【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案.doc

解几综合题答案1.解：（）由已知得 4分 （）设P点坐标为（x，y）（x0），由得 5分 消去m，n可得 ，又因 8分 P点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支 9分（）设直线l的方程为，将其代入C的方程得 即 易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意） 又 设，则 l与C的两个交点在轴的右侧 ，即 又由 同理可得 11分 由得 由得 由得 消去得 解之得： ，满足 13分故所求直线l存在，其方程为：或2. （I）由已知， 2分则，即 4分（II）设，如图，由可得 5分若直线轴，则，此时，则，解之得，或但是若，则直线过点，不可能有所以，此时点到直线的距离为4 7分若直线斜率存在，设直线的方程为，则则，即又， 9分 则，可得或若，则直线的方程为，此直线过点，这与矛盾，舍若，则直线的方程为，即 12分此时若，则直线的方程为，显然与矛盾，故 13分由可得， 14分3. 解： 设.1 由，易得右焦点 .2当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知.3当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有.5于是 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是.8设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得.10同理，在，设，则也由余弦定理得.12于是.144. 解：（I）设B(x0，y0)，A(x1，y1)，C(x2，y2)双曲线的离心率为，F对应的准线方程为,由双曲线的定义得（12分）又A在双曲线的上半支，y1，|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，2|BF|=|AF|+|CF|，点B的坐标为.（6分） （II）在l上任取一点P（不同于D点），都存在实数，使得，在APC的角平分线上，（7分）线段AC的中点为D点，APC是等腰三角形，PD是线段AC的垂直平分线，（8分）设直线l的方程为（11分）故直线l恒过点（0，）.（12分）5. 解：（I）设椭圆的标准方程为，因B1F1B2F2是正方形，所以b=c，又a2 = b2 + c2，所以，由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以，由知，椭圆的标准方程为： （II）当直线的斜率存在，设直线MN的方程为解方程组消去设，则 又因M在DN之间，所以，即，于是，将代入得，整理得 8分又 10分当直线的斜率不存在时，直线MN的方程为， 11分综上所述，的取值范围是 12分6. 解：（1）由于， 解得，从而所求椭圆的方程为（4分） （2）三点共线，而点N的坐标为（2，0）.设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k0.由消去x得，即根据条件可知 解得（6分）设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去（8分）令，则 （10分）上的减函数，从而，即， ，解得因此直线AB的斜率的取值范围是（12分）7. 解：（）， MN垂直平分AF又， 点M在AE上， ， ， 4分 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， 点M的轨迹W的方程为（）6分（）设 ， 8分由点P、Q均在椭圆W上， 10分消去并整理，得，由及，解得 14分8. 解：（I）设点、M、A三点共线，（2分）（3分）设POM=，则由此可得tan=1.（5分）又（6分） （II）设点、B、Q三点共线，即（10分）即（12分）由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，4）.故存在定一点E（1，4），使（14分）9. （）解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示 设动点P(x，y)，则×1，即|x2y2|24分PDxy0，xy0，即x2y20x2y22(x0)即曲线C的方程为1(x0)6分（）解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以线段AB为直径的圆的圆心Q(，)，以线段AB为直径的圆与y轴相切，半径r|AB|即|AB|x1x28分曲线C的方程为1(x0)，F(2，0)为其焦点，相应的准线方程为x1，离心率e根据双曲线的定义可得，|AB|AF|BF|(x11)(x21)(x1x2)212分由，可得，x1x2(x1x2)2由此可得x1x242线段AB的长为4214分（）解法二：曲线C的方程为1(x0)，F(2，0)为其焦点，相应的准线为l：x1，离心率e分别过A，B作AA¢l，BB¢l，垂足分别为A¢，B¢设AB中点Q，过Q点作QQ¢y轴，垂足为Q¢由双曲线的定义可得，|AF|AA¢|，|BF|BB¢|10分|AB|AF|BF|(|AA¢|BB¢|)根据梯形中位线性质可得|AA¢|BB¢|2(|QQ¢|1)|AB|×2(|QQ¢|1)12分以线段AB为直径的圆与y轴相切，|QQ¢|AB|把代入得|AB|2(|AB|1)，解得|AB|4214分（）解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线AB过点F(2，0)，当ABx轴时，|AB|2，以线段AB为直径的圆与y轴相离，不合题意设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程x2y22得，x2k2(x2)22，即(1k2)x24k2x(4k22)0，直线与双曲线交于A，B两点，k±1x1x2，x1x2|AB|9分以线段AB为直径的圆与y轴相切，圆的半径|AB|与圆心到y轴的距离(x1x2)相等即(x1x2)×12分化简得k42k210，解得k21（k21不合，舍去）经检验，当k21时，直线与曲线C有两个不同的交点。