湖北省八校2019届高三上学期第一次联考数学(理).pdf

黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学 湖北省八校2019 届高三第一次联考 有一项是符合题目要求的 1某一随机变量的概率分布如下表，且1.5E，则mn 的值为（） A 0.3； B0.1；C0.3；D 0.1 2若0ab，则下列不等式中不一定 成立的是 （） A 11 ab B 11 abb CabDab来源 :Zxxk.Com 3已知集合 2 |21,Ay yxxxR， 1 |,0By yxxRx x 且，则 () RB Ae（ ） A( 2,2B 2,2)C 2,)D( 2,2) 来源 :Z+xx+k.Com 4设:211px，:()(1)0qxaxa，若q是p的必要而不充分条件，则实数 a的取值范围是（） A 1 0, 2 B 1 (0,) 2 C(,0 1 ,) 2 D(,0) 1 (,) 2 5已知函数 1 1 2 ( )log (421) xx f x的值域是0,)，则它的定义域可以是（） A(0,1B(0,1)C(,1D(,0 6已知函数( )2sinf xx在区间, 34 上的最小值是2，则的取值范围为（） A 9 (, 2 B(, 2C 3 (, 2,) 2 D 9 (,6,) 2 7函数 sin() 4 ( )2 2 |sincos | sincos x f xxx xx 是 （ ） A周期为 2 的偶函数B周期为的非奇非偶函数 来源学科网 C周期为的偶函数D周期为 2 的非奇非偶函数 8已知函数 2 ( )11f xaxbx，其中0,1 ,1,2ab，则使得( )0f x在 1,0x上有解的概率为（） 0 12 3 P0.2 mn0.3 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D0 9设双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶点为 A，P为双曲线上的 一个动点（不是顶 点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于,Q R两点，其中O为 坐标原点，则 2 |OP与| |OQOR的大小关系为（） A 2 | |OPOQORB 2 | |OPOQOR C 2 | |OPOQORD不确定 10平面向量的集合A到A的映射f由( )2()f xxx a a确定，其中a为常向量若映 射f满足( )( )fxfyx y对,x yA恒成立，则a的坐标不可能 是 （） A(0,0)B 22 (,) 44 C 22 (,) 22 D 13 (,) 22 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分 11为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了 频率分布直方图(如图 )，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为 1: 2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 12如图，在ABC中，AHBC于H，M为AH的中点，若 AMABAC，则 13 将抛物线 2 (3)40(0)a xya按向量( 3,4)v平移后所得 抛物线的焦点坐标为 14若等差数列 n a的前n项和为 n S，且 3 10(7) n an， 7 14S， 72 n S，则n 15给出定义：若 11 22 mxm(其中m为整数 )，则m叫做离实数x最近的整数， 记作x，即xm. 在此基础上给出下列关于函数( )f xxx的四个命题： ( )yf x的定义域是R，值域是 1 1 (, 2 2 ； 点( ,0)()kkZ是( )yf x的图像的对称中心； 函数( )yf x的最小正周期为1； A B C H M 频率 组距 0.0375 0.0125 50 55 60 65 70 75 体重 函数( )yf x在 1 3 (, 2 2 上是增函数； 则其中真命题是_ 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 来源 :Zxxk.Com 16（本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知等比数列 n a中， 123 ,aa ab ac，, ,a b c分别为ABC的三内角,A B C 的对边，且 3 cos 4 B （1）求数列 n a的公比q； （2）设集合 2 |2|AxN xx，且 1 aA，求数列 n a的通项公式 17（本小题满分12 分） 已知O为坐标原点，向量(sin,1),(cos,0),( sin,2)OAOBOC，点P是 直线AB上的一点，且点B分有向线段AP的比为1 （1）记函数( )fPB CA，(,) 82 ，讨论函数( )f的单调性，并求其值域； （2）若,O P C三点共线，求|OAOB的值 18.