2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．8 共面与平行含解析.pdf

38共面与平行共面与平行 读教材读教材·填要点填要点 1共面共面 (1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面 (2)A， B， C， D 共面直线共面直线 AD 在平面在平面 ABC 内内n(其中其中 n 为平面为平面 ABC 的法向量的法向量)AD 2直线与平面共面或平行的判定直线与平面共面或平行的判定 一般地，设一般地，设 n 是平面是平面 的一个法向量，的一个法向量，v 是直线是直线 l 的方向向量，则的方向向量，则 vnl 或或 l. 如果如果 vn 且且 l 上至少有一点上至少有一点 A，则，则 l. 如果如果 vn 且且 l 上至少有一点上至少有一点 A ，则，则 l. 小问题小问题·大思维大思维 若直线若直线 l 的方向向量为的方向向量为 u(3,4,2)，平面，平面 的一个法向量为的一个法向量为 v(2,2，1)，那，那 l 与与 的位置关系是什么？的位置关系是什么？ 提示：提示：u·v(3,4,2)·(2,2，1)6820， uv. l 或或 l. 四点共面问题四点共面问题 判断判断 A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)四点是否共面，并说明理由四点是否共面，并说明理由 自主解答自主解答 A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)， (3,4,5)，(1,2,2)AB AC 设平面设平面 ABC 的法向量的法向量 n(x，y，z)， 则则 n·0，且，且 n·0，AB AC 即即Error!Error!xz0. 令令 x1，则，则 z1，y ， ， 1 2 n. ( (1， ， 1 2， ， 1) ) 又又D(10,14,17)，(9,14,16)，AD ·n(9,14,16)·AD ( (1， ， 1 2， ， 1) ) 9××114× × 160， 1 2 n.AD 又又A平面平面 ABC， AD平面平面 ABC，A，B，C，D 四点共面四点共面 (1)A，B，C，D 共面直线共面直线 AD 在平面在平面 ABC 内内n.AD (2)(共面向量定理共面向量定理)如果如果 A， B， C 三点不共线， 则点三点不共线， 则点 M 在平面在平面 ABC 内的充分必要条件是， 存在一对实数 内的充分必要条件是， 存在一对实数 x，y，使向量表达式，使向量表达式xy成立成立AM AB AC 1空间直角坐标系中，已知空间直角坐标系中，已知 A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面是平面 ABC 内任 意一点，试求 内任 意一点，试求 x，y，z 满足的方程满足的方程 解：解：A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)， (3,4,0)，(3,0,2)AB AC 设设 n(x，y，z)为平面为平面 ABC 的一个法向量，的一个法向量， 则则 n·0，且，且 n·0，AB AC Error!Error!令令 x14，则，则 y13，z16， 即即 n(4,3,6) 又又P(x，y，z)在平面在平面 ABC 内，内， ·n0，即，即(x3，y，z)·(4,3,6)0，AP 4x123y6z0， 即即 4x3y6z12. 证明线面平行、面面平行证明线面平行、面面平行 已知正方体已知正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱长为的棱长为 2，E，F 分别是分别是 BB1，DD1的中点，求 证： 的中点，求 证： (1)FC1平面平面 ADE； (2)平面平面 ADE平面平面 B1C1F. 自主解答自主解答 如图所示建立空间直角坐标系 如图所示建立空间直角坐标系 D­xyz， 则有则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，C1(0,2,2)， F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)FC1 DA AE (1)设设 n1(x1，y1，z1)是平面是平面 ADE 的法向量，的法向量， 则则 n1，n1，DA AE 即即Error!Error! 得得Error!Error!令令 z12，则，则 y11， 所以所以 n1(0，1,2) 因为因为·n1220，所以，所以n1.FC1 FC1 又因为又因为 FC1平面平面 ADE， 所以所以 FC1平面平面 ADE. (2)(2,0,0)，C1B1 设设 n2(x2，y2，z2)是平面是平面 B1C1F 的一个法向量的一个法向量 则则 n2，n2，FC1 C1B1 即即Error!Error! 得得Error!Error! 