2019年高考数学试题分类汇编——函数与导数.pdf

函数与导数 安徽理 （3） 设( )f x是定义在 R上的奇函数，当x 时， ( )f xxx，则( )f （A） (B) （）（） (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题 . 【解析】 2 (1)( 1)2( 1)( 1)3ff.故选 A. (10) 函 数( )() mn f xaxxg在 区 间 0,1上的图像如图所示，则m，n 的 值可能是 （A）1,1mn (B) 1,2mn (C) 2,1mn (D) 3,1mn (10)B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大 . 【解析】代入验证，当1,2mn，( )()()f xaxxn xxx g，则( )()fxaxx， 由( )()fxaxx 可知， 12 1 ,1 3 xx，结合图像可知函数应在 1 0, 3 递增，在 1 ,1 3 递减， 即在 1 3 x取得最大值，由( )()fag，知 a 存在 .故选 B. （16）( 本小题满分12 分) 设( ) 1 x e f x ax ，其中a为正实数 （）当a 4 3 时，求( )fx的极值点； （）若( )f x为R上的单调函数，求a的取值范 围。 （16） （本小题满分12 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系， 求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(xf求导得. )1 ( 1 )( 22 2 ax axax exf x （I）当 3 4 a，若. 2 1 , 2 3 ,0384,0)( 21 2 xxxxxf解得则 综合 ,可知 0.5 1 x y O 0.5 所以 , 2 3 1 x是极小值点 , 2 1 2 x是极大值点 . （II）若)(xf为 R 上的单调函数， 则)(xf在 R 上不变号， 结合与条件a0，知012 2 axax 在 R 上恒成立，因此, 0) 1(444 2 aaaa由此并结合0a，知.10a 安徽文 （5）若点 (a,b)在lgyx图像上，a,则下列点也在此图像上的是 （A） （ a ，b）(B ) (10a,1b) (C) ( a ,b+1) (D)(a 2,2b) （5） D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lgba，lglgbaa ，即 2 ,2ab也在函数lgyx图像上 . (10) 函 数()() n fxa xxg在 区 间 0,1上的图像如图所示，则n 可能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (10)A【命题意图】 本题考查导数在研究函 数单调性中的应用，考查函数图像，考查 思维的综合能力.难度大 . 【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当1n时 ， ()()()fxa xxa xxxg，则 ( )()f xa xx， 由( )()fxaxx 可 知 ， 12 1 ,1 3 xx，结合图像可知函数应在 1 0, 3 递增，在 1 ,1 3 递减，即在 1 3 x取得最大值，由 ( )()fag，知 a 存在 .故选 A. （13）函数 2 1 6 y xx 的定义域是. (13)（ 3,2） 【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. x ) 2 1 ,( 2 1 ) 2 3 , 2 1 ( 2 3 ), 2 3 ( )(xf + 0 0 + )(xf 极大值极小值 0.5 1 x y O 0.5 【解析】由 2 60xx可得 2 60xx，即+320xx，所以32x. 北京理 6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 , ( ) , c xA x f x c xA A （A， c为常数）。已知工人组装第4 件产品用时30 分钟， 组装第A件产品时用时15 分钟， 那么c和A的值分 别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60， 16 【解析】 由条件可知，xA时所用时间为常数，所以组装第4 件产品用时必然满足第一个分段函数，即 (4)3060 4 c fc， 60 ()1516f AA A ，选 D。 13.已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x f xx xx ，若关于x的方程( )f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围 是_. 【解析】 2 ( )(2)f xx x 单调递减且值域为(0,1 ， 3 ( )(1) (2)f xxx单调递增且值域为(,1)， ( )f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1） 。 18.已知函数 k x ekxxf 2 )()(. (1)求)(xf的单调区间； (2)若对 0(x ， )，都有 e xf 1 )( ，求k的取值范围。 