|AB|x1x24214分10. 解：（1）由及知 点E的轨迹是过S点且与OF垂直的直线L，且PEL 2分 又由 得：，为大于1的常数。 据双曲线定义知：曲线M是以F为焦点，L为相应准线的双曲线。 5分 （2）设L交OF于D，则由得， 以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系， 则，L的方程为： 曲线M的方程为 .8分 由 解得： 故所求曲线M的方程为： .10分 （3）假设存在满足条件的直线m，设 m的方程为： ， （斜率不存在时，直线m与曲线M不相交）代入，得： 点A是线段BC的中点 13分 而方程的判别式 当时， 不存在满足条件的直线m. 14分11. 解：（）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy1分PMPN(PEEM)(PFFN)MDND2或PMPN(PEEM)(PFFN)MDND23分点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为（y0）5分（）()·( )0，且2，2，±，6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x12，y1)，(x22，y2)设AB：myx2，代入得，3(my2)2y230，即(3m21)y212my907分当时，y1y2，8分得，9分4，6，即46解得，m23，故tan210分当时y1y2，11分得，即2，2，2，42，0，即20即，故tan21113分由、得tan2或tan211则夹角(0，arctan，)，14分tan不存在时，直线l符合条件，故时，符合题意(0，arctan，)15分12解：（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：(分)则离心率，由椭圆定义，得(分)解得， (分)所以椭圆标准方程为： (分)（2）由题意得，设，其中，点和点都在椭圆上，则有，（）（）(5分)由，有，即，（）(分)由可知直线方程为： 把代入，得(分)所以有，可得：（）(分) （）(分)由（），（），（）得： （）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）得：（）(分)由（），（）可证得：(分)13. 解:（1）= 、三点共线 又 当轴垂直时，由，关于轴对称得代入得 抛物线的方程是 2分当轴不垂直时，设直线的方程为 由得 4分设 则有 6分又 8分 此时抛物线的方程为 综上所述抛物线的方程为 也可以不用讨论，按步给分。注：若设直线方程为也可以不用讨论，按步给分（2）直线的倾斜角可设直线的方程为：其中由（1）可知得 10分 12分设 又13 当时 有最小值，当时 有最小值的取值范围是 14分14. 解：（1）设点，点，轴，,2分又点E在圆上，有，3分就是点M的轨迹方程. 5分（2）设点直线l的方程为 6分代入中得7分设则8分PF是APB的角平分线，即 即9分又 代入得10分，解得12分即所求P坐标为（0，）.（2）另解：过点P作平行于x轴的直线L，记点A到直线L的距离为DA，点B到直线L的距离为DB .PF是APB的角平分线，APA1=BPB1，RtAPA1RtBPB1，有，点F（0，）是的下焦点，即直线l过下焦点F，设其相应的准线，记点A到直线的距离为dA，点B到直线的距离为dB，平行直线L与之间的距 离为d，即，则椭圆的离心率，即，得，直线l与x轴不平行，即准线与直线L重合，所以点P是准线与y轴的交点，对于椭圆，准线的方程为，所以点P坐标为（0，）.15. 解（）四边形PF1OM是菱形，设半焦距为c，则有|OF1|=|PF1|=|PM|=c，|PF2|=|PF1|+2a=c+2a。由双曲线第二定义得 即 2分又 设双曲线方程为 4分双曲线过点N（2，），得 a2=3 所求双曲线的方程为 6分（）由题意知B1（0，3）、B2（0，3），设直线l的方程为则由 消去y得 7分双曲线的渐近线为 ，时，直线l与双曲线只有一个交点，即 9分又，而，即 11分直线l的方程为 12分16. 解：（1）设椭圆方程为，则直线的方程为，联立方程组消得，.设、，则又，且与共线所以得：又，所以 即 也就是，所以 ，。 故离心率(2) 证明：由(1)知，所以椭圆可化为设，则由得： 又在椭圆上，所以 即 也就是 由(1)得 ， 联立、得：故为定值，定值为1. 17. () 解：依题意设所求的抛物线方程为，-1分直线AB的斜率为且过点直线AB的方程为由得 -3分设（）则是方程的两个实根 ， 若则， -5分若则 与矛盾-6分该抛物线的方程为-7分()解法1：抛物线的焦点为（）即M点坐标为（）直线AB的斜率直线AB的方程为，-8分解方程组得 即点A，B-10分设点P(m，n)，依题意知，且则点P到直线AB的距离当时，-13分这时。-14分解法2：抛物线的焦点为（）即M点坐标为（）直线AB的斜率直线AB的方程为，由得，以下同上。18解：（1）设且 2分 3分 4分动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.5分（2）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有； 6分BADFxOyHGEl当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，则A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得. 7分设直线AE和BE的斜率分别为，则 9分，.