2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题.pdf

第卷（选择题） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求. 1. 圆的圆心坐标和半径分别是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】依题意可得： 圆的圆心坐标和半径分别是 故选： D 2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】 C 【解析】 试题分析： 若，则直线与 可能平行或异面，A错误； 若， 且，则直线与 可能平行或相交或异面，B错误；若，则，由于垂 直于同一平面的两条直线互相平行，C正确；选C. 考点：空间直线与平面的位置关系； 3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的 底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底 面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选 C. 考点：几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力 及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相 等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱 锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题. 4. 直线，当变化时，所有直线都过定点 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】依题意可得： 当变化时，所有直线都过定点 故选： D 5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围 是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：画出图象如下图所示，直线过定点，由图可知，斜率最小值为 ，此时直线的倾斜角为，故倾斜角的取值范围是 考点：两条直线的位置关系. 6. 正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影， 则异面直线与 所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影 是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选 答案 B。 点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线与 所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获 解。 7. 直线截圆所得的弦长为 A. 1 B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 圆到直线的距离，所以直线截 圆得到的弦长为 故选择 B. 8. 在正方体中，为棱上一动点，为底面上一动点，是的 中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是 A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分 【答案】 A 【解析】由题意知，当 P在 A处，Q在 AB上运动时，M的轨迹为过AA 的中点，在平面 AA BB 内平行于AB的线段（靠近AA ） ，当 P在 A处， Q在 AD上运动时， M的轨迹为过AA 的中 点，在平面AA DD 内平行于AD的线段（靠近AA ） ， 当 Q在 B处， P在 AA 上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA BB 内平行于AA 的线段（靠近AB ） ， 当 Q在 D处， P在 AA 上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA BB 内平行于AA 的线段（靠近AD ） ， 当 P在 A处，Q在 BC上运动时， M的轨迹为过AB的中点， 在平面 ABCD 内平行于AD的线段（靠 近 AB ） ， 当 P在 A处，Q在 CD上运动时， M的轨迹为过AD的中点， 在平面 ABCD 内平行于AB的线段（靠 近 AB ） ， 同理得到： P在 A处， Q在 BC上运动； P在 A处， Q在 CD上运动； P在 A处， Q在 C处， P在 AA 上运动； P、Q都在 AB ，AD ，AA 上运动的轨迹进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体 故选： A 9. 已知点在直线上运动，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】的几何意义为直线上的动点到定点的距离的平方， 显然最小值为定点到直线距离的平方，即 故选： A 点睛：类比两点之间的距离公式, 借助动点P的运动趋势把点点距转化 为点到直线的距离，注意两类距离的关系. 10. 三棱锥的三组相对棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分 别为，其中，则该三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：三棱锥扩展为长方体，三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥 的体积的差，推出B不正确，则C不正确，通过特殊图形说明D正确 解： 如图设长方体的三度为，a， b， c； 所以所求三棱锥的体积为：abc- 4× × abc= abc a 2+b2=2， b 2+c2=n2，a2+c2=m2，所以 2（a2+b2+c2）=n2+m2+2=8 a2+b2+c2=4因为 43 ，abc此时 a=b=c，与 n 2+m2=6，a2+b2=2，矛盾，所以选项 B不正确；则C不正确；当底 面三角形是等腰三角形时，m=n= 不难求出三棱锥体积的最大值为,选 D 考点：几何体的体积 点评：本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用， 转化思想与计算能力 11. 