【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线综合题答案.doc
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1、解几综合题答案1.解:()由已知得 4分 ()设P点坐标为(x,y)(x0),由得 5分 消去m,n可得 ,又因 8分 P点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支 9分()设直线l的方程为,将其代入C的方程得 即 易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意) 又 设,则 l与C的两个交点在轴的右侧 ,即 又由 同理可得 11分 由得 由得 由得 消去得 解之得: ,满足 13分故所求直线l存在,其方程为:或2. (I)由已知, 2分则,即 4分(II)设,如图,由可得 5分若直线轴,则,此时,则,解之得,或但是若,则直线过点,不可能有
2、所以,此时点到直线的距离为4 7分若直线斜率存在,设直线的方程为,则则,即又, 9分 则,可得或若,则直线的方程为,此直线过点,这与矛盾,舍若,则直线的方程为,即 12分此时若,则直线的方程为,显然与矛盾,故 13分由可得, 14分3. 解: 设.1 由,易得右焦点 .2当直线轴时,直线的方程是:,根据对称性可知.3当直线的斜率存在时,可设直线的方程为代入E有.5于是 消去参数得而也适上式,故R的轨迹方程是.8设椭圆另一个焦点为,在中设,则由余弦定理得.10同理,在,设,则也由余弦定理得.12于是.144. 解:(I)设B(x0,y0),A(x1,y1),C(x2,y2)双曲线的离心率为,F对
3、应的准线方程为,由双曲线的定义得(12分)又A在双曲线的上半支,y1,|AF|,|BF|,|CF|构成等差数列,2|BF|=|AF|+|CF|,点B的坐标为.(6分) (II)在l上任取一点P(不同于D点),都存在实数,使得,在APC的角平分线上,(7分)线段AC的中点为D点,APC是等腰三角形,PD是线段AC的垂直平分线,(8分)设直线l的方程为(11分)故直线l恒过点(0,).(12分)5. 解:(I)设椭圆的标准方程为,因B1F1B2F2是正方形,所以b=c,又a2 = b2 + c2,所以,由于椭圆上的左(右)顶点到左(右)焦点的距离最近,所以,由知,椭圆的标准方程为: (II)当直线
4、的斜率存在,设直线MN的方程为解方程组消去设,则 又因M在DN之间,所以,即,于是,将代入得,整理得 8分又 10分当直线的斜率不存在时,直线MN的方程为, 11分综上所述,的取值范围是 12分6. 解:(1)由于, 解得,从而所求椭圆的方程为(4分) (2)三点共线,而点N的坐标为(2,0).设直线AB的方程为,其中k为直线AB的斜率,依条件知k0.由消去x得,即根据条件可知 解得(6分)设,则根据韦达定理,得又由 从而 消去(8分)令,则 (10分)上的减函数,从而,即, ,解得因此直线AB的斜率的取值范围是(12分)7. 解:(), MN垂直平分AF又, 点M在AE上, , , 4分 点
5、M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距, 点M的轨迹W的方程为()6分()设 , 8分由点P、Q均在椭圆W上, 10分消去并整理,得,由及,解得 14分8. 解:(I)设点、M、A三点共线,(2分)(3分)设POM=,则由此可得tan=1.(5分)又(6分) (II)设点、B、Q三点共线,即(10分)即(12分)由(*)式,代入上式,得由此可知直线PQ过定点E(1,4).故存在定一点E(1,4),使(14分)9. ()解:由题意可知,平面区域D如图阴影所示 设动点P(x,y),则1,即|x2y2|24分PDxy0,xy0,即x2y20x2y22(x0)即曲线C的方程为1(x0)6分
6、()解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),以线段AB为直径的圆的圆心Q(,),以线段AB为直径的圆与y轴相切,半径r|AB|即|AB|x1x28分曲线C的方程为1(x0),F(2,0)为其焦点,相应的准线方程为x1,离心率e根据双曲线的定义可得,|AB|AF|BF|(x11)(x21)(x1x2)212分由,可得,x1x2(x1x2)2由此可得x1x242线段AB的长为4214分()解法二:曲线C的方程为1(x0),F(2,0)为其焦点,相应的准线为l:x1,离心率e分别过A,B作AAl,BBl,垂足分别为A,B设AB中点Q,过Q点作QQy轴,垂足为Q由双曲线的定义可得,|AF|AA|