解： (1) /22 1 ( )() x k fxxke k ，令 / ( )0fx得xk 当0k时，( )f x在(,)k和( ,)k上递增，在(, )k k上递减； 当0k时，( )f x在(, )k和(,)k上递减，在( ,)kk上递增 (2) 当0k时， 1 1 (1) k k f ke e ；所以不可能对0(x，)都有 e xf 1 )(； 当0k时有（1）知( )f x在(0,)上的最大值为 2 4 () k fk e ，所以对0(x，)都有 e xf 1 )( 即 2 411 0 2 k k ee ，故对0(x，)都有 e xf 1 )(时，k的取值范围为 1 ,0) 2 。 北京文（8） 已知点 0,2A , 2,0B ,若点C在函数 2 yx的图象上， 则使得ABC的面积为2 的点C的 个数为A A. 4B. 3C. 2D. 1 （18） （本小题共13 分） 已知函数 x f xxk e， （I）求fx的单调区间； （II ）求 fx 在区间0,1上的最小值。 解： （I） / ( )(1) x fxxke， 令 / ( )01f xxk； 所以f x在(,1)k上递减，在(1,)k 上递增； （II）当10,1kk即时，函数f x在区间0,1上递增，所以 min ( )(0)f xfk； 当011k即12k时，由（ I）知，函数fx在区间0,1k上递减，(1,1k上递增， 所以 1 min ( )(1) k f xf ke； 当11,2kk即时，函数 f x 在区间0,1上递减，所以 min ( )(1)(1)f xfk e。 福建理 5 1 (2 ) 0 x ex dx等于 C A1 B1eCeD1e 9对于函数( )sinfxaxbxc(其中，,a bR cZ)，选取, ,a b c的一组值计算(1)f和( 1)f， 所得出的正确结果一定不可能 是 D A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 10已知函数( ) x f xex，对于曲线( )yf x上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判 断：B ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 ABCD 18(本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克 )与销售价格 x(单位：元 /千克 )满足关系式 2 10(6) 3 a yx x ，其中36x，a为常数，已知销售价格为5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克 () 求a的值； () 若该商品的成品为3 元 /千克 , 试确定销售价格x的值 ,使商场每日销售该商品所获得的利润最 大 解： ()因为5x时11y，所以10112 2 a a； ()由()知该商品每日的销售量 2 2 10(6) 3 yx x ，所以商场每日销售该商品所获得的利润： 222 ( )(3)10(6) 210(3)(6) ,36 3 f xxxxxx x ； /2 ( )10(6)2(3)(6)30(4)(6)fxxxxxx，令 / ( )0fx得4x 函数( )fx在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x时函数( )f x取得最大值(4)42f 答：当销售价格4x时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 福建文 6若关于x 的方程 x2mx1 0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A （ 1，1）B （ 2，2）C （， 2）（ 2，）D （， 1）（ 1，） C 8已知函数f(x) 2 x， x0 x 1，x0 ，若 f(a)f(1)0，则实数a 的值等于 A 3 B 1 C 1 D3 A 10若 a0，b 0，且函数f(x)4x 3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于 A 2 B3 C6 D9 D 22 （本小题满分14 分） 已知 a、b 为常数，且a0，函数 f(x) axbaxlnx，f(e)2， （e2.71828是自然对数的底数） 。 （）求实数b 的值； （）求函数f(x)的单调区间； （）当 a1 时，是否同时存在实数m 和 M（ mM） ，使得对每一个 tm，M，直线 y t 与曲线 y f(x)（x1 e，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数M；若不存在，说明理 由。 22、 （） b 2； （） a0 时单调递增区间是（1，），单调递减区间是（0，1） ，a0 时单调递增 区间是（ 0，1） ，单调递减区间是（1，）； （）存在m， M；m 的最小值为1，M 的最大值为2。 广东理 4设函数( )f x和 g(x ) 分别是 R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A( )f x+|g(x)|是偶函数 B( )f x-|g(x)|是奇函数 C|( )f x| +g(x)是偶函数 D |( )f x|- g(x)是奇函数 解析 :因为 g(x ) 是 R上的奇函数 , 所以 |g(x)|是 R上的偶函数 , 从而( )f x+|g(x)|是偶函数 , 故选 A. 12. 