令令 z22 得得 y21， 所以所以 n2(0，1,2)因为因为 n1n2， 所以平面所以平面 ADE平面平面 B1C1F. (1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量 且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直 线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内 用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量 且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直 线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内 (2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行 2.如图， 已知正方形如图， 已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直， AB ， ，AF1，M 是线段是线段 EF 的中点的中点2 求证：求证：AM平面平面 BDE. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系证明：建立如图所示的空间直角坐标系 设设 ACBDN，连接，连接 NE， 则点则点 N，E 的坐标分别是，的坐标分别是，(0,0,1) ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，0) ) .NE ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，1) ) 又点又点 A，M 的坐标分别是的坐标分别是(，0)，22 ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，1) ) .AM ( ( 2 2 ， ， 2 2 ， ，1) ) ，且，且 A NE，NE AM NEAM. 又又NE平面平面 BDE，AM平面平面 BDE， AM平面平面 BDE. 解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试条条大路通罗马，换一个思路试一试 如图所示， 在正方体如图所示， 在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中， M， N 分别是分别是 C1C， B1C1的中 点 求证 ： 的中 点 求证 ： MN平面平面 A1BD. 证明证明 法一：如图，以 法一：如图，以 D 为原点，为原点，DA， DC， DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立 空间直角坐标系，设正方体的棱长为 轴建立 空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则可求得则可求得 M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)， ( (0， ，1， ， 1 2) ) ( ( 1 2， ，1， ，1) ) 于是，于是，MN ( ( 1 2， ，0， ， 1 2) ) (1,0,1)DA1 得得2，DA1 MN 又又 M DA1，DA1MN. 而而 MN平面平面 A1BD， MN平面平面 A1BD. 法二：如法一中的坐标系，法二：如法一中的坐标系，B(1,1,0) 设平面设平面 A1BD 的法向量是的法向量是 n(x，y，z)， 则则 n·0，且，且 n·0，得，得Error!Error!DA1 DB 取取 x1，得，得 y1，z1. n(1，1，1) 又又·n·(1，1，1)0，MN ( ( 1 2， ，0， ， 1 2) ) n.又又 MN平面平面 A1BD.MN MN平面平面 A1BD. 法三：法三：MN C1N C1M 1 2C 1B1 1 2C 1C ()， 1 2 D1A1 D1D 1 2DA 1 .而而 MN平面平面 A1BD，MN DA1 MN平面平面 A1BD. 点评点评 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种 思维，思路一是利用线面平行的判定定理 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种 思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线向量共线)； 思路二是证明直线与平面的法向量垂 直 ； 思路二是证明直线与平面的法向量垂 直(向量垂直向量垂直) 1设直线设直线 l 的方向向量为的方向向量为 a，平面，平面 的法向量为的法向量为 b，若，若 a·b0，则，则( ) Al Bl ClDl 或或 l 解析：当解析：当 a·b0 时，时， l 或或 l. 