Matlab多项式运算.ppt

Matlab 多项式运算与方程求根,Matlab多项式运算,无论是在线性代数中，还是信号处理、自动控制等理论 中，多项式运算都有着十分重要的地位，因此，MATLAB 为多项式的操作提供了相应的函数库polyfun;,Matlab 多项式运算与方程求根,Matlab的多项式表示,在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1的向量来表示，缺少的幂次项系数为 0。例如：,在 Matlab中，用其系数的行向量表示该多项式：,例：,注：系数中的零不能省！,多项式四则运算,多项式加减运算：Matlab没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算。,例：,对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系数不足的高次项用0补足，然后进行加减运算。,多项式四则运算,例：,把多项式a(x)与多项式 b(x)相加求解如下:,所得结果代表的多项式为：,多项式四则运算（续）,多项式乘法运算： k=conv(p,q) 多项式的相乘就是两个代表多项式的行向量的卷积,例：计算多项式 和 的乘积, p=2,-1,0,3; q=2,1; k=conv(p,q);,多项式除法运算：k,r=deconv(p,q),其中k返回的是多项式p除以 q的商，r是余式。,k,r=deconv(p,q),p=conv(q,k)+r,多项式的导数：polyder,k=polyder(p): 返回多项式p的一阶导数； k=polyder(p,q): 返回多项式p与q乘积的一阶导数； k,d=polyder(p,q):返回p/q 的导数，k是分子，d是分母。, k1=polyder(2,-1,0,3); k2=polyder(2,-1,0,3,2,1); k2,d=polyder(2,-1,0,3,2,1);,例：已知 ， ， 求,多项式求值, p=2,-1,0,3; x=2;polyval(p,x) x=-1, 2;-2,1;polyval(p,x),例：已知 ，分别取 x=2和一个2x2矩阵， 求 p(x)在 x处的值,多项式求值函数polyval 利用该函数可以求得多项式在某一点的值。,y=polyval(p,x):返回多项式p在x点的值,其中：x可以是复数，也可以是矩阵；,多项式求根, p=2,-1,0,3; x=roots(p),例：已知 ，求p(x)的根。,x=roots(p)：返回多项式的根，注意:matlab按惯例，多项式是行向量，根是列向量。,若已知多项式的全部根，则可用poly函数给出该多项式。,p=ploy(x),求解多项式的根，即p(x)=0的解。在matlab中，求解多项式的 根有roots函数命令来完成。,部分分式展开函数residue,格式一：r,p,k=residue(b,a),Residue函数可以完成有理多项式的部分分式展开，它是一个对 系统传递函数特别有用的函数，其调用格式为：,功能：把b(s)/a(s)展开成：,其中，r代表余数数组，p代表极点数组，k代表常数项。,部分分式展开函数residue,例：,将有理多项式 展开成部分分式。,即有理多项式可展开为：,部分分式展开函数residue,格式二：b,a=residue(r,p,k),功能:格式一的逆作用,统 计 分 析,Matlab有专用的统计分析工具箱;常用的命令为：,统 计 分 析,1. 求矩阵最大元素和最小元素 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。 （1）求向量的最大值和最小值 格式一： y=max(X) 返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。如果x为向量，返回x中最大值元素；如果x是矩阵，则将矩阵每列作为处理向量，返回一个行向量；,返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。 例 求向量x的最大值。,格式二： y,I=max(X),格式三：max(A,dim) dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。,求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为： mean(X)：返回向量X的算术平均值。 median(X)：返回向量X的中值。 mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。 median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。 mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。 median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。,2. 求矩阵的平均值和中值,求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为： M=mean(x) 功能：如果x为向量，则返回向量x的平均值；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量来处理，返回一个平均值行向量； 例如：,2. 求矩阵的平均值和中值,数据序列中值的函数是median，其调用格式为： M=median(x) 功能：如果x为向量，则返回向量x的中间值；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量来处理，返回一个中间值行向量； 例如：,2. 求矩阵的平均值和中值,数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其调用格式分别为： s=sum(x) 功能：如果x为向量，则返回X的元素和；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量处理，返回一个元素分别为各列和的行向量。,3. 矩阵元素求和与求积,prod函数与sum函数的调用格式完全一样，只是功能不同；,格式为：A=cumprod(x) 功能：沿数组不同维，返回累乘积，返回值A与x大小一样，与元素全乘积不同，它只将x中相应元素与其之前的所有元素相乘；当x是向量时，返回x的元素累计积向量；如果x为矩阵时，返回一个与x大小相同的每列累乘积的矩阵； 例如：,4. 