函数 32 ( )31f xxx在x处取得极小值 . .2)( ),2, 0(), 2(),0 ,( :)(),2(363x(x)': 2 处取得极小值在 递减区间为的单调递增区间为解析 xxf xfxxxf ; 2 | ),( ),Q(AB:B.y)0)( 4 1 ,()1( |.|,max|),(,0 ,0,4,. 4 1 :L, )14.(21 0 0 2 00 21 2 21 22 p qp qpLpppA xxqpqpxx xxqpqpxyxOy 有 上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点 记的两根 是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系 分本小题满分 （2）设( , )M a b是定点，其中,a b满足 2 40aba0， .过( , )M a b作L的两条切线 12 ,l l，切点分别 为 22 1122 11 (,),'(,) 44 E ppEPP，1 2 ,l l与y分别交于,'F F.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明： 2 minmax 15 ( , )1,(1), 44 ,). Dx yyxyxp q p q (3) 设当点（）取遍 D时，求 （）的最小值 ( 记为)和最大值 (记为 1 12 | ( , )( , ) 2 P M a bXPPa b ； 21解：（） 00 0 11 ' |() | 22 ABxpxp kyxp， 直线 AB 的方程为 2 000 11 () 42 yppxp，即 2 00 11 24 yp xp， 2 00 11 24 qp pp，方程 2 0xpxq的判别式 22 0 4()pqpp， 两根 00 1,2 | 22 pppp x或 0 2 p p， 0 0p p， 00 | | 22 pp pp，又 0 0| |pp， 000 | | | 222 ppp p，得 000 | | | 222 ppp pp， 0 ( ,)| 2 p p q （）由 2 40ab知点( ,)M a b在抛物线 L 的下方， 当0,0ab时，作图可知，若( , )M a bX，则 12 0pp，得 12 | |pp； 若 12 | |pp，显然有点( , )M a bX；( , )M a bX 12 | |pp 当0,0ab时，点( , )M a b在第二象限， 作图可知，若( , )M a bX，则 12 0pp，且 12 | |pp； 若 12 | |pp，显然有点( , )M a bX； ( , )M a bX 12 | |pp 根据曲线的对称性可知，当0a时，( , )M a bX 12 | |pp， 综上所述，( , )M a bX 12 | |pp（* ） ； 由（）知点M 在直线 EF 上，方程 2 0xaxb的两根 1 1,2 2 p x或 1 2 p a， 同理点 M 在直线''E F上，方程 2 0xaxb的两根 2 1,2 2 p x或 2 2 p a， 若 1 ( ,)| 2 p a b，则 1 | 2 p 不比 1 | 2 p a、 2 | 2 p 、 2 | 2 p a小， 12 | |pp，又 12 | |pp( , )M a bX， 1 ( , )| 2 p a b( , )M a bX；又由（）知，( , )M a bX 1 ( ,)| 2 p a b； 1 ( , )| 2 p a b( , )M a bX，综合（ * ）式，得证 （）联立1yx， 215 (1) 44 yx得交点(0,1), (2,1)，可知02p， 过点(,)p q作抛物线L 的切线，设切点为 2 00 1 (,) 4 xx，则 2 0 0 0 1 1 4 2 xq x xp ， 得 2 00 240xpxq，解得 2 0 4xppq， 又 2 15 (1) 44 qp，即 2 442pqp， 0 42xpp，设42pt， 2 0 1 2 2 xtt 215 (1) 22 t， 0 maxmax | 2 x ，又 0 5 2 x， max 5 4 ； 1qp， 2 0 44|2 |2xppppp， 0 minmin |1 2 x 广东文 4 函数 1 ( )lg(1) 1 fxx x 的定义域是（）C A (, 1) B (1,) C ( 1,1)(1,) D (,) 10设 )(),(),(xhxgxf 是R 上的任意实值函数如下定义两个函数xgf和xgf；对任意 Rx,)(xgfxgf；)(xgxfxgf则下列等式恒成立的是（） A)(xhghfxhgf B )(xhghfxhgf C )(xhghfxhgf D )(xhghfxhgf B 12设函数 . 