2016高考数学大一轮复习 8.7立体几何中的向量方法(二)-求空间角和距离课件 理 苏教版.ppt
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1、,8.7 立体几何中的向量方法(二) 求空间角和距离,第八章 立体几何,数学 苏(理),基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则,2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,a与n的夹角为,则sin |cos | .,3.求二面角的大小 (1)如图,AB,CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小 .,(2)如图,n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos | ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的
2、夹角(或其补角).,|cosn1,n2|,4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则AB| |,.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ),(4)两异面直线夹角的范围是(0,直线与平面所成角的范围是0, ,二面角的范围是0,.( ) (5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120,则l和所成角为30.( ) (6)若
3、二面角a的两个半平面,的法向量n1,n2所成角为,则二面角a的大小是.( ),90,2,90,解析,不妨设PMa,PNb,如图, 作MEAB于E,NFAB于F, EPMFPN45,,解析,二面角AB的大小为90.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余
4、弦值为_.,解析 方法一 由于BCA90, 三棱柱为直三棱柱,且BCCACC1, 可将三棱柱补成正方体. 建立如图(1)所示空间直角坐标系. 设正方体棱长为2,则可得A(0,0,0), B(2,2,0),M(1,1,2),N(0,1,2),,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1
5、C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角,再根据余弦定理求解. 如图(2),取BC的中点D,连结MN,,因此有ND綊BM,则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1
6、的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,用向量法求异面直线所成角的一般步骤是: (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系; (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; (4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.,题型一 求异面直线所成的角,例1 (2014课标
7、全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为_.,答案,思维升华,解析,跟踪训练1 长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1, E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_.,解析 建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0) ,C1(0,2,2).,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2014北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. (1
8、)求证:ABFG;,证明 在正方形AMDE中,因为B是AM的中点, 所以ABDE. 又因为AB平面PDE,,题型二 求直线与平面所成的角,例2 (2014北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. (1)求证:ABFG;,所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF,且平面ABF平面PDEFG, 所以ABFG.,解析,思维升华,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线
9、BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,解 因为PA底面ABCDE, 所以PAAB,PAAE. 如图建立空间直角坐标系Axyz,,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,设平面ABF的一个法向量为n(x,y,z),,令z1,则y1,所以n(0,1,1). 设直线BC与平面ABF所成角为,,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与
10、平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,设点H的坐标为(u,v,w).,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,即(u,v,w2)(2,1,2), 所以u2,v,w22.,即(0,1,1)(2,22)0.,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,利用向量法求线面角的方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);,解析,思维升华,思维点拨,例2 (2)若PA底面AB
11、CDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.,(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,解析,思维升华,思维点拨,跟踪训练2 (2013湖南)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13. (1)证明:ACB1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.,方法一 (1)证明 如图,因为BB1平面ABCD, AC平面ABCD,所以ACBB1. 又ACBD, 所以AC平面BB1D, 而B1D平面BB1D, 所以ACB1D.,(2)解 因为B1
12、C1AD, 所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为). 如图,连结A1D,因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1BAD90, 所以A1B1平面ADD1A1,从而A1B1AD1. 又ADAA13,所以四边形ADD1A1是正方形.,于是A1DAD1, 又因为A1B1A1DA1,故AD1平面A1B1D, 于是AD1B1D. 由(1)知,ACB1D,且ACAD1A, 所以B1D平面ACD1. 故ADB190,在直角梯形ABCD中, 因为ACBD,所以BACADB.,连结AB1,易知AB1D是直角三角形,,方法二 (1)证明 易知,AB,AD,A
13、A1两两垂直. 如图,以A为坐标原点, AB,AD,AA1所在直线分别为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 设ABt,则相关各点的坐标为 A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).,设n(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,,设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则,题型三 求二面角,例3 (2013课标全国)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1ACCB AB.,(1)证明:BC1平面A1CD;,证明 连结AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点. 又D是AB
14、的中点,连结DF,则BC1DF.,题型三 求二面角,例3 (2013课标全国)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1ACCB AB.,(1)证明:BC1平面A1CD;,因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1平面A1CD.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,设CA2,则D(1,1,0),E(0,2
15、,1),A1(2,0,2),,设n(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,同理,设m是平面A1CE的法向量,,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)求二面角DA1CE的正弦值.,求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练3 (2014课标全国)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (1)证明:ACAB1;,证明 连结BC1,交B1C于
16、点O,连结AO. 因为侧面BB1C1C为菱形, 所以B1CBC1,且O为B1C及BC1的中点. 又ABB1C,ABBOB,所以B1C平面ABO.,跟踪训练3 (2014课标全国)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C. (1)证明:ACAB1;,由于AO平面ABO,故B1CAO. 又B1OCO,故ACAB1.,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,解 因为ACAB1, 且O为B1C的中点, 所以AOCO.又因为ABBC, 所以BOABOC,,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,故OA
17、OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,因为CBB160,所以CBB1为等边三角形.,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,设m是平面A1B1C1的法向量,,(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图,BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形,平面M
18、CD 平面BCD,AB 平面BCD,AB2 , 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,以CD的中点为原点,建立空间直角坐标系.,例4 如图,BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形,平面MCD 平面BCD,AB 平面BCD,AB2 , 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,思维点拨,解析,思维升华,例4 如图,BCD与MCD 都是边长为2的正 三角形,平面MCD 平面BCD,AB 平面BCD,AB2 , 求点A到平面MBC的距离.,题型四 求空间距离,如图,取CD的中点O,连结OB,OM, 因为BCD与MCD均为正三角形, 所以OBCD,OMCD, 又平面MCD平面BCD,
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