2019年高考数学试题分类汇编——函数与导数.pdf
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1、函数与导数 安徽理 (3) 设( )f x是定义在 R上的奇函数,当x 时, ( )f xxx,则( )f (A) (B) ()() (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题 . 【解析】 2 (1)( 1)2( 1)( 1)3ff.故选 A. (10) 函 数( )() mn f xaxxg在 区 间 0,1上的图像如图所示,则m,n 的 值可能是 (A)1,1mn (B) 1,2mn (C) 2,1mn (D) 3,1mn (10)B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大 . 【解析】代入验证,当1,2mn
2、,( )()()f xaxxn xxx g,则( )()fxaxx, 由( )()fxaxx 可知, 12 1 ,1 3 xx,结合图像可知函数应在 1 0, 3 递增,在 1 ,1 3 递减, 即在 1 3 x取得最大值,由( )()fag,知 a 存在 .故选 B. (16)( 本小题满分12 分) 设( ) 1 x e f x ax ,其中a为正实数 ()当a 4 3 时,求( )fx的极值点; ()若( )f x为R上的单调函数,求a的取值范 围。 (16) (本小题满分12 分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系, 求解二次不等式,考查运算能力,综合运
3、用知识分析和解决问题的能力. 解:对)(xf求导得. )1 ( 1 )( 22 2 ax axax exf x (I)当 3 4 a,若. 2 1 , 2 3 ,0384,0)( 21 2 xxxxxf解得则 综合 ,可知 0.5 1 x y O 0.5 所以 , 2 3 1 x是极小值点 , 2 1 2 x是极大值点 . (II)若)(xf为 R 上的单调函数, 则)(xf在 R 上不变号, 结合与条件a0,知012 2 axax 在 R 上恒成立,因此, 0) 1(444 2 aaaa由此并结合0a,知.10a 安徽文 (5)若点 (a,b)在lgyx图像上,a,则下列点也在此图像上的是
4、(A) ( a ,b)(B ) (10a,1b) (C) ( a ,b+1) (D)(a 2,2b) (5) D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lgba,lglgbaa ,即 2 ,2ab也在函数lgyx图像上 . (10) 函 数()() n fxa xxg在 区 间 0,1上的图像如图所示,则n 可能是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (10)A【命题意图】 本题考查导数在研究函 数单调性中的应用,考查函数图像,考查 思维的综合能力.难度大 . 【 解 析 】 代 入 验 证 , 当1n时 , ()()()fxa xx
5、a xxxg,则 ( )()f xa xx, 由( )()fxaxx 可 知 , 12 1 ,1 3 xx,结合图像可知函数应在 1 0, 3 递增,在 1 ,1 3 递减,即在 1 3 x取得最大值,由 ( )()fag,知 a 存在 .故选 A. (13)函数 2 1 6 y xx 的定义域是. (13)( 3,2) 【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法. x ) 2 1 ,( 2 1 ) 2 3 , 2 1 ( 2 3 ), 2 3 ( )(xf + 0 0 + )(xf 极大值极小值 0.5 1 x y O 0.5 【解析】由 2 60xx可得 2 60xx,即+
6、320xx,所以32x. 北京理 6.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为 , ( ) , c xA x f x c xA A (A, c为常数)。已知工人组装第4 件产品用时30 分钟, 组装第A件产品时用时15 分钟, 那么c和A的值分 别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60, 16 【解析】 由条件可知,xA时所用时间为常数,所以组装第4 件产品用时必然满足第一个分段函数,即 (4)3060 4 c fc, 60 ()1516f AA A ,选 D。 13.已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x f xx xx ,若关于x
7、的方程( )f xk有两个不同的实根,则实数k的取值范围 是_. 【解析】 2 ( )(2)f xx x 单调递减且值域为(0,1 , 3 ( )(1) (2)f xxx单调递增且值域为(,1), ( )f xk有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1) 。 18.已知函数 k x ekxxf 2 )()(. (1)求)(xf的单调区间; (2)若对 0(x , ),都有 e xf 1 )( ,求k的取值范围。 解: (1) /22 1 ( )() x k fxxke k ,令 / ( )0fx得xk 当0k时,( )f x在(,)k和( ,)k上递增,在(, )k k上递减; 当0k时
8、,( )f x在(, )k和(,)k上递减,在( ,)kk上递增 (2) 当0k时, 1 1 (1) k k f ke e ;所以不可能对0(x,)都有 e xf 1 )(; 当0k时有(1)知( )f x在(0,)上的最大值为 2 4 () k fk e ,所以对0(x,)都有 e xf 1 )( 即 2 411 0 2 k k ee ,故对0(x,)都有 e xf 1 )(时,k的取值范围为 1 ,0) 2 。 北京文(8) 已知点 0,2A , 2,0B ,若点C在函数 2 yx的图象上, 则使得ABC的面积为2 的点C的 个数为A A. 4B. 3C. 2D. 1 (18) (本小题共
