合肥工业大学2006年复变函数与积分变换期末考试试题A.pdf
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1、合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换期末考试试题A 合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换试卷 一、填空题(本题共5 小题,每小题 3 分,满分 15 分。) (1) 已知是解析函数,则= , = , = 。 (2)设的 Taylor 级数为,则该级数的收敛半 径为。 (3)已知,则 = 。 (4)在处的伸缩率为,转动角为。 (5)设则= 。 二、选择题(本题共5 小题,每小题 3 分,满分 15 分。) (1)函数在点处可导是在该点解析的() (A)充分条件。(B)必要条件。 (C)充要条件。(D)既非充分也非必要条件。 (2)将平面上的直线映射成平面上的曲线() (A)。 (B)
2、。 (C )。 (D)。 (3)设曲线为单位圆,取正向,则积分() (A)。(B)。(C )。(D)0。 (4)级数() (A)条件收敛。(B)绝对收敛。(C )发散。(D)敛散性不 定。 (5)是函数的() (A)非孤立奇点。(B)可去奇点。(C)一级极点。(D)本 性奇点。 三、 (12分)已知调和函数,求调和函数,使 成为解析函数,并满足。 四、( 20 分)计算下列积分: (1),其中为抛物线上从点 0 到点的一段弧; (2),:,正向; (3),:,正向; (4)。 五、( 12 分)将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数: (1);(2);(3)。 六、( 10 分)求将上半平面映
3、射成单位圆且满足条件 的分式线性映射。 七、( 12 分)应用 Laplace 变换解微分方程: 八、(4 分)设函数在区域内解析,且在区域内是一个常 数,证明在内恒为常数。 合肥工业大学2006 年复变函数与积分变换试题解答 一、( 1)1,-1 ,2;(2);(3);(4)12,;(5). 二、( 1)B;(2)A;(3)D;(4)A ;(5)C. 三、. 由得 由,并比较( 1)式,得,所以 由得,所以 四、( 1)原式 (2)都是的一级极点,但只有在内部 . Res, Res. 原式. (3)是的一级极点,是的二级极点。 Res Res 原式 =. (4)在上半平面内有一个一级极点. Res 原式 五、( 1) (2) (3) 六、设,则 由得 , 即,所以 七、设. 在方程两边取Laplace 变换,得 . 将初始条件代入上式并整理,得 . Res Res 八、常数, 由方程,得 (*) 若,则,结论成立;若,由( *)得,所 以。同理,从而常数。
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