2020高考数学刷题首秧第二章函数导数及其应用考点测试8二次函数与幂函数文含解析.pdf

考点测试 8 二次函数与幂函数考点测试 8 二次函数与幂函数 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 1了解幂函数的概念 2结合函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图象，了解它们的变化情况 1 2 3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 一、基础小题 1若二次函数y2x2bxc关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为( ) Ay2x2x3 By2x23 Cy2x2x3 Dy2x23 答案 B 解析 由题可知函数yf(x)为偶函数，则b0又过点(0，3)，则c3，故解析式 为y2x23故选 B 2若幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则f(8)的值为( ) A4 B C2 D122 答案 C 解析 设f(x)x，由条件知f(4)2，所以 24， ，所以f(x)x，f(8)8 1 2 1 2 2故选 C 1 2 2 3已知函数f(x)x22xm，若f(x1)f(x2)(x1x2)，则f的值为( ) ( x1x2 2 ) A1 B2 Cm1 Dm 答案 C 解析 由题意知，函数的对称轴为直线x1，所以ff(1)m x1x2 2 ( x1x2 2 ) 1故选 C 4函数f(x)2x26x(2x2)的值域是( ) A20，4 B(20，4) C20， D20， 9 2 9 2 答案 C 解析 由函数f(x)2x26x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x ， 3 2 当2x0 时，函数f(x)的图象在其对称 轴右侧单调递增， 不满足题意 ； 当a2x的解集为(1，3)若方 程f(x)6a0 有两个相等的根，则实数a( ) A B1 1 5 C1 或 D1 或 1 5 1 5 答案 A 解析 因为f(x)2x0的解集为(1， 3)， 设f(x)2xa(x1)(x3)， 且a0，mZ Z，m1，幂函数f(x)x4，f(2)16故选 A 10已知函数f(x)ax22x2，若对一切x ，2，f(x)0 都成立，则实数a的取 1 2 值范围为( ) A， B， 1 2 1 2 C4，) D(4，) 答案 B 解析 由题意得，对一切x ，2，f(x)0 都成立，即a 2 2 1 2 2x2 x2 2 x2 2 x 1 x 1 2 在x ，2 上恒成立，而2 2 ，则实数a的取值范围为 ，故选 B 1 2 1 2 1 x 1 2 1 2 1 2 1 2 11若二次函数f(x)x24xt图象的顶点在x轴上，则t_ 答案 4 解析 由于f(x)x24xt(x2)2t4 图象的顶点在x轴上， 所以f(2)t 40，故t4 12若函数yx23x4 的定义域为0，m，值域为，则实数m的取值范 25 4 ，4 围是_ 答案 3 2，3 解析 因为yx23x4 2 ，且f(0)4，值域为，所以 (x 3 2) 25 4 25 4 ，4 3 2 0，m，即m 又f(m)4，则 0m3，所以 m3 3 2 3 2 二、高考小题 13(2016·全国卷)已知a2 ，b4 ，c25 ，则( ) 4 3 2 5 1 3 Abac Babc Cbca Dcab 答案 A 解析 因为a2 4 ，c25 5 ， 函数yx在(0， )上单调递增， 所以 4 5 ， 4 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 即ac，又因为函数y4x在 R R 上单调递增，所以 4 4 ，即ba，所以bac故选 A 2 5 2 3 14(2017·浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值 是m，则Mm( ) A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关 答案 B 解析 解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mx ax1b，Mxax2bMmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无 2 12 22 22 1 关故选 B 解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一 定 随着b的变动， 相当于图象上下移动， 若b增大k个单位， 则最大值与最小值分别变为M k，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动， 则Mm的值在变化，故与a有关故选 B 15(2016·浙江高考)已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“ff(x)的最小值与f(x) 的最小值相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解 析 记g(x)ff(x) (x2bx)2b(x2bx) 2 (x 2bxb 2) b2 4 2 (x b 2) 2b 2 4 b 2 b2 4 当b0 时， 0，即当 2 0 时，g(x)有最小值，且g(x)min， b2 4 b 2 (x b 2) b2 4 b 2 b2 4 又f(x) 2 ，所以ff(x)的最小值与f(x)的最小值相等，都为，故充分性 (x b 2) b2 4 b2 4 成立另一方面，当b0 时，ff(x)的最小值为 0，也与f(x)的最小值相等故必要性不 成立故选 A 16(2015·陕西高考)对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给 出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A1 是f(x)的零点 B1 是f(x)的极值点 C3 是f(x)的极值 D点(2，8)在曲线yf(x)上 答案 A 解析 由已知得，f(x)2axb， 则f(x)只有一个极值点， 若 A， B 正确， 则有Error!Error! 解得b2a，c3a， 则f(x)ax22ax3a 由于a为非零整数， 所以f(1)4a3， 则 C 错误 而f(2)3a8，则 D 也错误，与题意不符，故 A，B 中有一个错误，C，D 都正确 若 A，C，D 正确，则有Error!Error! 由得Error!Error! 代入中并整理得 9a24a0， 64 9 又a为非零整数，则 9a24a为整数，故方程 9a24a0 无整数解，故 A 错误 64 9 若 B，C，D 正确，则有Error!Error! 