高三数学教案：第一节椭圆.pdf

第一节椭圆 一.基本知识概要 1 椭圆的两种定义： 平面内与两定点F1， F2的距离的和等于定长 21 2FFa的点的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|； （ 21 2FFa时为线段 21F F， 21 2FFa无轨迹）。其中 两定点 F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹，即点集 M=P| e d PF ， 0e1 的常数。 （1e为抛物线；1e为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在 x 轴上，中心在原点：1 2 2 2 2 b y a x （ab0） ； 焦点 F1（ c，0） ，F2（ c，0） 。其中 22 bac（一个Rt） （2）焦点在 y 轴上，中心在原点：1 2 2 2 2 b x a y （ab0） ； 焦点 F1（0， c） ，F2（0，c） 。其中 22 bac 注意： 在两种标准方程中，总有a b0， 22 bac并且椭圆的焦点总在长轴上； 两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By2=1 （A0，B0，A B） ，当 A B 时，椭圆的焦点在x 轴上， AB 时焦点在y 轴上。 3.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点： 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）有以下性质： 坐标系下的性质： 范围： |x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0） ； 顶点：A1（-a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0， b） ， 长轴 |A1A2|=2a，短轴 |B1B2|=2b； （a半长轴长，b半短轴长）； 准线方程： c a x 2 ；或 c a y 2 焦半径公式：P（x0， y0）为椭圆上任一点。|PF1|= 左 r=a+ex0， |PF2|= 右 r=a-ex0； |PF1|=下r=a+ey0，|PF2|= 上 r=a-ey0; caPFcaPF minmax , 平面几何性质： 离心率： e= a c （焦距与长轴长之比）1 , 0；e越大越扁，0e是圆。 焦准距 c b p 2 ；准线间距 c a 2 2 两个最大角 221max21221max21 ,ABAPAAFBFPFF 焦点在 y 轴上， 中心在原点：1 2 2 2 2 b x a y （ ab0）的性质可类似的给出（请课后完成） 。 4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。 5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。 6. 特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关 , 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标 , 与坐 标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或 准线方程. 二.例题： 例 1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点， F 是一个焦点， A 是一个顶点，若椭 圆的长轴长是6，且 cosOFA=2/3 。则椭圆方程为_。 (2) 设椭圆 1 36100 2 2 yx 上的点 P到右准线的距离为10，那么点 P到左焦点的距离等于 _。 (3) 已知 F1为椭圆的左焦点， A，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上的点， 当 PF1F1A，POAB（O 为椭圆中心） 时，椭圆的离心率 e=_。 （教材 P119 页例 1） 。 （4）已知椭圆1 925 22 yx 上的点P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P 的坐标是 _。 解： (1) 椭圆的长轴长是6， 且 cosOFA=2/3 ， 点 A 不是长轴的端点。 |OF|=c， |AF|=a=3， c=2，b2=5。椭圆方程是 1 95 22 yx ，或1 59 22 yx 。 （2）由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。 (3)设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x （ab0）, 22 bac, F1（ c，0） ，则点 ),( 2 a b cP ， 由 POAB 得 kAB=kOP即 ac b a b 2 ， b=c，故 2 2 e 。 （4）设 P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 4 25 x， 故 x PF x PF 4 25 | 4 25 | 21 ， |PF1|=2|PF2| ， 4 119 x，故) 4 119 , 12 25 (P。 【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a，b，c 的一个关系式，然后再求e； 2) 由椭圆的 一个短轴端点 , 一个焦点 , 中心 O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3） 结合椭圆的第二定义, 熟练运用焦半径公式是解决第(3) 小题的关键。 例 2：如图，设E：1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的焦点为 1 F与 2 F，且2, 21PF FEP。 