2016高考数学大一轮复习 8.7立体几何中的向量方法（二）-求空间角和距离课件 理 苏教版.ppt

,§8.7 立体几何中的向量方法(二) 求空间角和距离,第八章 立体几何,数学 苏（理）,基础知识·自主学习,题型分类·深度剖析,思想方法·感悟提高,练出高分,1.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos | .,3.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 .,(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB| |,.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ),×,×,×,(4)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0， ，二面角的范围是0，.( ) (5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120°，则l和所成角为30°.( ) (6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.( ),×,90°,2,90°,解析,不妨设PMa，PNb，如图， 作MEAB于E，NFAB于F， EPMFPN45°，,解析,二面角AB的大小为90°.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,解析 方法一 由于BCA90°， 三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1， 可将三棱柱补成正方体. 建立如图(1)所示空间直角坐标系. 设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)， B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解. 如图(2)，取BC的中点D，连结MN，,因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,用向量法求异面直线所成角的一般步骤是： (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014·课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,跟踪训练1 长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1， E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_.,解析 建立坐标系如图,则A(1,0,0)，E(0,2,1),B(1,2,0) ,C1(0,2,2).,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2014·北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG；,证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点， 所以ABDE. 又因为AB平面PDE，,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2014·北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：ABFG；,所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG， 所以ABFG.,解析,思维升华,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,解 因为PA底面ABCDE， 所以PAAB，PAAE. 如图建立空间直角坐标系Axyz，,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,设平面ABF的一个法向量为n(x，y，z)，,令z1，则y1，所以n(0，1,1). 设直线BC与平面ABF所成角为，,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,设点H的坐标为(u，v，w).,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,即(u，v，w2)(2,1，2)， 所以u2，v，w22.,即(0，1,1)·(2，22)0.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.,(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练2 (2013·湖南)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.,方法一 (1)证明 如图，因为BB1平面ABCD， AC平面ABCD，所以ACBB1. 又ACBD， 所以AC平面BB1D， 而B1D平面BB1D， 所以ACB1D.,(2)解 因为B1C1AD， 所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为). 如图，连结A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°， 所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1. 又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.,于是A1DAD1， 又因为A1B1A1DA1，故AD1平面A1B1D， 于是AD1B1D. 由(1)知，ACB1D，且ACAD1A， 所以B1D平面ACD1. 故ADB190°，在直角梯形ABCD中， 因为ACBD，所以BACADB.,连结AB1，易知AB1D是直角三角形，,方法二 (1)证明 易知，AB，AD，AA1两两垂直. 如图，以A为坐标原点， AB，AD，AA1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).,设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，,设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则,题型三 求二面角,例3 (2013·课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB AB.,(1)证明：BC1平面A1CD；,证明 连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点. 又D是AB的中点，连结DF，则BC1DF.,题型三 求二面角,例3 (2013·课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB AB.,(1)证明：BC1平面A1CD；,因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，,设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,同理，设m是平面A1CE的法向量，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 (2014·课标全国)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (1)证明：ACAB1；,证明 连结BC1，交B1C于点O，连结AO. 因为侧面BB1C1C为菱形， 所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点. 又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO.,跟踪训练3 (2014·课标全国)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (1)证明：ACAB1；,由于AO平面ABO，故B1CAO. 又B1OCO，故ACAB1.,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,解 因为ACAB1， 且O为B1C的中点， 所以AOCO.又因为ABBC， 所以BOABOC，,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直.,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,因为CBB160°，所以CBB1为等边三角形.,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,设m是平面A1B1C1的法向量，,(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,以CD的中点为原点，建立空间直角坐标系.,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,如图，取CD的中点O，连结OB，OM， 因为BCD与MCD均为正三角形， 所以OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD， 所以MO平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，,设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,思维点拨,解析,思维升华,求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.,例4 如图，BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD，AB2 ， 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练4 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1. (1)求证：CDC1D；,证明 连结AB1交BA1于点O， B1P平面BDA1，B1P平面AB1P，,平面AB1P平面BA1DOD，B1POD. 又O为B1A的中点，D为AP的中点. C1DAA1，C1为A1P的中点.,(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；,解 建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，,设平面BA1D的一个法向量为n(x，y，z).,(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；,令z2，则x2，y1，n(2，1,2).,(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；,由图形可知二面角AA1DB为锐角，,(3)求点C到平面B1DP的距离.,设平面B1DP的一个法向量为n(x，y，z).,(3)求点C到平面B1DP的距离.,答题模板系列6 利用空间向量求解空间角,典列：(14分)(2013·广东)如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，A90°，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE ，O为BC的中点.