（本小题满分12 分） 若关 于x的实系数方程 2 0xaxb有两个根， 一个根在区间(0,1)内，另一根在区 间(1,3)内，记点( , )a b对应的区域为 S （1）设 2zab，求z的取值范围； （2）过点( 5,1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过 区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程 19（本小题满分13 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数( )yf x的反函数为 1 ( )yfx，定义：若对给定的实数(0)a a，函数 ()yf xa与 1( )yfxa互为反函数，则称( )yf x满足“a和性质” （1）判断函数 2 ( )(1)1, 2, 1g xxx是否满足“ 1 和性质”，并说明理由； （2）若( )F xkxb，其中0,kxR满足“ 2 和性质”，则是否存在实数a，使得 2 (9)cossin(1)FFaF对任意的(0,)恒成立？若存在， 求出a的范围； 若不存 在，请说明理由 20（本小题满分14 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知椭圆 22 222 22 1(0,) xy abcabc ab 的左、右焦点分别为 12 ,FF，若以 2 F为圆心，bc为半径作圆 2 F，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT的最 小值不小于为 3 () 2 ac （1）求椭圆的离心率e的取值范围； （2）设椭圆的短半轴长为1，圆 2 F与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为(0)k k的直线 l与椭圆相交于A B,两点，若OAOB，求直线l被圆 2 F截得的弦长s的最大值 21（本小题满分14 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知曲线:4 ,:4() xxn n CyCynN，从C上的点(,) nnn Qxy作x轴的垂线，交 n C于点 n P，再从点 n P作y轴的垂线，交C于点 111 (,) nnn Qxy ，设 11 1, nnn xaxx 1n n n y b y （1）求数列 n x的通项公式； （2）记 4 n nn c a b ，数列 n c的前n项和为 n S，试比较 n S与 37 32 的大小()nN ； （3）记 2 3 5 2(1) n n n n d b ，数列 n d的前n项和为 n T，试证明： 21 (21) nn ndT 来源 学 + 科+网 21 55 1( ) 38 n 参考答案： 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 来源 学科网 3 来源:Z_xx_k.Com 4 5 C B D A A 6 7 8 9 10 C B A C B 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分 11.48 12. 1 2 13. 1 (0,) 4a 14.12 15. 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16. 解：（ 1）依题意知： 2 bac，由余弦定理得： 222 113 cos() 2224 acbac B acca ，3 分 而 2c q a ，代入上式得 2 2q或 21 2 q，又在三角形中, ,a b c0， 2q 或 2 2 q；6 分 （2） 242 2 |,40xxxx，即 22 (4)0,22xxx且0x，8 分 又xN，所以 1 1 ,1Aa， 1 ( 2) n n a或 1 2 () 2 n n a10 分 来源 :Zxxk.Com 17. 解：依题意知：(sin,1),(cos,0),(sin,2)ABC，设点P的坐标为( , )x y，则： sin1 cos,0 1 111 xy ，所以2cossin,1xy，点P的坐标为 (2cossin, 1) 2 分 （1）(sincos ,1),(2sin, 1)PBCA 2 ()2sinfPB CA 2sincos1(sin 2cos2 )2 sin(2) 4 ，4 分 由 5 2(0,) 44 可知函数()f的单调递增区间为(,) 82 ， 单调递减区间为(,) 88 ， 6 分 所以 2 sin(2)(,1 42 ，其值域为2,1)；8 分 （2）由,O P C三点共线的 4 1 (sin)2(2cossin),tan 3 ， 10 分 222 2sincos2 tan24 sin2 sincos1tan25 ， 2 |(sincos)1OAOB 74 sin 22 5 12 分 18. 