若直线始终平分圆的周长， 则的最小值 为 A. 1 B. 5 C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析： 由题意可得： 直线经过圆心，所以； 则，所以应选D 考点：直线与圆的位置关系、基本不等式 12. 在菱形中，将沿折起到的位置，若二面角 的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】 B 【解析】因为在菱形中，的中点为, 所以 , 则 , 所以 为二面角的平面角 , 由于, 所以为等边三角形 , 若外接圆的圆心为, 则平面,在等边 中, 可以证明, 所以,又 , 所以 , 在中, 选 B. 点睛 : 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题 . 本题思路 : 由二面角的定义求出 , 确定外接圆的圆心位置, 由球的截面圆的性质得到平面, 利用 , 求出的长度 . 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13. 已知两条直线与平行，则的值为 _. 【答案】 -1 【解析】由得：， 当 k=0 时，显然不符合题意； 当 k时，即 时，两直线重合舍去， 故答案为： 14. 在三棱锥中，为的中心，过点作三棱锥的一个截面，使 截面平行于直线和，则截面的周长为_. 【答案】 8 【解析】试题分析：过点G作交 PA 、PC于点 E、F，过 E 、F 分别作、分 别交 AB 、 BC于点 N、 M ， 连结 MN ， 所以 EFMN 是平行四边形， ， 即， 即，所以截面的周长. 考点：以三棱锥为几何载体考查了线线平行、截面的周长. 15. 从原点 O向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为 _. 【答案】 2 【解析】 把圆的方程化为标准方程为：x 2+（y6）2=9， 得到圆心C的坐标为（ 0，6） ，圆的半径r=3， 由圆切线的性质可知，CBO= CAO=90 °，且AC=BC=3 ，OC=6 ， 则AOB= BOC+ AOC=60 °，所以 ACB=120 °， 所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=2 故答案为： 2 点睛：处理与圆相关的问题，关键是利用好圆的几何性质，即可把繁杂的运算问题转化为相 对比较直观简单的几何问题来处理. 【答案】 考点：直线与圆的位置关系； 三. 解答题：本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17. 在中，分别为A的中点， 点为线段上的一点， 将沿 折起到的位置，使 （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析： （ 1）欲证平面，关键是证明，利用线面平行的判定定理 即可证得；（2）欲证线线垂直，可先证一直线与另一直线所在的平面垂直，通过线面垂直的 性质证得线线垂直. 试题解析：（1）因为分别为的中点，所以， 又因为面，面，所以平面； （2）由已知得且，所以 所以 所以平面，而平面 所以，又因为， 所以平面，所以. 考点： 1、线面平行的判定；2、线面垂直的判定 【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）根据题中条件画出立体图形；（2）比较翻折 前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，特别关注折叠前 后不变的垂直关系与平行关系；（ 3）将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一 个条件与结论明朗化的立几问题“折叠”与“展开”互动，“空间”与“平面”互换，利 用平面图形解决空间问题的降维思想本题考查线面平行、垂直的判定，考查空间想象能力 和逻辑推理能力，属于中档题 18. 已知点，圆 （1）过点的圆的切线只有一条，求的值及切线方程； （2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求的值 . 【答案】 (1)时，切线方程为xy40， )时，切线方程为xy4 0(2) 【解析】试题分析：若过点A的圆的切线只有一条，说明点在圆上，点A的坐标满足圆的方 程求出；由于直线在两坐标轴上的截距相等，所以可用直线的截距式巧设直线的方程；求圆 的弦长，一般先求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理计算弦长，利用待定系数法，列 方程，解方程组求出. 试题解析： (1) 由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故1 2 a 24， a±. 当a时，A(1 ，) ，切线方程为xy 40； 当a时，A(1，) ，切线方程为xy4 0， a时，切线方程为xy40， a时，切线方程为xy40. (2) 设直线方程为xyb， 由于直线过点A，1ab，ab1. 又圆心到直线的距离d， () 2( ) 24. b±. a±1. 19. 在直三棱柱中，, 点分别为 的中点 . （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积（锥体的体积公式，其中为底面面积，为高） 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】试题分析： （1）欲证平面，即证 MN AC ；（2）利用 VA MNC=VN A MC=VN ABC=VANBC，求三棱锥A MNC 的体积 试题解析： （1） 连接 AB ，AC ，由已知 BAC=90 °，AB=AC ，三棱柱ABC-ABC为直三棱柱， 所以 M为 AB 的中点，又因为N为 BC中点，所以MN AC ， 又 MN ?平面 AACC ，AC ? 