1cos)( 3 xxxf若11)(af，则)( af -9 19 （本小题满分14 分） 设0a,讨论函数xaxaaxxf)1(2)1(ln)( 2 的单调性 解：函数f(x)的定义域为（0，+） 2 2 12 1212 2 (1)2(1)1 '( ), 1 12 (1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'( )2 3 (1)(31)(1)(31)11 0, 22 (1)22 (1) 0'( )0,( )(0,)(,) aa xa x fx x aaa xa xaa afx aaaa xx aaaaaa xxxxfxf xxx 当时，方程的判别式 当00,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)上，'( )0fx，故( )(0,)f x 在上单调递 增 (3) 当2a时, 0,g(x)=0的两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx， 当 1 0xx时，'( )0fx；当 12 xxx时，'( )0fx；当 2 xx时，'( )0fx，故( )f x分别 在 12 (0,),(,)xx上单调递增，在 12 (,)x x上单调递减 （II ）由（ I ）知，2a 因为 12 121212 12 ()()()(lnln) xx f xf xxxaxx x x ，所以 1212 121212 ()()lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx 又由 (I) 知， 12 1x x于是 12 12 lnln 2 xx ka xx 若存在a，使得2.ka则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx亦即 222 2 1 2ln0(1)(*)xxx x 再由（ I ）知，函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0,)上单调递增，而 2 1x，所以 22 2 11 2ln12ln10. 1 xx x 这与(*)式矛盾故不存在a，使得2.ka 湖南理 6. 由直线,0 33 xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为（） A 1 2 B1 C 3 2 D3 答案： D 解析：由定积分知识可得 3 3 3 3 33 cossin|()3 22 Sxdxx ，故选 D。 8. 设直线xt与函数 2 ( ), ( )lnf xxg xx的图像分别交于点,M N，则当|MN达到最小时t的值为 （） A 1B 1 2 C 5 2 D 2 2 答案： D 解析：由题 2 |lnMNxx，(0)x不妨令 2 ( )lnh xxx，则 1 '( )2h xx x ，令'()0h x解得 2 2 x，因 2 (0,) 2 x时，'( )0h x，当 2 (,) 2 x时，'( )0h x，所以当 2 2 x时，|MN达 到最小。即 2 2 t。 20. 如图 6，长方形物体E 在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v，雨速沿 E 移动方向的分速度为()c cR。E 移动时单位时间 内的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有 一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc× S 成正比，比例系数为 1 10 ； （2）其它面的淋雨量之和，其值 为 1 2 ， 记y为 E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100， 面积 S= 3 2 时。 （）写出y的表达式 （）设0v10,0c5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。 解析：（I）由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为 31 | 202 vc， 故 100315 (|)(3| 10) 202 yvcvc vv . （II ）由 (I)知，当0vc时， 55(310) (3310)15 c ycv vv ； 当10cv时， 55(10 3 ) (3310)15 c yvc vv . 故 5(310) 15,0 5(10 3 ) 15,10 c vc v y c cv v 。 (1)当 10 0 3 c时，y是关于 v的减函数 .故当10v时，min 3 20 2 c y。 (2) 当 10 5 3 c 时，在(0, c上，y是关于v的减函数；在( ,10c上，y是关于v的增函数；故当vc 时， min 50 y c 。 22.（本小题满分13 分） 已知函数f(x) = 3 x，g (x)=x+x。 （）求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数，并说明理由； （）设数列 * () n anN满足 1 (0)aa a， 1 ()() nn f ag a，证明：存在常数M, 使得对于任意的 * nN，都有 n aM. 解析： （ I）由 3 ( )h xxxx知，0,)x，而(0)0h，且(1)10, (2)620hh，则 0x为( )h x的一个零点，且( )h x在1 2（ ，）内有零点，因此( )h x至少有两个零点 解法 1： 1 2 2 1 '( )31 2 h xxx，记 1 2 2 1 ( )31 2 xxx，则 3 2 1 '( )6 4 xxx。 