2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 3.8 共面与平行含解析.pdf
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1、38共面与平行共面与平行 读教材读教材填要点填要点 1共面共面 (1)如果若干个图形在同一个平面内,就称这些图形共面如果若干个图形在同一个平面内,就称这些图形共面 (2)A, B, C, D 共面直线共面直线 AD 在平面在平面 ABC 内内n(其中其中 n 为平面为平面 ABC 的法向量的法向量)AD 2直线与平面共面或平行的判定直线与平面共面或平行的判定 一般地,设一般地,设 n 是平面是平面 的一个法向量,的一个法向量,v 是直线是直线 l 的方向向量,则的方向向量,则 vnl 或或 l. 如果如果 vn 且且 l 上至少有一点上至少有一点 A,则,则 l. 如果如果 vn 且且 l 上
2、至少有一点上至少有一点 A ,则,则 l. 小问题小问题大思维大思维 若直线若直线 l 的方向向量为的方向向量为 u(3,4,2),平面,平面 的一个法向量为的一个法向量为 v(2,2,1),那,那 l 与与 的位置关系是什么?的位置关系是什么? 提示:提示:uv(3,4,2)(2,2,1)6820, uv. l 或或 l. 四点共面问题四点共面问题 判断判断 A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)四点是否共面,并说明理由四点是否共面,并说明理由 自主解答自主解答 A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3), (3,4,5),(1,2,2)AB
3、AC 设平面设平面 ABC 的法向量的法向量 n(x,y,z), 则则 n0,且,且 n0,AB AC 即即Error!Error!xz0. 令令 x1,则,则 z1,y , , 1 2 n. ( (1, , 1 2, , 1) ) 又又D(10,14,17),(9,14,16),AD n(9,14,16)AD ( (1, , 1 2, , 1) ) 9114 160, 1 2 n.AD 又又A平面平面 ABC, AD平面平面 ABC,A,B,C,D 四点共面四点共面 (1)A,B,C,D 共面直线共面直线 AD 在平面在平面 ABC 内内n.AD (2)(共面向量定理共面向量定理)如果如果
4、A, B, C 三点不共线, 则点三点不共线, 则点 M 在平面在平面 ABC 内的充分必要条件是, 存在一对实数 内的充分必要条件是, 存在一对实数 x,y,使向量表达式,使向量表达式xy成立成立AM AB AC 1空间直角坐标系中,已知空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),P(x,y,z)是平面是平面 ABC 内任 意一点,试求 内任 意一点,试求 x,y,z 满足的方程满足的方程 解:解:A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2), (3,4,0),(3,0,2)AB AC 设设 n(x,y,z)为平面为平面 ABC 的一个法向量,的一个
5、法向量, 则则 n0,且,且 n0,AB AC Error!Error!令令 x14,则,则 y13,z16, 即即 n(4,3,6) 又又P(x,y,z)在平面在平面 ABC 内,内, n0,即,即(x3,y,z)(4,3,6)0,AP 4x123y6z0, 即即 4x3y6z12. 证明线面平行、面面平行证明线面平行、面面平行 已知正方体已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2,E,F 分别是分别是 BB1,DD1的中点,求 证: 的中点,求 证: (1)FC1平面平面 ADE; (2)平面平面 ADE平面平面 B1C1F. 自主解答自主解答 如图所示建立空间直角坐标系 如
6、图所示建立空间直角坐标系 Dxyz, 则有则有 D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),C1(0,2,2), F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1)FC1 DA AE (1)设设 n1(x1,y1,z1)是平面是平面 ADE 的法向量,的法向量, 则则 n1,n1,DA AE 即即Error!Error! 得得Error!Error!令令 z12,则,则 y11, 所以所以 n1(0,1,2) 因为因为n1220,所以,所以n1.FC1 FC1 又因为又因为 FC1平面平面 ADE, 所以所以 FC1平面平面 ADE. (2
7、)(2,0,0),C1B1 设设 n2(x2,y2,z2)是平面是平面 B1C1F 的一个法向量的一个法向量 则则 n2,n2,FC1 C1B1 即即Error!Error! 得得Error!Error! 令令 z22 得得 y21, 所以所以 n2(0,1,2)因为因为 n1n2, 所以平面所以平面 ADE平面平面 B1C1F. (1)用向量法证明线面平行:一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量 且直线不在平面内;二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直 线不在平面内;三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内 用向量法证明线面平行:一是证明直线
8、的方向向量与平面内的某一向量是共线向量 且直线不在平面内;二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直 线不在平面内;三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内 (2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行 2.如图, 已知正方形如图, 已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所在的平面互相垂直, AB , ,AF1,M 是线段是线段 EF 的中点的中点2 求证:求证:AM平面平面 BDE. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系证明:建立如图所示的空间直角坐标系 设设 ACBDN
9、,连接,连接 NE, 则点则点 N,E 的坐标分别是,的坐标分别是,(0,0,1) ( ( 2 2 , , 2 2 , ,0) ) .NE ( ( 2 2 , , 2 2 , ,1) ) 又点又点 A,M 的坐标分别是的坐标分别是(,0),22 ( ( 2 2 , , 2 2 , ,1) ) .AM ( ( 2 2 , , 2 2 , ,1) ) ,且,且 A NE,NE AM NEAM. 又又NE平面平面 BDE,AM平面平面 BDE, AM平面平面 BDE. 解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试条条大路通罗马,换一个思路试一试 如图所示, 在正方体如图所示, 在
10、正方体 ABCDA1B1C1D1中,中, M, N 分别是分别是 C1C, B1C1的中 点 求证 : 的中 点 求证 : MN平面平面 A1BD. 证明证明 法一:如图,以 法一:如图,以 D 为原点,为原点,DA, DC, DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立 空间直角坐标系,设正方体的棱长为 轴建立 空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 则可求得则可求得 M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1), ( (0, ,1, , 1 2) ) ( ( 1 2, ,1, ,1) ) 于是,于是,MN ( ( 1 2, ,0, , 1 2) ) (1,0,1)
11、DA1 得得2,DA1 MN 又又 M DA1,DA1MN. 而而 MN平面平面 A1BD, MN平面平面 A1BD. 法二:如法一中的坐标系,法二:如法一中的坐标系,B(1,1,0) 设平面设平面 A1BD 的法向量是的法向量是 n(x,y,z), 则则 n0,且,且 n0,得,得Error!Error!DA1 DB 取取 x1,得,得 y1,z1. n(1,1,1) 又又n(1,1,1)0,MN ( ( 1 2, ,0, , 1 2) ) n.又又 MN平面平面 A1BD.MN MN平面平面 A1BD. 法三:法三:MN C1N C1M 1 2C 1B1 1 2C 1C (), 1 2 D
12、1A1 D1D 1 2DA 1 .而而 MN平面平面 A1BD,MN DA1 MN平面平面 A1BD. 点评点评 证明线面平行的方法很多,要根据题目的条件选取适合的方法,具体地有两种 思维,思路一是利用线面平行的判定定理 证明线面平行的方法很多,要根据题目的条件选取适合的方法,具体地有两种 思维,思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线向量共线); 思路二是证明直线与平面的法向量垂 直 ; 思路二是证明直线与平面的法向量垂 直(向量垂直向量垂直) 1设直线设直线 l 的方向向量为的方向向量为 a,平面,平面 的法向量为的法向量为 b,若,若 ab0,则,则( ) Al Bl ClDl 或或 l
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