9、13 分) 已知函数 x f xxk e, (I)求fx的单调区间; (II )求 fx 在区间0,1上的最小值。 解: (I) / ( )(1) x fxxke, 令 / ( )01f xxk; 所以f x在(,1)k上递减,在(1,)k 上递增; (II)当10,1kk即时,函数f x在区间0,1上递增,所以 min ( )(0)f xfk; 当011k即12k时,由( I)知,函数fx在区间0,1k上递减,(1,1k上递增, 所以 1 min ( )(1) k f xf ke; 当11,2kk即时,函数 f x 在区间0,1上递减,所以 min ( )(1)(1)f xfk e。 福建理
10、 5 1 (2 ) 0 x ex dx等于 C A1 B1eCeD1e 9对于函数( )sinfxaxbxc(其中,,a bR cZ),选取, ,a b c的一组值计算(1)f和( 1)f, 所得出的正确结果一定不可能 是 D A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 10已知函数( ) x f xex,对于曲线( )yf x上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判 断:B ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 ABCD 18(本小题满分 13 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商
11、品每日的销售量y(单位:千克 )与销售价格 x(单位:元 /千克 )满足关系式 2 10(6) 3 a yx x ,其中36x,a为常数,已知销售价格为5 元/千克时,每日可售出该商品11 千克 () 求a的值; () 若该商品的成品为3 元 /千克 , 试确定销售价格x的值 ,使商场每日销售该商品所获得的利润最 大 解: ()因为5x时11y,所以10112 2 a a; ()由()知该商品每日的销售量 2 2 10(6) 3 yx x ,所以商场每日销售该商品所获得的利润: 222 ( )(3)10(6) 210(3)(6) ,36 3 f xxxxxx x ; /2 ( )10(6)2(
12、3)(6)30(4)(6)fxxxxxx,令 / ( )0fx得4x 函数( )fx在(3,4)上递增,在(4,6)上递减,所以当4x时函数( )f x取得最大值(4)42f 答:当销售价格4x时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42. 福建文 6若关于x 的方程 x2mx1 0 有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 A ( 1,1)B ( 2,2)C (, 2)( 2,)D (, 1)( 1,) C 8已知函数f(x) 2 x, x0 x 1,x0 ,若 f(a)f(1)0,则实数a 的值等于 A 3 B 1 C 1 D3 A 10若 a0,b 0,且函数f(x)4x 3
13、ax22bx2 在 x1 处有极值,则 ab 的最大值等于 A 2 B3 C6 D9 D 22 (本小题满分14 分) 已知 a、b 为常数,且a0,函数 f(x) axbaxlnx,f(e)2, (e2.71828是自然对数的底数) 。 ()求实数b 的值; ()求函数f(x)的单调区间; ()当 a1 时,是否同时存在实数m 和 M( mM) ,使得对每一个 tm,M,直线 y t 与曲线 y f(x)(x1 e,e)都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数M;若不存在,说明理 由。 22、 () b 2; () a0 时单调递增区间是(1,),单调递减区间是(0,1) ,a0
14、 时单调递增 区间是( 0,1) ,单调递减区间是(1,); ()存在m, M;m 的最小值为1,M 的最大值为2。 广东理 4设函数( )f x和 g(x ) 分别是 R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A( )f x+|g(x)|是偶函数 B( )f x-|g(x)|是奇函数 C|( )f x| +g(x)是偶函数 D |( )f x|- g(x)是奇函数 解析 :因为 g(x ) 是 R上的奇函数 , 所以 |g(x)|是 R上的偶函数 , 从而( )f x+|g(x)|是偶函数 , 故选 A. 12. 函数 32 ( )31f xxx在x处取得极小值 . .2)( ),2, 0
15、(), 2(),0 ,( :)(),2(363x(x): 2 处取得极小值在 递减区间为的单调递增区间为解析 xxf xfxxxf ; 2 | ),( ),Q(AB:B.y)0)( 4 1 ,()1( |.|,max|),(,0 ,0,4,. 4 1 :L, )14.(21 0 0 2 00 21 2 21 22 p qp qpLpppA xxqpqpxx xxqpqpxyxOy 有 上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点 记的两根 是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系 分本小题满分 (2)设( , )M a b是定点,其中,a b满足 2 40aba0, .过( , )M a b作L
16、的两条切线 12 ,l l,切点分别 为 22 1122 11 (,),(,) 44 E ppEPP,1 2 ,l l与y分别交于,F F.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明: 2 minmax 15 ( , )1,(1), 44 ,). Dx yyxyxp q p q (3) 设当点()取遍 D时,求 ()的最小值 ( 记为)和最大值 (记为 1 12 | ( , )( , ) 2 P M a bXPPa b ; 21解:() 00 0 11 |() | 22 ABxpxp kyxp, 直线 AB 的方程为 2 000 11 () 42 yppxp,即 2 00 11 24 yp xp,
