高三数学教案:第一节椭圆.pdf
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1、第一节椭圆 一.基本知识概要 1 椭圆的两种定义: 平面内与两定点F1, F2的距离的和等于定长 21 2FFa的点的轨迹,即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|; ( 21 2FFa时为线段 21F F, 21 2FFa无轨迹)。其中 两定点 F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹,即点集 M=P| e d PF , 0e1 的常数。 (1e为抛物线;1e为双曲线) 2 标准方程:(1)焦点在 x 轴上,中心在原点:1 2 2 2 2 b y a x (ab0) ; 焦点 F1( c,0) ,F2
2、( c,0) 。其中 22 bac(一个Rt) (2)焦点在 y 轴上,中心在原点:1 2 2 2 2 b x a y (ab0) ; 焦点 F1(0, c) ,F2(0,c) 。其中 22 bac 注意: 在两种标准方程中,总有a b0, 22 bac并且椭圆的焦点总在长轴上; 两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2+By2=1 (A0,B0,A B) ,当 A B 时,椭圆的焦点在x 轴上, AB 时焦点在y 轴上。 3.性质:对于焦点在x 轴上,中心在原点: 1 2 2 2 2 b y a x (ab0)有以下性质: 坐标系下的性质: 范围: |x|a,|y|b; 对称性:对称轴方程为x
3、=0,y=0,对称中心为O(0,0) ; 顶点:A1(-a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0, b) , 长轴 |A1A2|=2a,短轴 |B1B2|=2b; (a半长轴长,b半短轴长); 准线方程: c a x 2 ;或 c a y 2 焦半径公式:P(x0, y0)为椭圆上任一点。|PF1|= 左 r=a+ex0, |PF2|= 右 r=a-ex0; |PF1|=下r=a+ey0,|PF2|= 上 r=a-ey0; caPFcaPF minmax , 平面几何性质: 离心率: e= a c (焦距与长轴长之比)1 , 0;e越大越扁,0e是圆。 焦准距 c b p 2
4、 ;准线间距 c a 2 2 两个最大角 221max21221max21 ,ABAPAAFBFPFF 焦点在 y 轴上, 中心在原点:1 2 2 2 2 b x a y ( ab0)的性质可类似的给出(请课后完成) 。 4.重难点:椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。 5.思维方式:待定系数法与轨迹方程法。 6. 特别注意:椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关 , 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标 , 与坐 标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或 准线方程. 二.例题: 例 1:(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原
5、点, F 是一个焦点, A 是一个顶点,若椭 圆的长轴长是6,且 cosOFA=2/3 。则椭圆方程为_。 (2) 设椭圆 1 36100 2 2 yx 上的点 P到右准线的距离为10,那么点 P到左焦点的距离等于 _。 (3) 已知 F1为椭圆的左焦点, A,B 分别为椭圆的右顶点与上顶点,P 为椭圆上的点, 当 PF1F1A,POAB(O 为椭圆中心) 时,椭圆的离心率 e=_。 (教材 P119 页例 1) 。 (4)已知椭圆1 925 22 yx 上的点P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍,则P 的坐标是 _。 解: (1) 椭圆的长轴长是6, 且 cosOFA=2/3 , 点
6、A 不是长轴的端点。 |OF|=c, |AF|=a=3, c=2,b2=5。椭圆方程是 1 95 22 yx ,或1 59 22 yx 。 (2)由椭圆的第二定义得:点P到左焦点的距离等于12。 (3)设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x (ab0), 22 bac, F1( c,0) ,则点 ),( 2 a b cP , 由 POAB 得 kAB=kOP即 ac b a b 2 , b=c,故 2 2 e 。 (4)设 P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 4 25 x, 故 x PF x PF 4 25 | 4 25 | 21 , |PF1|=2|
7、PF2| , 4 119 x,故) 4 119 , 12 25 (P。 【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a,b,c 的一个关系式,然后再求e; 2) 由椭圆的 一个短轴端点 , 一个焦点 , 中心 O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到;(3) 结合椭圆的第二定义, 熟练运用焦半径公式是解决第(3) 小题的关键。 例 2:如图,设E:1 2 2 2 2 b y a x (ab0)的焦点为 1 F与 2 F,且2, 21PF FEP。 求证: 21F PF的面积tan 2 bS。 (图见教材P119页例 2 的图) 证明: 设 2211 ,rPFrPF,则cFFrrS2,2sin
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