将ADE沿DE折起， 得到如图(2)所示的四棱锥ABCDE， 其中AO .,(1)证明：AO平面BCDE；,证明 在题图(1)中连结AO交DE于点G， 在题图(2)中连结AG，OG，如图所示.,AGDE，BCDE，AGBC， 又OGBC，AGOGG， BC平面AOG， 又AO平面AOG，BCAO. 连结OD，在OCD中，,规范解答,AOOD，BCODO，,AO平面BCDE.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值.,在(2)的求解中，可以以O为原点，以过O在平面BCDE内与BC垂直的直线和BC，OA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，用向量法求解.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,解 以O点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz， 如图所示.,设平面ACD的法向量n(x，y，z)，,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,(1)利用向量求空间角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用. (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错.,思 维 点 拨,规 范 解 答,答 题 模 板,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量.,2.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段.,失 误 与 防 范,1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.,2.求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便.,3.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面所成的角为_.,解析 设直线l与所成角为，,30°,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_.,解析 设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.(2013·山东改编)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1B1C11，且A1C1B190°，D点在棱AA1上且AD2DA1，P点在棱C1C上，则 的最小值为_.,解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(1,0,2)，B1(0,1,3)，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1) 由题意得，AD平面ABP， 设E为PD的中点，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,连结AE，则AEPD， 又CD平面PAD，AECD， 又PDCDD，AE平面CDP.,而 45°，,平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.,答案 45°,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线DE与平面A1BC1的夹角的正弦值为_.,解析 设正方体的棱长为2， 直线DE与平面A1BC1的夹角为， 建立如图所示的坐标系，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,则D(0,0,0)，E(0,2,1)，B1(2,2,2)， DB1平面A1BC1，连结DB1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_. 解析 延长FE，CB相交于点G，连结AG， 设正方体的棱长为3，则GBBC3， 作BHAG于点H，连结EH， 则EHB为所求二面角的平面角.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_. 解析 以A为坐标原点， AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，,令z2，则x1.n(1,0,2).,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.(2014·江西)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形.平面PAD平面ABCD. (1)求证：ABPD.,证明 因为四边形ABCD为矩形，故ABAD. 又平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以AB平面PAD，又PD平面PAD，故ABPD.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)若BPC90°，PB ，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值. 解 过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连结PG. 故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,故四棱锥PABCD的体积为,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,四棱锥PABCD的体积最大.,此时，建立如图所示的坐标系，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,各点的坐标为O(0,0,0)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,设平面BPC的一个法向量n1(x，y,1)，,解得x1，y0，n1(1,0,1).,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为,10.(2013·天津)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点. (1)证明：B1C1CE；,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,证明 如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，,依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求二面角B1CEC1的正弦值；,设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，,消去x，得y2z0，不妨令z1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,可得一个法向量为m(3，2,1). 由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1， 可得B1C1平面CEC1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则,1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_. 解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1.,2,3,4,5,1,设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，,平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，,2,3,4,5,1,2.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_. 解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz， 则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a). 过点P作PH平面ABC， 交平面ABC于点H， 则PH的长即为点P到平面ABC的距离.,2,3,4,5,1,过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H， 则PH的长即为点P到平面ABC的距离. PAPBPC， H为ABC的外心. 又ABC为正三角形， H为ABC的重心，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为_.,解析 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点. (1)求异面直线CC1和AB的距离；,解 因为ACBC，D为AB的中点，故CDAB. 又直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC， 故CC1CD.,2,3,4,5,1,所以异面直线CC1和AB的距离为,2,3,4,5,1,(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值. 解 如图所示，过D作DD1AA1交 A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB， DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线 DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的 正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz.,2,3,4,5,1,设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，,2,3,4,5,1,设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，,2,3,4,5,1,设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，,2,3,4,5,1,5.(2013·北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5. (1)求证：AA1平面ABC；,证明 在正方形AA1C1C中，A1AAC. 又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC， AA1平面ABC.,2,3,4,5,1,(2)求二面角A1BC1B1的余弦值； 解 在ABC中，AC4，AB3，BC5， BC2AC2AB2，ABAC ， 以A为坐标原点， 建立如图所示空间直角坐标系Axyz. A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，,2,3,4,5,1,设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)， 平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2).,取向量n1(0,4,3)，,2,3,4,5,1,取向量n2(3,4,0)，,由题意知二面角A1BC1B1为锐角，,2,3,4,5,1,(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B， 并求 的值.,证明 设D(x，y，z)是直线BC1上一点，,解得x4，y33，z4.,2,3,4,5,1,又ADA1B，03(33)160，,2,3,4,5,1,