合肥工业大学2006年复变函数与积分变换期末考试试题A.pdf

合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换期末考试试题A 合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换试卷 一、填空题（本题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1） 已知是解析函数，则= ， = ， = 。 （2）设的 Taylor 级数为，则该级数的收敛半 径为。 （3）已知，则 = 。 （4）在处的伸缩率为，转动角为。 （5）设则= 。 二、选择题（本题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1）函数在点处可导是在该点解析的（） （A）充分条件。（B）必要条件。 （C）充要条件。（D）既非充分也非必要条件。 （2）将平面上的直线映射成平面上的曲线（） （A）。 （B）。 （C ）。 （D）。 （3）设曲线为单位圆，取正向，则积分（） （A）。（B）。（C ）。（D）0。 （4）级数（） （A）条件收敛。（B）绝对收敛。（C ）发散。（D）敛散性不 定。 （5）是函数的（） （A）非孤立奇点。（B）可去奇点。（C）一级极点。（D）本 性奇点。 三、 （12分）已知调和函数，求调和函数，使 成为解析函数，并满足。 四、（ 20 分）计算下列积分： （1），其中为抛物线上从点 0 到点的一段弧； （2），：，正向； （3），：，正向； （4）。 五、（ 12 分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数： （1）；（2）；（3）。 六、（ 10 分）求将上半平面映射成单位圆且满足条件 的分式线性映射。 七、（ 12 分）应用 Laplace 变换解微分方程： 八、（4 分）设函数在区域内解析，且在区域内是一个常 数，证明在内恒为常数。 合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换试题解答 一、（ 1）1，-1 ，2；（2）；（3）；（4）12，；（5）. 二、（ 1）B；（2）A；（3）D；（4）A ；（5）C. 三、. 由得 由，并比较（ 1）式，得，所以 由得，所以 四、（ 1）原式 （2）都是的一级极点，但只有在内部 . Res, Res. 原式. （3）是的一级极点，是的二级极点。 Res Res 原式 =. （4）在上半平面内有一个一级极点. Res 原式 五、（ 1） （2） （3） 六、设，则 由得 ， 即，所以 七、设. 在方程两边取Laplace 变换，得 . 将初始条件代入上式并整理，得 . Res Res 八、常数， 由方程，得 （*） 若，则，结论成立；若，由（ *）得，所 以。同理，从而常数。