答案：答案：D 2 已知直线 已知直线 l 的方向向量为的方向向量为 a， 平面， 平面 内两共点向量， 下列关系中能表示内两共点向量， 下列关系中能表示 lOA OB 的是的是( ) Aa BakOA OB Cap D以上均不能以上均不能OA OB 解析：解析：A、B、C 均能表示均能表示 l 或或 l. 答案：答案：D 3 已知线段 已知线段 AB 的两端点的坐标为的两端点的坐标为 A(9， ， 3,4)， B(9,2,1)， 则线段， 则线段 AB 与坐标平面与坐标平面( ) AxOy 平行平行BxOz 平行平行 CyOz 平行平行DxOy 和和 yOz 都平行都平行 解析：解析：A，B 两点横坐标相同，两点横坐标相同，AB 与与 yOz 平面平行平面平行 答案：答案：C 4已知直线已知直线 l 的方向向量为的方向向量为 (1，1,2)，平面，平面 的法向量为的法向量为 n(2,4,1)，且，且 l ，则，则 l 与与 的位置关系是的位置关系是_ 解析：因为解析：因为 ·n2420，所以，所以 n. 又又 l ，所以，所以 l. 答案：答案：l 5已知已知 l，且，且 l 的方向向量为的方向向量为(2，m,1)，平面，平面 的法向量为的法向量为(2,1,4)，则，则 m_. 解析：解析：l， 2××2m××11××40. m8. 答案：答案：8 6 已知在长方体 已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，中， E， M， N分别是分别是BC， AE， CD1的中点，的中点， ADAA1a， AB2a. 求证：求证：MN平面平面 ADD1A1. 证明 ： 以证明 ： 以 D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(a， 0,0)， B(a,2a,0)， C(0， 2a,0)， D1(0,0，a)，E . ( ( 1 2a， ，2a， ，0) ) M，N 分别为分别为 AE，CD1的中点，的中点， M，N . ( ( 3 4a， ，a， ，0) ) ( (0， ，a， ， a 2) ) .MN ( ( 3 4a， ，0， ， a 2) ) 取取 n(0,1,0)，显然，显然 n平面平面 ADD1A1，且，且·n0，MN n.MN 又又 MN平面平面 ADD1A1， MN平面平面 ADD1A1. 一、选择题一、选择题 1下面关于空间向量的说法正确的是下面关于空间向量的说法正确的是( ) A若向量若向量 a，b 平行，则平行，则 a，b 所在直线平行所在直线平行 B若向量若向量 a，b 所在直线是异面直线，则所在直线是异面直线，则 a，b 不共面不共面 C若若 A，B，C，D 四点不共面，则，不共面四点不共面，则，不共面AB CD D若若 A，B，C，D 四点不共面，则，不共面四点不共面，则，不共面AB AC AD 解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是 共面的，故 解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是 共面的，故 B、C 都不正确注意向量平行与直线平行的区别，可知都不正确注意向量平行与直线平行的区别，可知 A 不正确，可用反证 法证明 不正确，可用反证 法证明 D 是正确的是正确的 答案：答案：D 2已知直线已知直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为 a(2,0,1)，平面，平面 的一个法向量为的一个法向量为 b(2，1,4)， 则直线 ， 则直线 l 与平面与平面 的位置关系是的位置关系是( ) Al Bl Cl 与与 相交相交Dl 或或 l 解析：解析：a·b(2,0,1)·(2，1,4)4040， ab， l 或或 l. 答案：答案：D 3若平面若平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，并且 ，则，则 x 的 值为 的 值为( ) A10B10 C.D 1 2 1 2 解析：解析：，ab， ，x . x 1 1 2 2 4 1 2 答案：答案：C 4.如图所示，在棱长为如图所示，在棱长为a的正方体的正方体ABCD­A1B1C1D1中，中，M，N分别为分别为A1B和和AC上上 的点，的点，A1MANa，则，则 MN 与平面与平面 BB1C1C 的位置关系是的位置关系是( ) 2 3 A相交相交B平行平行 C垂直垂直D不能确定不能确定 解析：在正方体解析：在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，|A1B|AC|a，2 所以，所以，A1M 1 3A 1B AN 1 3 AC 所以所以MN M A1 A1A AN 1 3A 1B A1A 1 3 AC 1 3A 1A 1 3 AB A1A 1 3 AD 1 3 AB ， 2 3A 1A 1 3 AD 2 3B 1B 1 3B 1C1 所以， ，共面，所以， ，共面，MN B1B B1C1 因为因为 MN平面平面 BB1C1C， 所以所以 MN平面平面 BB1C1C. 