7、,|BF|BB|10分|AB|AF|BF|(|AA|BB|)根据梯形中位线性质可得|AA|BB|2(|QQ|1)|AB|2(|QQ|1)12分以线段AB为直径的圆与y轴相切,|QQ|AB|把代入得|AB|2(|AB|1),解得|AB|4214分()解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2)直线AB过点F(2,0),当ABx轴时,|AB|2,以线段AB为直径的圆与y轴相离,不合题意设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程x2y22得,x2k2(x2)22,即(1k2)x24k2x(4k22)0,直线与双曲线交于A,B两点,k1x1x2,x1x2|AB|9分以线段AB为直径的圆与y轴相切,圆
8、的半径|AB|与圆心到y轴的距离(x1x2)相等即(x1x2)12分化简得k42k210,解得k21(k21不合,舍去)经检验,当k21时,直线与曲线C有两个不同的交点。|AB|x1x24214分10. 解:(1)由及知 点E的轨迹是过S点且与OF垂直的直线L,且PEL 2分 又由 得:,为大于1的常数。 据双曲线定义知:曲线M是以F为焦点,L为相应准线的双曲线。 5分 (2)设L交OF于D,则由得, 以O为原点,OF所在直线为x轴建立直角坐标系, 则,L的方程为: 曲线M的方程为 .8分 由 解得: 故所求曲线M的方程为: .10分 (3)假设存在满足条件的直线m,设 m的方程为: , (斜
9、率不存在时,直线m与曲线M不相交)代入,得: 点A是线段BC的中点 13分 而方程的判别式 当时, 不存在满足条件的直线m. 14分11. 解:()以直线MN为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系xOy1分PMPN(PEEM)(PFFN)MDND2或PMPN(PEEM)(PFFN)MDND23分点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线(不包含顶点),其轨迹方程为(y0)5分()()( )0,且2,2,6分设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x12,y1),(x22,y2)设AB:myx2,代入得,3(my2)2y230,即(3m21)y212my907分当时,y1y2,8分
10、得,9分4,6,即46解得,m23,故tan210分当时y1y2,11分得,即2,2,2,42,0,即20即,故tan21113分由、得tan2或tan211则夹角(0,arctan,),14分tan不存在时,直线l符合条件,故时,符合题意(0,arctan,)15分12解:(1)根据题设,可设椭圆标准方程为:(分)则离心率,由椭圆定义,得(分)解得, (分)所以椭圆标准方程为: (分)(2)由题意得,设,其中,点和点都在椭圆上,则有,()()(5分)由,有,即,()(分)由可知直线方程为: 把代入,得(分)所以有,可得:()(分) ()(分)由(),(),()得: ()(分)由(),()得:
11、()(分)由(),()得:()(分)由(),()得:()(分)由(),()可证得:(分)13. 解:(1)= 、三点共线 又 当轴垂直时,由,关于轴对称得代入得 抛物线的方程是 2分当轴不垂直时,设直线的方程为 由得 4分设 则有 6分又 8分 此时抛物线的方程为 综上所述抛物线的方程为 也可以不用讨论,按步给分。注:若设直线方程为也可以不用讨论,按步给分(2)直线的倾斜角可设直线的方程为:其中由(1)可知得 10分 12分设 又13 当时 有最小值,当时 有最小值的取值范围是 14分14. 解:(1)设点,点,轴,,2分又点E在圆上,有,3分就是点M的轨迹方程. 5分(2)设点直线l的方程为
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