平面 AACC ，所以MN 平面 AACC ； （2）连结BN，由题意ANBC， 平面ABC平面BBCC=BC， AN平面NBC 又AN=BC=1， 故VA MNC=VNAMC=VN A BC=VA NBC= 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问 题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不 规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积 法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形( 或几何体 )的面积 (或体积 )通过已知 条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接 计算得到高的数值 20. 已知圆 C的圆心在直线上，且与直线相切于点 （1）求圆 C的方程； （2） 是否存在过点的直线 与圆 C交于两点，且的面积为（O为坐标原点） ， 若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析： （）过切点P （3，2）且与 x+y1=0 垂直的直线为y=x5，与直线y= 4x 联立，解得圆心为（1， 4） ，由此能求出圆的方程 （）当斜率不存在时， 直线 l 方程为 x=1，满足题意； 当斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y=k （x 1） ，由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k从而所求的直线方 程为 x=1 试题解析： （1）设圆心坐标为，则圆的方程为：，又与相 切，则有，解得：，所以圆的方程为： ； （2）由题意得：当存在时，设直线，设圆心到直线的距离为， 则有，进而可得： 化简得：，无解； 当不存在时，则圆心到直线的距离，那么， ，满足题意，所以直线的方程为：. 21. 已知三棱柱中，侧面底面是的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】试题分析： ( ) 由题意可证得侧面底面于，而在底面内，故面. ( ) 首先做出直线与平面所成的角，然后结合结合关系整理计算即可求得直线与平面 所成线面角的正弦值是. 试题解析： （）取中点，连接， 中，故是等边三角形， 又，而与相交于，面， 故，又，所以， 又侧面底面于，在底面内，面. （）过作平面，垂足为，连接，即为直线与平面所成的 角， 由（）知，侧面底面，所以平面，由等边知 ， 又平面， ， 由（）知面，所以，四边形是正方形， ， 在中， 所以直线与平面所成线面角的正弦值为. 点睛： (1) 求直线与平面所成的角的一般步骤： 找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； 计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 (2) 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线， 再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的 平面角 22. 已知圆 C经过点，且圆心在直线上，又直线与圆 C交于 P,Q 两点 . （1）求圆 C的方程； （2）若，求实数的值； (3) 过点作直线，且交圆 C于 M,N两点，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） x 2 +y 2 =4 （2）k=0（ 3）7 【解析】试题分析： （1）设圆心为，半径为故，建立方程，从而可求 圆的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得，计算圆心到直线的距离，即 可求解实数的值； （3）方法 1、设圆到直线的距离分别为，求得，根据垂 径定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四边 形面积的最大值；方法2、利用弦长公式， ，表示三角形的面积，在利用基本不等式，可求四边形面积 的最大值 试题解析：（1）设圆心为，半径为故，易得， 因此圆的方程为 （2）因为，且与的夹角为， 故，所以到直线 的距离，又，所以 又解：设P，则，即， 由得， 代入得，； （3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为 因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有， 又， 故 当且仅当时，等号成立，所以 （3）又解：由已知，由（ 2）的又解可得， 同理可得， ， 当且仅当时等号成立，所以 考点：直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程 【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用， 同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中 档试题解答的关键是准确表达的长度，正确表示四边形的面积合理运用基本 不等式求解四边形面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件 23. 已知圆 C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆 C相切 . （1）求圆 C的方程； （2）过点的直线 与圆 C交于不同的两点，且当时， 求的面积 . 【答案】（1）+（2） 【解析】试题分析： （I ）设圆心为C（a，0） ， （ a0） ，可得圆 C的方程的方程再根据圆心 到直线的距离等于半径求得a 的值，可得圆C的方程 （II ）依题意：设直线l 的方程为： y=kx 3，代入圆的方程化简，利用根与系数的关系求得 两根和与两根积，再由x1x2+y1y2=3，求得 k 的值，可得直线l 的方程求得圆心C到 l 的距 离 d、以及 |AB| 的值，再由面积公式，计算求得结果 试题解析： （1）设圆心为，则圆 C的方程为 因为圆 C与相切所以解得：（舍） 所以圆 C的方程为： （2）依题意：设直线l 的方程为： 由得 l与圆 C相交于不同两点 又 整理得：解得（舍） 直线 l 的方程为： 圆心 C到 l 的距离在ABC中， |AB|= 原点 O到直线 l 的距离，即 AOB 底边 AB边上的高