列元素累乘积函数cumprod( ),例如：,4. 列元素累乘积函数cumprod( ),格式为：A=cumsum(x) 功能：沿数组不同维，返回累计和，当x是向量时，返回x的元素累计和；如果x为矩阵时，返回一个与x大小相同的每列累计和的矩阵； 例如：,4. 列元素累求和函数cumsum( ),4. 列元素累求和函数cumsum( ),2.8.2,函数相关分析,在matlab中用于相关分析的函数主要有cov( )函数和 corrcoef( )函数。 1、协方差函数cov( ) 格式一： c=cov(x) 格式二： c=cov(x,y);,2.8.2,函数相关分析,2、相关矩阵函数corrcoef( ) 格式一： p=corrcoef (x) 功能：根据输入矩阵x，返回一个相关系数矩阵相关系数 矩阵由下式确定：,格式二： s=corrcoef(x,y),功能：返回向量x和y的相关系数。,2.8.3,函数插值运算,插值就是在已知的数据点之间利用某种算法寻找估计值 的过程。在信号处理、图像处理中，插值运算占有重要 的地位；matlab提供了一系列的插值函数。其基本的插值 函数有： interp1( ) interp1q( ) interp2( ) inerp3( ) interpft( ) inerpn( ) spline( ),一维数据插值 定义：已知离散点上的数据集 ，即已知在点集X上的函数值Y，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。 在MATLAB中，实现一维插值的函数是interp1，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,'method') 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。,方法： nearest(最临近插值法):该方法将内插点设置成最接近于已知数据点的值，其特点是插值速度最快，但平滑性较差。 linear(线性插值):该方法连接已有数据点作线性逼近。它是interp1函数的默认方法，其特点是需要占用更多的内存，速度比nearest方法稍慢，但是平滑性优于nearest方法。 spline(三次样条插值):该方法利用一系列样条函数获得内插数据点，从而确定已有数据点之间的函数。其特点是处理速度慢，但占用内存少，可以产生最光滑的插值结果；,cublic(立方插值):该方法y拟合三次曲线函数，从而确定内插点的值。其特点是占用内存和处理时间较快，但插值数据和导数是连续的。 注意：每种插值方法都可以处理非等间距节点的插值。如果输入数据是等间距的，可以在插值方法前加一个星号“*”,以提高处理速度，例如“*nearest”.,例：请阅读并分析eg.m程序。,已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。,2.11 函数分析与数值积分,在实际应用中，我们常常对一些函数的极值、积分、 微分等问题感兴趣，为此，matlab在函数功能和数值 分析函数库(funfun)中为用户提供了有关的函数命令。,2.11 函数在matlab中的表示,1、函数的表示与计算,在matlab中，对一个给定的函数表达式，通常可以用两 种方法来表示：函数文件和内联函数；,从前面的学习中我们知道，在matlab中，数学函数可以 用函数文件表示，由function来实现。例如：,则可用函数文件hump.m来表示： function y=hump(x) y=1./(x-0.03).2+0.01),2.11 函数在matlab中的表示,则可用函数文件hump.m来表示： function y=hump(x) y=1./(x-0.03).2+0.01),这样，hump就可用来作为某些函数的输入变量，从而 实现对函数的计算。例如，需要计算该函数在x=0.5处 的函数值，只需要调用命令y=hump(0.5)即可求得。,2.11 函数在matlab中的表示,除了用function来定义函数，也可用内联函数inline函数来 表示，即用一个字符串表达式创建一个内联对象。 例如，可以为函数f(x)创建一个inline对象，在命令 窗口中输入：,2.11 函数在matlab中的表示,在计算函数值时，除了采用直接调用函数文件或内联对象 外，也可以利用feval函数来实现；格式为：,y=feval(F,x);,功能：计算由F指定的函数名或函数句柄表示的函数在x 处的函数值。F函数名要用单引号引起来。例如：,2.11 函数在matlab中的表示,除了调用函数名和内联来实现外，也可以用函数句柄来实 现。在matlab中，函数句柄可由来获取。 例如：利用函数句柄计算hump函数在x=0.5处的函数值。 只需在命令窗口输入：,二、数值求解方法,1、数值积分,数值积分是数值求解的基本运算方法之一，matlab语 言的几个数值积分函数为：,quad( ) quadl( ) trapz( ),低价积分,高价积分,梯形面积法积分,低价数值积分函数quad( ),格式一：,q=quad(fun,a,b ),功能：采用自适应辛普生(Simpson)法积分，返回函数 Fun在上限a和下限b之间的数值积分，当给定一个输入 值向量，fun必须返回一个输出向量。函数fun可以是 函数名、函数句柄或字符串。,例如，求hump函数在x=1-2之间的定积分,例2，计算函数,在0,1区间上的积分。,方法一：采用字符串,方法二：采用内联对象,方法三：采用函数,建立函数myfun,低价数值积分函数quad( ),格式二：,q=quad(fun,a,b ，tol),功能：按指定绝对误差tol返回数值积分值，tol默认值为 1e-6。,高价数值积分函数quadl( ),quad( )函数和quadl( ) 函数的调用格式相同，两者的区别 是积分方法不同，quad采用的是辛普生方法，而quadl采用 的是自适应洛必达法则。,梯形面积法的积分函数trapz( ),格式一： T=trapz(x) 功能：采用梯形面积法计算x的积分； 格式二： T=trapz(x,y) 功能：用梯形积分法，依据x计算y的积分。,二重积分数值求解,使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述 二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,格式为：,Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol),功能：按指定精度tol，对指定函数f(x,y)在xmin,xmax 范围和ymin,ymax范围进行双重积分。Tol默认时默认 精度为1e-6.,