当(0,)x时，'( )0x，因此( )x在(0,)上单调递增， 则( )x在(0,)内至多只有一个零点。 又因为 3 (1)0,()0 3 ，则( )x在 3 (,1) 3 内有零点，所以( )x在(0,)内有且只有一个零点。 记此零点为 1 x，则当 1 (0,)xx时， 1 ( )'()0xx；当 1 (,)xx时， 1 ( )'()0xx； 所以， 当 1 (0,)xx时，( )h x单调递减，而(0)0h，则( )h x在 1 (0,x内无零点； 当 1 (,)xx时，( )h x单调递增，则( )h x在 1 (,)x内至多只有一个零点； 从而( )h x在(0,)内至多只有一个零点。综上所述，( )h x有且只有两个零点。 解法 2： 1 2 2 ( )(1)h xx xx，记 1 2 2 ( )1xxx，则 3 2 1 '( )2 2 xxx。 当(0,)x时，'( )0x，因此( )x在(0,)上单调递增， 则( )x在(0,)内至多只有一个零点。 因此( )h x在(0,)内也至多只有一个零点， 综上所述，( )h x有且只有两个零点。 （II ）记( )h x的正零点为 0 x，即 3 000 xxx。 （1）当 0 ax时，由 1 aa，即 10 ax.而 33 211000 aaaxxx，因此 20 ax，由此猜测： 0n ax。下面用数学归纳法证明： 当1n时， 10 ax显然成立； 假设当(1)nk k时，有 0k ax成立，则当1nk时，由 33 1000kkk aaaxxx知， 10k ax，因此，当1nk时， 10k ax成立。 故对任意的 * nN， 0n ax成立。 （2）当 0 ax时，由（ 1）知，( )h x在 0 (,)x上单调递增。则 0 ( )()0h ah x，即 3 aaa。 从而 33 211 aaaaaa，即 2 aa，由此猜测： n aa。下面用数学归纳法证明： 当1n时， 1 aa显然成立； 假设当(1)nk k时，有 k aa成立，则当1nk时，由 33 1kkk aaaaaa知， 1k aa，因此，当1nk时， 1k aa成立。 故对任意的 * nN， n aa成立。 综上所述，存在常数 0 max, Mx a，使得对于任意的 * nN，都有 n aM. 江苏2.函数)12(log)( 5 xxf的单调增区间是_ 答案：+ 1 （-，） 2 解析： 5 logyu在(0,).21ux在 1 (,), 2 x大于零 ,且增 . 本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题 8.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 )(的图象交于P、Q 两点， 则线段 PQ 长的最小值是_. 答案： 4. 解析：设经过原点的直线与函数的交点为 2 ( ,)x x ， 2 (,)x x ，则 224 (2 )( )4PQx x . 本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等 式，中档题 . xx EF AB DC 11.已知实数0a，函数 1,2 1,2 )( xax xax xf，若)1()1 (afaf，则 a 的值为 _ 答案： 3 4 a 解析：0a. 3 0,2212 , 2 aaaaa a，不符合； 3 0, 1222, 4 aaaaa a. 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题. 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点 P是函数)0()(xexf x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线 l交 y 轴于点M，过点P 作l的垂线交y 轴于点N，设线段MN 的中点的纵坐标为t，则 t 的最大值是 _ 答案： 11 () 2 e e 解析：设 0 0 (,), x P x e则 000 00 :(),(0,(1) xxx lyeexxMx e，过点 P 作l的垂线 0000 00 (),(0,) xxxx yeexxNex e， 000000 000 11 (1)() 22 xxxxxx txeex eexee 00 0 1 ()(1) 2 xx teex，所以， t 在(0,1)上单调增，在(1,)单调减， 0max 11 1,() 2 xte e . 本题主要考查指数运算,指数函数图象、 导数的概念 ,导数公式 ,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数, 导数的应用、 直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力 ,综合应用有关知识的能力,本题属难题 . 17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形 状的包装盒，E、F在 AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm. （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3 ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值 . 