专题6.18：等差数列中两道习题的研究与拓展.pdf

专题 6.18：等差数列中两道习题的研究与拓展 【课本溯源】 （1）已知等差数列的前项和为，则前多少项的和最大？ n annnSn302 2 （2）设 Sn是等比数列的前 n 项的和，若 S3，S9，S6成等差数列，求证：a2, a8, a5成等差数列. 【探究拓展】 探究 1：（1）等差数列的前项和为，若，则前多少项的和最大？ n an n S0d 239 SS （2）若把条件改为“”，有类似的结论吗？ 2310 SS （3）一般地，若， ，则前多少项的和最大？0 1 a0d qp SS （4）若是等差数列，且，求证：； n a0 1 a0d qp SS0 qp S （5）逆命题是否成立？即若是等差数列，且，且，则成立吗？ n a0 1 a0d0 qp S qp SS 拓展：（1）设等差数列的前项和为，已知， n an n S0d7 3 a0 12 S0 13 S （i） 求公差的取值范围；d （ii）求中的最大值 13321 ,SSSS （2）已知为等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， n a1 10 11 a a n n S n S . _n （3）等差数列的前项和满足：，则当时，最大. n an n S0 16 S0 17 S_n n S （4）已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的 n a3 n Sn 10 S n S 唯一最小项，则数列的首项的取值范围是 n a 1 a （5） 在等差数列中， 公差，, 是方程的两个根. 是数列的前 n a0d 2011 a 2012 a053 2 xx n S n a 项和，那么满足条件的最大自然数.n0 n S_n （6） 已知数列是等比数列， 首项8， 令， 若数列的前7项的和最大， 且 n a 1 a 2 log nn ba= n b 7 S 87 SS ，则数列的公比 q 的取值范围是 n a （7）设等差数列满足，公差，若当 n a1 )sin( sinsincoscoscossin 54 6 2 3 2 6 2 3 2 3 2 3 2 aa aaaaaa 1,0d 且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围为 9n n an n S 1 a 2 3 , 3 4 探究 2：设 Sn是等比数列的前 n 项的和，若 S3，S9，S6成等差数列，求证：a2, a8, a5成等差数列. 变式 1：写出这个命题的逆命题，并判断其真假； 变式 2：针对原命题，给出一般性结论，并给出证明； 拓展：设等比数列的前项和为，公比为 n an n S).1(qq （1）若成等差数列，求证：成等差数列； 8124 ,SSS 141810 ,aaa （2）若为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列中是否存在不同的三项成等lkmSSS lkm ,(, n a 差数列？若存在，写出两组这三项，若不存在，请说明理由； （3）若为大于 1 的正整数，试问中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的q n a k a k a 和？请说明理由； 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？