 过程略,D,A,E,小结:,.正方形是一个很美丽的图形,由它的对称性我们可以找到它的很多特征. .正方形是特殊的矩形;特殊的菱形,它们都是特殊的平行四边形,因此在记忆它们的定义、特征和识别方法时,必须掌握它们的共性与个性.,.注意用正方形的有关知识解决实际问题.,