答案：（1）根据题意有 2222 604(602 )2408Sxxxx 2 8(15)1800x（00 从而当 x0, 且 x1 时， f （x）- （ 1 ln x x + x k ）0，即 f （x） 1 ln x x + x k . （ ii ）设 00, 故 ' h (x ）0, 而 h（1）=0，故当 x（1， k1 1 ）时， h（x）0，可得 2 1 1 x h（x）0, 而 h（ 1）=0，故当 x（1，+）时， h（x）0，可得 2 1 1 x h （x） 0, 与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0 全国文 （4）曲线 2 y21xx在点（ 1,0）处的切线方程为A （A）1yx（B）1yx （C）22yx（D）22yx (9)设偶函数f(x) 满足 f(x)=2 x -4 (x0） ，则20x fx=B （ A）24x xx或 （B）04x xx或 （ C）06x xx或 （D）22x xx或 （21）本小题满分12 分） 设函数 2 1 x x fx eax （）若a= 1 2 ，求 x f的单调区间；来源 :学科网 （）若当x 0 时 x f0，求 a 的取值范围 （21）解： （） 1 2 a时， 2 1 ( )(1) 2 x f xx ex，'( )1(1)(1) xxx fxexexex。当, 1x时 '( )fx;当1,0x时，'( )0fx;当0,x时，'( )0fx。故( )f x在, 1，0,单 调增加，在（-1， 0）单调减少。 （）( )(1) a f xx xax。令( )1 a g xxax，则'( ) x g xea。若1a，则当0,x时， '( )gx，( )g x为减函数，而(0)0g，从而当x0 时( )g x0，即( )f x0. 若a，则当0,lnxa时，'( )gx，( )g x为减函数， 而(0)0g，从而当0,lnxa时( )g x 0，即( )f x 0. 综合得a的取值范围为,1 全国理 （ 2）函数y2 x（x0）的反函数为 (A)y 2 4 x （x R） (B)y 2 4 x （x0） (C)y 2 4x（xR） (D)y 2 4x（x0） 【答案】： B 【命题意图】 ：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。 【解析】：由y2 x，得x 2 4 y .函数y2 x（x0）的反函数为y 2 4 x . （x0） （8）曲线 2 1 x ye在点（ 0,2 ）处的切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为 (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D)1 【答案】： A 【命题意图】 ：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。 【解析】： 2 00 |( 2) |2 x xx ye，故曲线 2 1 x ye在点（ 0,2 ）处的切线方程为22yx， 易得切线与直线0y和yx围成的三角形的面积为 1 3 。 （9）设( )f x是周期为2 的奇函数，当01x时，( )2 (1)f xxx，则 5 () 2 f (A) 1 2 (B) 1 4 (C) 1 4 (D) 1 2 【答案】： A 【命题意图】 ：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。 【解析】： 5511111 ()(2)()( )2(1) 2222222 ffff。 （22） （本小题满分12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） （）设函数 2 ( )ln(1) 2 x f xx x ，证明：当x0 时，( )fx0； （）从编号1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽 得的 20 个号码互不相同的概率为p. 证明：p 19 9 () 10 2 1 e . 【命题立意】：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识 解决函 数、不等式问题, 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力. 【解析】： （） 2 22 12(2)2 ( )0,(1) 1(2)(1)(2) xxx fxx xxxx ， （仅当0x时( )0fx） 故函数( )f x在( 1,)单调递增 . 当0x时，( )0f x，故当x0 时，( )fx0. （）从编号1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20 次，则抽得的20 个 号码互不相同的概率为 20 100 20 100 A p，要证p（ 9 10 ） 19 2 1 e . 先证： 20 19 100 20 9 10010 A p（）即证 20 20 10099 . 8110090 10090100 （） 即证 19 9998. 