求证： 21F PF的面积tan 2 bS。 （图见教材P119页例 2 的图） 证明： 设 2211 ,rPFrPF，则cFFrrS2,2sin 2 1 2121 又， 由余弦定理有 2cos22)(2cos2)2( 2121 2 2121 2 2 2 1 2 rrrrrrrrrrc )2cos1(2)2( 21 2 rra 2cos1 2 444)2cos1 (2 2 21 222 21 b rrbcarr 这样即有 2 1 S.tan cos2 cossin2 2sin 2cos1 2 2 2 2 2 bb b 【思维点拨：解与)( 21 为椭圆上的点PFPF有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并 结合aPFPF2 21 来解决。 例 3：若中心在原点， 对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1 交于 A、B两点，M为 AB的中点， 直线 OM （O为原点）的斜率为 2 2 ，且 OA OB ，求椭圆的方程。 解：设椭圆方程为ax 2+by2=1， A(x 1,y1),B(x2,y2),M( 2 , 2 2121 yyxx ). 由 1 1 22 byax yx 消去 y 得012)( 2 bbxxba. , 2 21 ba bxx 2 21 yy =1 ba axx 2 21 , ),( ba a ba b M,由 OM k 2 2 得ab2, ; 又 OA OB,x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0, 01 212 ba b ba b）（ , a+b=2, . 联立得) 12(22),12(2ba方程为1)12(22)12(2 22 yx. 【思维点拨】“ OA OBx1x2+y1y2=0”( 其中 A(x1,y1),B(x 2,y2) 是我们经常用到的一个结论. 例 4: （备用） 已知椭圆的焦点是F1（ 1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是 |PF1| 和|PF2|的等差中项。 （1）求椭圆方程； （2）若点 P在第三象限，且P F1F2=120 0，求 tan F1PF2。 解： (1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。 2a=4， b= 3。椭圆方程为1 34 22 yx 。 (2)设 F1PF2=,则 PF2 F1=60 0,由正弦定理并结合等比定理可得到 )60sin( | 120sin | sin | 0 1 0 221 PFPFFF )60sin(120sin | 00 12 PFPF , 化简可得 )cos1(3sin5 , 5 3 cos1 sin 2 tan, 从而可求得tanF1PF2= 11 35 。 【思维点拨】解与 P F1F2有关的问题（ P 为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且 结合 |PF1|+|PF2|=2a 来求解。 例 5: （备用）（1）已知点 P的坐标是 (-1,3)，F 是椭圆1 1216 22 yx 的右焦点 , 点 Q在椭圆上 移动，当 PQQF 2 1 取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。 （2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 2 3 e，已知点 P 2 3 ,0这 个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是7 的点的坐标。 解(1) 由椭圆方程可知a=4,b=32, 则 c=2, 2 1 e, 椭圆的右准线方程为x=8 过点 Q作 QQ l于点 Q , 过点 P作 PP l于点 P ,则据椭圆的第二定义知,e QQ QF ' ' 2 1 QQQF,PQQQPQQF ' 2 1 2 1 易知当 P、Q 、Q 在同一条线上时，即当 Q 与 P 点重合时， PQQQ ' 才能取得最小 值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为 -3 ，代入椭圆方程得2x。 因此 , 当 Q点运动到 (2,-3)处时 , PQQF 2 1 取最小值9. (2) 设所求的椭圆的直角坐标方程是01 2 2 2 2 ba b y a x 由 4 3 1 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e, 解得 2 1 a b , 设椭圆上的点 (x,y)到点 P的距离为d 则34 2 1 3 2 3 2 32 22 2 2 2 2 2 22 byyy b a ayxd 其中byb, 如果 2 1 b, 则当 y=-b 时,d 2 取得最大值 2 2 2 3 7b 解得 b= 2 1 2 3 7与 2 1 b矛盾 , 故必有 2 1 b当 2 1 y时 d 2 取得最大值， 347 2 2 b解得 b=1,a=2 所求椭圆方程为1 4 2 2 y x 由 2 1 y可得椭圆上到点P的距离等于7的点为 2 1 ,3, 2 1 ,3 三、课堂小结: 1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,e的相互关系 ,几何意义与一些概念的 联系 .尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题). 2.在椭圆的两种标准方程中，总有 ab0， 22 bac并且椭圆的焦点总在长轴上； 3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用. 四、课外作业： 教材 P120 闯关训练