综合（1）、（2）可知. 10分BADFxOyHGE解法二：依题意，设直线的方程为，则A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得 7分设直线AE和BE的斜率分别为，则9分，.10分（3）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.12分令，得此时，当，即时，（定值）当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在. 14分19. 20. 解：（1）设C ( x , y )， ,由知,G为 ABC的重心 ， G(,) （2分）由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0），由 得 化简整理得：（x0 ） (6分) （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k±，则直线PQ的方程为y = k ( x )由设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = , x1·x2 = （8分） -7-则| PQ | = · = · = RNPQ,把k换成得 | RN | = （ 10分) S =| PQ | · | RN | = =) 2 ， 16 S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) （12分）又当k不存在或k = 0时S = 2综上可得 S 2 Smax = 2 ， Smin = （14分）20. 解：（I）由得， . 直线的斜率为，故的方程为， 点A的坐标为（1，0）.设 ，则（1，0），由得，整理，得. 动点的轨迹C为以原点为中心，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆.(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，设方程为 ，将代入，整理，得，由得设、，则 令， 则，由此可得 ，且.由知 ，. , 即 ， ，解得 又， ，OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）.21. 解：（）设椭圆的方程为：，则1分当垂直于轴时，两点坐标分别是和，则，即 3分由，消去，得或（舍去）当时，因此，椭圆的方程为 5分（）设存在满足条件的直线(1)当直线垂直于轴时，由（）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足因此，当直线垂直于轴时不满足条件 7分（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为由，设两点的坐标分别为和，则， 9分又设的中点为，则当为正三角形时，直线的斜率为，11分当为正三角形时，即，解得， 13分因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或14分22. 解法一：F(，0)，l：x2，离心率e（1）当AB垂直x轴时，A(，1)，B(，1)|AB|2，又此时线段AB的垂直平分线与直线l的交点为P(2，0)，P，A，B不构成等边三角形，不合题意（2）当AB不垂直x轴时，设AB的方程为yk(x)(k0)，代入1得，(12k2)x24k2x4(k21)0，0，且x1x2，x1x2，设AB中点为M，则M(，)，线段AB的垂直平分线方程为y(x)，此直线与l的交点为P，则P的坐标为(2，)，|MP|(或|MP|xMxP|)而|AB|(ex12)(ex22)(x1x2)4×()4ABP为等边三角形Û|AB|MP|，即×，解得k±所以直线AB的方程为y±(x)解法二：如图，F(，0)，l：x2，离心率e设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)()|AB|，又因为PAB为等边三角形Û|PM|AB|，所以，即cosÐPMM1，sinÐPMM1 ，tamÐPMM1，又kPM±tamÐPMM1±ABPM，kAB±，又AB过点F(，0)，所以AB的方程为y±(x)xyOFABMB1A1M1lP23. （）解：设N(x0，y0)，（x00），则直线ON方程为yx，与直线xp交于点M(p，)，代入得，或化简得(p21)x02p2y02p21把x0，y0换成x，y得点N的轨迹方程为(p21)x2p2y2p21(x0)（1）当0p1时，方程化为x21表示焦点在x轴上的双曲线的右支；（2）当p1时，方程化为y0，表示一条射线（不含端点）；（3）当p1时，方程化为x21表示焦点在x轴上的椭圆的右半部分（）解：由（）可知|AN|x01当0p1时，因x01，)，故|AN|无最大值，不合题意当p1，因x0(0，)，故|AN|无最大值，不合题意当p1时，x0(0，1，故当x01时，|AN|有最大值1，由题意得1，解得p2所以p的取值范围为2，)24. 解: (1) 若直线l垂直于x轴, 则, .2分若直线l不垂直于轴, 设其方程为, .由4分.综上, 为定值. 6分(2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. 7分证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中若直线l不垂直于轴, 则设其方程为: , .由得: 所以9分由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为所以要使为定值, 只要即此时12分若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , .取点有13分综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点使为定值. 14分25. 解：（I）点M是线段PF2的中点 OM是PF1F2的中位线又OMF1F2 PF1F1F2椭圆的标准方程为=15分 （II）圆O与直线l相切 直线l与椭圆交于两个不同点，设 12分26. （）证明：设Q（x，y），如图所示，作AA，BB垂直于直线l，A，B为垂足，连结AQ，BQ，OS，则OSlOS是直角梯形AABB的中位线，|AA|+|BB|=2|OS|由抛物线的定义，知|AA|=|AQ|，|BB|=|BQ|。