81 （90）而 222 99 81 (90 9) (90 9) 909 （90 ） 222 98 82(908)(908)908（90） 222 91 89(90 1) (901)901 （90） 所以 19 9998. 81 （90）. 即 199 10 p （） 再证： 192 9 10 e（），即证 192 10 9 e（），即证 10 2 9 19ln，即证 102 9 ln 19 由（） 2 ( )ln(1) 2 x f xx x ，当x0 时，( )f x0. 令 1 , 9 x则 1 2 112 9 ln(1)ln(1)0 1 9919 2 9 ，即 102 9 ln 19 综上有： 1929 10 pe（） 全国文 （20） （本小题满分12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 32 ( )3(36 )124()f xxaxa xaaR ( ) 证明：曲线( )0yf xx在(2,2)的切线过点； （）若 00 ( )(1 ,3)f xxxx在处取得极小值，, 求a的取值范围。 【解析】 ( ) 2 ( )36(36 )fxxaxa，(0)36fa，又(0)124fa 曲线( )0yf xx在的切线方程是：(124)(36 )yaa x，在上式中令2x，得2y 所以曲线( )0yf xx在(2,2)的切线过点； （） 由( )0fx得 2 2120xaxa， （i）当2121a时，( )f x没有极小值； (ii) 当21a或21a时，由( )0fx得 22 12 21,21xaaaxaaa 故 02 xx。 由题设知 2 1213aaa， 当21a时，不等式 2 1213aaa无解； 当21a时，解不等式 2 1213aaa得 5 21 2 a 综合 (i)(ii) 得a的取值范围是 5 (,21) 2 。 山东理 9. 函数2sin 2 x yx的图象大致是 【答案】 C 【 解 析 】 因 为 '1 2cos 2 yx,所 以 令 '1 2cos0 2 yx,得 1 cos 4 x,此 时 原 函 数 是 增 函 数 ;令 '1 2cos0 2 yx,得 1 cos 4 x,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确 . 10. 已知( )f x是R上最小正周期为2 的周期函数，且当02x时, 3 ( )f xxx,则函数( )yf x的 图象在区间 0,6 上与x轴的交点的个数为 （A） 6 （ B） 7 （C）8 （D）9 【答案】 A 【解析】因为 当02x时, 3 ( )f xxx,又因为( )fx是R上最小正周期为2的周期函数， 且(0)0f, 所以(6)(4)(2)(0)0ffff,又因为(1)0f,所以(3)0f,(5)0f,故函数( )yf x的图象 在区间 0,6上与x轴的交点的个数为6 个,选 A. 16. 已 知 函 数fx（ ）=log(0a1). ax xb a ，且当2 a 3 b 4 时 ， 函 数fx（ ）的 零 点 * 0 (,1) ,n =xn nnN 则. 【答案】 5 【解析】方程log(0a1) a xxb a ，且=0 的根为 0 x,即函数log(23) a yxa的图象与函数 (34)yxbb的交点横坐标为 0 x,且 * 0 ( ,1),xn nnN,结合图象,因为当(23)xaa 时 ,1y, 此 时 对 应 直 线 上1y的 点 的 横 坐 标1(4,5)xb; 当2y时 , 对 数 函 数 log(23) a yxa的图象上点的横坐标(4,9)x,直线(34)yxbb的图象上点的横坐标 (5,6)x,故所求的5n. 21.（本小题满分12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均 为半球形， 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米， 且2lr.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方 米建造费用为(3)c c.设该容器的建造费用为y千元 . （）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的r. 【解析】（）因为容器的体积为 80 3 立方米，所以 3 2 4 3 r r l 80 3 ,解得 2 804 33 r l r ,所以圆柱的 侧 面 积 为2 rl= 2 804 2() 33 r r r 2 1608 33 r r , 两 端 两 个 半 球 的 表 面 积 之 和 为 2 4 r, 所 以 y 2160 8 r r + 2 4 cr,定义域为 (0, 2 l ). （）因为 ' y 2 160 16 r r +8 cr= 3 2 8 (2)20cr r ,所以令 ' 0y得 : 3 20 2 r c ; 令 ' 0y 得: 3 20 0 2 r c ,所以 3 20 2 r c 米时 , 该容器的建造费用最小. 山东文 （4）曲线 3 11yx在点 P(1，12) 处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15 C 陕西理3设函数( )f x（xR）满足()( )fxf x，(2)( )f xf x，则函数( )yfx的图像是