2020届高三文科数学总复习课件：9.5　抛物线及其性质 (数理化网).pptx

§9.5 抛物线及其性质,高考文数（课标专用）,考点一 抛物线的定义及其标准方程 考向基础 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛 物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 ,抛 物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称 轴,简称抛物线的轴. 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂 线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到 抛物线的四种不同形式的标准方程y2=±2px,x2=±2py,其中p0.,考点清单,例1 (2018湖北荆州中学11月月考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0), 过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB 的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x,考向突破 考向 求抛物线的标准方程,解析 ABx轴,且AB过点F,AB是焦点弦,|AB|=2p,SCAB= ×2p × =24,解得p=4或p=-12(舍),抛物线方程为y2=8x,直线AB的方 程为x=2,以AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x,故选D.,答案 D,考点二 抛物线的几何性质 考向基础 1.抛物线的几何性质,2.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p0)的关系 (1)P在抛物线内(含焦点) 2px0. 3.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称作焦半径,记作r=|PF|. (1)y2=2px(p0),r=x0+ ; (2)y2=-2px(p0),r=-x0+ ; (3)x2=2py(p0),r=y0+ ; (4)x2=-2py(p0),r=-y0+ .,例2 (2019届湖南衡阳第一中学第一次月考,4)抛物线y=4x2的焦点坐标 是 ( ) A. B.(1,0) C.(0,1) D.,考向突破 考向 抛物线几何性质的应用,解析 由题意知抛物线的标准方程为x2= y,焦点坐标为 .故选 A.,答案 A,例3 (2018湖南永州三模,6)已知抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3), 则抛物线的焦点到准线的距离等于 ( ) A. B. C. D.,解析 由抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3), 可得p=3,则抛物线的标准方程为x2= y, 则抛物线的焦点到准线的距离等于 .故选D.,答案 D,考点三 直线与抛物线的位置关系 考向基础 1.AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)x1x2= ; (2)y1y2=-p2; (3)弦长|AB|=x1+x2+p, x1+x22 =p,当且仅当x1=x2时,弦长|AB|最短,最小长度为2p; (4)弦长|AB|= (为AB的倾斜角). (5)若直线AB的倾斜角为,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=,|BF|= ; (6)SAOB= (其中为直线AB的倾斜角); (7) + = ; (8)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (9)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切. 2.AB为抛物线y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设直线AB 的斜率k存在,且k0. (1)弦长|AB|=|x1-x2|· =|y1-y2|· ;,(2)k= ; (3)直线AB的方程为y-y0= (x-x0); (4)弦AB的垂直平分线方程为y-y0=- (x-x0).,【知识拓展】 1.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过 A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论: (1)点P的轨迹是一条直线,为抛物线的准线l:y=- ;,(2)两切线互相垂直,即PAPB; (3)PFAB; (4)点P的坐标为 . 2.非焦点弦性质 (1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过 定点(2p,0),反之亦成立; (2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对 称轴上一点,则|MN|min=,例4 过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 如果x1+x2=6,那么|AB|= ( ) A.6 B.8 C.9 D.10,考向突破 考向一 直线与抛物线相交的弦长问题,解析 由抛物线方程可知2p=4,p=2.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=6+2=8, 故选B.,答案 B,例5 (2019届黑龙江哈三中期中考试,14)已知点P(2,1),若抛物线y2=4x 的一条弦AB的中点恰好是点P,则弦AB所在的直线方程为 .,考向二 与抛物线有关的弦中点问题,解析 易知直线AB的斜率存在且不为0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k (k0), 联立 整理得k2x2+2k(1-2k)-4x+(1-2k)2=0, 所以x1+x2=- , 因为弦AB的中点为点P(2,1), 所以- =4,解得k=2, 所以弦AB所在的直线方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.,答案 2x-y-3=0,一题多解 易知直线AB的斜率存在且不为0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2)(k0),即y=kx+1-2k (k0), 由已知可得 两式相减可得 - =4(x1-x2), 则k= = ,又知弦AB的中点是点P,y1+y2=2, k= =2,所求直线的方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.,方法1 求抛物线的标准方程的方法 1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨 迹类型,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线 的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a 0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0).,方法技巧,例1 已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p0),C1与C2相交于A,B两 点,且|AB|= ,则抛物线C2的方程为 ( ) A.y2= x B.y2= x C.y2= x D.y2= x,解题导引,解析 由题意,知直线AB必过原点, 设AB的方程为y=kx(易知k0), 圆心C1(0,2)到直线AB的距离d= = = ,解得k=2, 由 得 或 把 代入抛物线方程,得 =2p· ,解得p= , 所以抛物线C2的方程为y2= x.故选C.,答案 C,方法2 抛物线定义的应用策略 抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解 决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等 价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物 线焦点弦有关问题的有效途径.,例2 (2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M 到直线NF的距离为 ( ) A. B.2 C.2 D.3,解析 如图,因为直线MF的斜率为 , 所以直线MF的倾斜角为60°,则FMN=60°. 由抛物线的定义得|MF|=|MN|, 所以MNF为等边三角形. 过F作FHMN,垂足为H. 易知F(1,0),l的方程为x=-1, 所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|= +2,即|MF|=4, 所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4× =2 .故选C.,解题导引,答案 C,方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法 1.直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法有:把 直线方程和抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,则:若方程的 判别式0,则直线与抛物线相交;若方程的判别式=0,则直线与抛物 线相切;若方程的判别式0,则直线与抛物线相离.若得到的是一元 一次方程,则直线与抛物线交于一点,此时直线与对称轴平行(或重合). 2.直线与抛物线相交时,常采用根与系数关系和点差法求解;直线与抛物 线相离时,常考查最值问题,利用数形结合法进行求解;直线和抛物线相 切时,切线的斜率可以用导数求解. 3.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式|AB|= = (k为直线的斜率,k0)进行求解.,例3 (2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横 坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直 线AB的方程.,解题导引,解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2,y1= ,y2= ,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k= = =1. (2)由y= ,得y'= , 设M(x3,y3), 由题设知 =1, 解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.,将y=x+m代入y= 得x2-4x-4m=0. 当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=2±2 . 从而|AB|= |x1-x2|=4 . 由题设知|AB|=2|MN|, 即4 =2(m+1), 解得m=7. 所以直线AB的方程为y=x+7.,