解得a5，b10，c8，则f(x)5x210x8， 此时f(1)230，符合题意故选 A 17 (2017·北京高考)已知x0，y0， 且xy1， 则x2y2的取值范围是_ 答案 1 2，1 解析 由xy1，得y1x解法一： 又x0，y0，所以 0x1，x2y2x2(1x)22x22x12 2 (x 1 2) 1 2 由 0x1，得 0 2 ， (x 1 2) 1 4 所以 x2y21，即x2y2 1 2 1 2，1 x2y2(xy)22xy，解法二： 已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy 因为 1xy2，所以 0xy ，xy 1 4 所以 12xy1， 1 2 即x2y2 1 2，1 依题意，x2y2可视为原点到线段xy10(x0，y0)上的点的距离的解法三： 平方，如图所示，故(x2y2)min 2 ，(x2y2)max|OA|2|OB|21，故x2y2 ( |1| 2) 1 2 1 2，1 18(2018·上海高考)已知2，1， ，1，2，3若幂函数f(x)x为奇 1 2 1 2 函数，且在(0，)上递减，则_ 答案 1 解析 幂函数f(x)x为奇函数，可取1，1，3，又f(x)x在(0，) 上递减，0，故1 三、模拟小题 19(2018·湖北黄冈中学质检)幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如 图所示，则m与n的取值情况为( ) A1m0n1 B1n0m C1m0n D1n0m1 答案 D 解析 在第一象限作出幂函数yx，yx0的图象，在(0，1)内作直线xx0与各图象 有交点，如图，由“点低指数大” ，知1n0m1，故选 D 20(2018·河南安阳模拟)已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小 值2，则f(x)的最大值为( ) A1 B0 C1 D2 答案 A 解析 f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0，1上 单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a 321，故选 A 21 (2018·湖北荆州模拟)二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)， 又f(0)3，f(2) 1，若在0，m上有最大值 3，最小值 1，则m的取值范围是( ) A(0，) B2，) C(0，2 D2，4 答案 D 解析 二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)， 其图象的对称轴是x2， 又f(0)3， f(4)3，又f(2)f(0)，f(x)的图象开口向上，f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(x) 在0，m上的最大值为 3，最小值为 1，由二次函数的性质知 2m4故选 D 22 (2018·河南洛阳二模)已知点a， 在幂函数f(x)(a1)xb的图象上， 则函数f(x) 1 2 是( ) A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数 答案 A 解析 点a， 在幂函数f(x)(a1)xb的图象上， a11， 解得a2， 则 2b ， 1 2 1 2 b1，f(x)x1，函数f(x)是定义域(，0)(0，)上的奇函数，且在每一 个区间内是减函数故选 A 23 (2018·河南南阳模拟)设函数f(x)mx2mx1， 若对于x1， 3，f(x)m4 恒成立，则实数m的取值范围为( ) A(，0 B0，5 7 C(，0)0， D， 5 7 5 7 答案 D 解析 由题意，f(x)m4 对于x1，3恒成立，即m(x2x1)5 对于x1，3 恒成立 当x1， 3时，x2x11， 7， 不等式f(x)m4 等价于m 5 x2x1 当x3 时，取最小值 ，若要不等式m对于x1，3恒成立，则必须 5 x2x1 5 7 5 x2x1 满足m ，因此，实数m的取值范围为，故选 D 5 7 5 7 24(2018·湖北武汉模拟)幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它 们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中 的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a ( ) 1 b A0 B1 C D2 1 2 答案 A 解析 BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，分别代入yxa，yxb， 1 3 2 3 2 3 1 3 得 alog，blog，a log0故选 A 1 3 2 3 2 3 1 3 1 b 1 3 2 3 1 log2 3 1 3 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2018·湖南祁阳二模)已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2 在(0，)上单调递 增，函数g(x)2xk (1)求m的值； (2)当x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB， 若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围 解 (1)依题意得，(m1)21m0 或m2，当m2 时，f(x)x2在(0，)上 单调递减，与题设矛盾，舍去，m0 (2)由(1)得，f(x)x2， 当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)， 当x1，2)时，g(x)2k，4k)， 即B2k，4k)， 因p是q成立的必要条件，则BA， 则Error!Error!即Error!Error!得 0k1 2(2018·河北邯郸一中月考)已知函数f(x)x24ax2a6，xR R (1)若函数的值域为0，)，求a的值； (2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)2a|a3|的值域 解 f(x)x24ax2a6(x2a)22a64a2 (1)函数值域为0，)，2a64a20 解得a1 或a 3 2 (2)函数值域为非负数集，2a64a20， 即 2a2a30，解得1a 3 2 f(a)2a|a3|2a(a3) 2 ， (a 3 2) 17 4 f(a)在上单调递减， 1， 3 2 f(a)4， 19 4 即f(a)的值域为 19 4 ，4 3(2018·河南信阳一中月考)已知函数f(log2x)x22x (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)a·2x4 在区间(0， 2)内有两个不相等的实根， 求实数a的取值范围 解 (1)设tlog2x，tR R，则x2t， f(t)22t2·2t4t2t1 f(x)4x2x1 (2)方程f(x)a·2x4 在区间(0，2)内有两个不相等的实根， 4x(2a)2x40 在(0，2)有两个不相等实根 令 2xm，则m(1，4)，h(m)m2(2a)m4， h(m)0 在(1，4)上有两个不相等的实根， Error!Error!解得 6a7 4(2018·河北正定中学质检)已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR R) (1)若f(x)0 的解集为x|1x1，求实数b，c的值； (2)若f(x)满足f(1)0， 且关于x的方程f(x)xb0 的两个实数根分别在区间( 3，2)，(0，1)内，求实数b的取值范围 解 (1)设x1，x2是方程f(x)0 的两个根 由韦达定理，得Error!Error! 由条件知x1，x2就是1，1，即Error!Error! 所以b0，c1 (2)由题知，f(1)12bc0， 所以c12b 记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)xb1， 由g(x)的图象，得Error!Error! 解得 b 故b的取值范围为 ， 1 5 5 7 1 5 5 7