17、 2 00 11 24 qp pp,方程 2 0xpxq的判别式 22 0 4()pqpp, 两根 00 1,2 | 22 pppp x或 0 2 p p, 0 0p p, 00 | | 22 pp pp,又 0 0| |pp, 000 | | | 222 ppp p,得 000 | | | 222 ppp pp, 0 ( ,)| 2 p p q ()由 2 40ab知点( ,)M a b在抛物线 L 的下方, 当0,0ab时,作图可知,若( , )M a bX,则 12 0pp,得 12 | |pp; 若 12 | |pp,显然有点( , )M a bX;( , )M a bX 12 | |
18、pp 当0,0ab时,点( , )M a b在第二象限, 作图可知,若( , )M a bX,则 12 0pp,且 12 | |pp; 若 12 | |pp,显然有点( , )M a bX; ( , )M a bX 12 | |pp 根据曲线的对称性可知,当0a时,( , )M a bX 12 | |pp, 综上所述,( , )M a bX 12 | |pp(* ) ; 由()知点M 在直线 EF 上,方程 2 0xaxb的两根 1 1,2 2 p x或 1 2 p a, 同理点 M 在直线E F上,方程 2 0xaxb的两根 2 1,2 2 p x或 2 2 p a, 若 1 ( ,)| 2
19、 p a b,则 1 | 2 p 不比 1 | 2 p a、 2 | 2 p 、 2 | 2 p a小, 12 | |pp,又 12 | |pp( , )M a bX, 1 ( , )| 2 p a b( , )M a bX;又由()知,( , )M a bX 1 ( ,)| 2 p a b; 1 ( , )| 2 p a b( , )M a bX,综合( * )式,得证 ()联立1yx, 215 (1) 44 yx得交点(0,1), (2,1),可知02p, 过点(,)p q作抛物线L 的切线,设切点为 2 00 1 (,) 4 xx,则 2 0 0 0 1 1 4 2 xq x xp ,
20、得 2 00 240xpxq,解得 2 0 4xppq, 又 2 15 (1) 44 qp,即 2 442pqp, 0 42xpp,设42pt, 2 0 1 2 2 xtt 215 (1) 22 t, 0 maxmax | 2 x ,又 0 5 2 x, max 5 4 ; 1qp, 2 0 44|2 |2xppppp, 0 minmin |1 2 x 广东文 4 函数 1 ( )lg(1) 1 fxx x 的定义域是()C A (, 1) B (1,) C ( 1,1)(1,) D (,) 10设 )(),(),(xhxgxf 是R 上的任意实值函数如下定义两个函数xgf和xgf;对任意 R
21、x,)(xgfxgf;)(xgxfxgf则下列等式恒成立的是() A)(xhghfxhgf B )(xhghfxhgf C )(xhghfxhgf D )(xhghfxhgf B 12设函数 . 1cos)( 3 xxxf若11)(af,则)( af -9 19 (本小题满分14 分) 设0a,讨论函数xaxaaxxf)1(2)1(ln)( 2 的单调性 解:函数f(x)的定义域为(0,+) 2 2 12 1212 2 (1)2(1)1 ( ), 1 12 (1)2(1)1012(1)() 3 1 0,( )2 3 (1)(31)(1)(31)11 0, 22 (1)22 (1) 0( )0,
22、( )(0,)(,) aa xa x fx x aaa xa xaa afx aaaa xx aaaaaa xxxxfxf xxx 当时,方程的判别式 当00,g(x)=0的两根都小于0,在(0,)上,( )0fx,故( )(0,)f x 在上单调递 增 (3) 当2a时, 0,g(x)=0的两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx, 当 1 0xx时,( )0fx;当 12 xxx时,( )0fx;当 2 xx时,( )0fx,故( )f x分别 在 12 (0,),(,)xx上单调递增,在 12 (,)x x上单调递减 (II )由( I )知,2a 因为 12 121212 1
23、2 ()()()(lnln) xx f xf xxxaxx x x ,所以 1212 121212 ()()lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx 又由 (I) 知, 12 1x x于是 12 12 lnln 2 xx ka xx 若存在a,使得2.ka则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx亦即 222 2 1 2ln0(1)(*)xxx x 再由( I )知,函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0,)上单调递增,而 2 1x,所以 22 2 11 2ln12ln10. 1 xx x 这与(*)式矛盾故不存在a,使得2.ka 湖南理 6.
24、 由直线,0 33 xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为() A 1 2 B1 C 3 2 D3 答案: D 解析:由定积分知识可得 3 3 3 3 33 cossin|()3 22 Sxdxx ,故选 D。 8. 设直线xt与函数 2 ( ), ( )lnf xxg xx的图像分别交于点,M N,则当|MN达到最小时t的值为 () A 1B 1 2 C 5 2 D 2 2 答案: D 解析:由题 2 |lnMNxx,(0)x不妨令 2 ( )lnh xxx,则 1 ( )2h xx x ,令()0h x解得 2 2 x,因 2 (0,) 2 x时,( )0h x,当 2 (,) 2
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