|QA|+|QB|=|AA|+|BB|=2|OS|=4>2=|AB|，3分由椭圆的定义，得焦点Q在以A，B为焦点的椭圆上，且2a=4，2c=2，b2=3椭圆C的方程为 5分（）P、M、N三点共线 6分由题意，直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=kx+2，代入椭圆方程，得由 8分设，由韦达定理，得 ，原点O到直线PN的距离为 10分 13分当且仅当时，即k=±时取等号。MON的面积有最大值 14分27. 解：（）设、，则，由此及得，即；（）当时，曲线的方程为。依题意，直线和均不可能与坐标轴平行，故不妨设直线（），直线，从而有。同理，有。若是等腰三角形，则，由此可得，即或。下面讨论方程的根的情形（）：若，则，方程没有实根；若，则，方程有两个相等的实根；若，则，方程有两个相异的正实根，且均不等于（因为）。综上所述，能是等腰三角形：当时，这样的三角形有且仅有一个；而当时，这样的三角形有且仅有三个。28. 解： （I）依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,离心率为的椭圆设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,又，点在x轴上,且,则3解之得：,. 坐标原点为椭圆的对称中心.动点M的轨迹方程为：. 4分（II）设,设直线的方程为,代入得. 5分,. 6分,.解得: (舍). 8分设,由知,.直线的斜率为. 10分当时,;当时,时取“=”）或时取“=”）， 综上所述 14分.29. 解： 依题意，直线斜率存在，设其斜率为，则的方程为，代入抛物线方程有：2分（1）若，令得，此时，的方程为。4分若，方程有唯一解。此时方程为5分（2）显然，记，则，7分（）9分（）设点的坐标为， 11分 ，12分由得，又，。综上，点R的轨迹方程为。13分30. 解：（）当AC垂直于x轴时， 由得所以，得， 4分 （）由（）得椭圆方程为焦点坐标为 6分（1） 当AC、AB的斜率都存在时，设所在直线方程为注意到所以由消去得所以 9分类似地可得（这里用到）（2）若ABx轴（或ACx轴）时，易得或综上所述有 12分31. 解：（1）由知，点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为。3分（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得，解得5分（）数学（理科）试题答案 第5页（共8页）=。7分，故得对任意的恒成立，解得。当时，。当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，综上，当时，。8分（），是双曲线的右准线9分由双曲线定义得：，方法一：。10分，故，11分注意到直线的斜率不存在时，此时，综上，。12分方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，过Q作，垂足为C，则，。10分由得，故。12分32. 解：（1）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设的两个不同的根， 是线段AB的中点，得解得k=1，代入得，>12，即的取值范围是（12，+）.于是，直线AB的方程为解法2：设依题意，（2）解法1：代入椭圆方程，整理得 的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程 同理可得 假设在在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角 由式知，式左边=由和知，式右边= 式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由（II）解法1及.代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）33. 证明（）：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，由，得c=a，a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x。若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线上任一点到点A（2，0）的距离大于点A到渐近线的距离，而点A到渐近线的距离d=>1,这与“双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1”矛盾。所以双曲线的焦点不在y轴上。（联立双曲线方程y2-x2=a2与圆(x-2)2+y2=1无解证明，相应给分）3分解（）：由（）知，双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2-y2=a2，P（x0,y0），则，|PA|2=,a>1.当点P到A的距离最小时，x0³a，又由得a>1，所以，当x0=a时，|PA|2有最小值，即2(a-1)2+2-a2=(a-2)2=1,a=3，所以,双曲线的方程为x2-y2=98分(注：未证明为何a=3时|PA|有最小值而答案对者本问只给3分)解（）：设直线l的方程为y=kx+3,A（x1,y1）,B(x2,y2),(-x1,3-y1)=l(x2,y2-3) , x1=-lx2（x1x2<0） , 由消去y得，（1-k2）x2-6kx-18=0，x1+x2= ， x1x2=<0 将分别代入、得，（1-l）x2= lx22= 2¸并整理得， (l>0)令f(l)=,则令，得l=1；令，得0<l<1；令，得l>1当时，,，13分34. 解：抛物线中，导数y=-，直线l的斜率为y|=2.故直线l的方程为y=2x+4.点F、E的坐标分别为F(-2，0)、E(0，4). 1分(此处也可用=0求切线斜率，再写出方程)()直线l的方程是y