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 5直线直线 l 不在平面不在平面 ABC 内，且内，且 l 上两点上两点 C，D 满足满足12，则直线，则直线 l 与与CD AB AC 平面平面 ABC 的位置关系是的位置关系是_ 答案：平行答案：平行 6若两个不同平面若两个不同平面 ， 的法向量分别为的法向量分别为 u(1,2，1)，(2,3,8)，则平面，则平面 ， 的 位置关系是 的 位置关系是_(填“平行” 、“垂直”或“相交但不垂直”填“平行” 、“垂直”或“相交但不垂直”) 解析：解析：u·(1,2，1)·(2,3,8)1××22××31××80， u，. 答案：垂直答案：垂直 7已知直线已知直线 l 与平面与平面 垂直，直线垂直，直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为 a(1,3，z)，向量，向量 b(3，2,1) 与平面与平面 平行，则平行，则 z_. 解析：解析：l，b，ab， a·b(1,3，z)·(3，2,1)0， 即即 36z0，则，则 z3. 答案：答案：3 8已知正方体已知正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，E，F，G，H，M，N 分别分别 是正方体六个面的中心则平面是正方体六个面的中心则平面 EFG 与平面与平面 HMN 的位置关系为的位置关系为_ 解析 ： 如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为解析 ： 如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2，则，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)， G(2，1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1) (0，1,1)，EF (1,0,1)，EG (0,1，1)， ， (1,0，1)HM HN 设设 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面分别是平面 EFG 和和 HMN 的法向量的法向量 由由Error!Error!得得Error!Error! 令令 x11，得，得 m(1，1，1)； 由由Error!Error!得得Error!Error! 令令 x21，得，得 n(1，1，1) mn.即即 mn. 平面平面 EFG平面平面 HMN. 答案：平行答案：平行 三、解答题三、解答题 9在四棱锥在四棱锥 P­ABCD 中，底面中，底面 ABCD 是正方形，侧棱是正方形，侧棱 PD底面底面 ABCD，PDDC，E 是是 PC 的中点证明：的中点证明：PA平面平面 EDB. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接 AC 交交 BD 于于 G，连接，连接 EG. 设设 DCa，依题意得，依题意得 A(a,0,0)， P(0,0，a)，E. ( (0， ， a 2， ， a 2) ) 底面底面 ABCD 是正方形，是正方形， G 是此正方形的中心，是此正方形的中心， 故点故点 G 的坐标为的坐标为. ( ( a 2， ， a 2， ，0) ) (a,0，a)，.PA EG ( ( a 2， ，0， ， a 2) ) 故故2，这表明，这表明 PAEG.PA EG 而而 EG平面平面 EDB 且且 PA平面平面 EDB， PA平面平面 EDB. 10.如图，在正方体如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，中，O 为底面为底面 ABCD 的中心，的中心，P 是是 DD1的中点， 设 Q 是 的中点， 设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面Q平面 PAO? 解 ： 建立如图所示的坐标系， 设正方体棱长为解 ： 建立如图所示的坐标系， 设正方体棱长为 2， 则， 则 O(1,1,0)， A(2,0,0)， P(0,0,1)， B(2,2,0)， D1(0,0,2)再设 Q再设 Q(0,2，c) (1，1,0)，OA (1，1，1)，OP (2,0，c)，BQ Q (2，2,2)BD1 设平面设平面 PAO 的法向量为的法向量为 n1(x，y，z)， 则则Error!Error!Error!Error! 令令 x1，则，则 y1，z2， 平面平面 PAO 的一个法向量为的一个法向量为 n1(1,1,2) 若平面若平面 D1BQ平面Q平面 PAO，那么，那么 n1也是平面也是平面 D1BQ 的一个法向量Q 的一个法向量 n1·0，即，即22c0.BQ Q c1， 这时这时 n1·2240，BD1 故当 Q 为故当 Q 为 CC1的中点时，平面的中点时，平面 D1BQ平面Q平面 PAO.