解 ： 方 程 2 0xa xb的 两 根 在 区 间(0 , 1)和(1,3)上 的 几 何 意 义 是 ： 函 数 2 ( )yf xx axb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组 (0)0 (1)0 (3)0 f f f ，即 0 10 390 b ab ab ，则在坐标平面aOb内，点( , )a b对应的区域S如图阴影部 分所示，易得图中,A B C三点的坐标分别为 ( 4,3),(3,0),(1,0)，4 分 （1）令2zab，则直线2baz经过点 A时 z取得最小值，经过点C时z取得最大值，即 minmax 11,2zz， 又,A B C三点的值没有取到，所以112z；8 分 （2）过点( 5,1)的光线经x轴反射后的光线必过点( 5, 1)，由图可知 可能满足条件的整点为( 3,1),( 3,2),(2,2),(2,1)，再结合不等式知点( 3,1)符合条件， 所以此时直线方程为： 1( 1) 1(5) 3( 5) yx ，即4yx12 分 19. 解： （1） 函数 2 ( )(1)1, 2, 1g xxx的反函数是 1 ( )11gxx，1,2x 1 (1)1,0,1gxxx而 2 (1)(2)1, 3, 2g xxx其反函数为 a b 1 A(-4, 3) B C O 31 9 21,1,2yxx , 故函数 2 ( )(1)1, 2, 1g xxx不满足“ 1 和性质”； 6 分 （2）设函数( )F xkxb满足“ 2 和性质”，0.k 1( ) , xb FxxR k 1 2 (2) xb Fx k ，而(2)(2),F xk xb xR，得反函数 2xbk y k 由“ 2 和性质”定义可知 2xb k = 2xbk k 对xR恒成立，1,kbR 即函数( )F xxb，xR，在(,)上递减，9 分 所以假设存在实数a满足 2 (9)(cosFFsin)(1)aF，即 2 1cossin9a对任意 的0,恒成立，它等价于 2 2 80 0 tat tat 在0,1t上恒成立. 2 80tat， 0,1t 8 at t ，易得 9a .而 2 0tat 知at所以 1a .综合以上有当 19a 使得 2 cossin3fa对任意的0,恒成立13 分 20. 解： （1） 依题意设切线长 22 2 |()PTPFbc 当且仅当 2 |PF取得最小值时|PT取得最小值，而 2min |PFac，2 分 223 ()()() 2 acbcac， 1 0 2 bc ac ， 从而解得 32 52 e，故离心率 e的取值范围是 32 52 e；6 分 （2） 依题意Q点的坐标为(1,0)， 则直线的方程为(1)yk x， 联立方程组 2 2 2 (1) 1 yk x x y a 得 22222222 (1)20a kxa k xa ka， 设 1122 ( , ) , ( ,)Ax yB x y， 则有 22 1222 2 1 a k xx a k ， 222 12 22 1 a ka x x a k ，代入直线方程得 2 121212 ()1y ykx xxx 22 22 (1) 1 ka a k ， F2 T O P y x 22 121222 1 ka xxyy a k ，又OAOB， 22 1212 0,0,OA OBx xy yka， 10 分 ka，直线的方程为0axya，圆心 2 F ( ,0)c到直线l的距离 2 | 1 aca d a ，由图 象可知 22 22 2 22|1|21214 222 1 9 12 1 212 21 dccccc s aac a c c ， 来源: 学 , 科 ,网 Z,X,X,K 32 52 e， 35 1,213 42 cc， 2 41 (0, 41 s，所以 max 2 41 41 s 14 分 21. 解：（ 1）依题意点 n P的坐标为 1 (,) nn xy ， 1 1 44 nn xnx n y， 1nn xxn， 2 分 121 1(2)(1)12(1) nnn xxnxnnxn (1) 1 2 n n ； 4 分 （2） 1 1 4 nn c n ，由 1 37 1 32 S， 2 1937 1 8832 S， 3 115537 1 8484832 S， 当3n时， 21 1111 1243 44 nn S n 231 1111 1 243 43434 n 22 1 11 (1) 11911 44 1 1 8383694 1 4 n n 来源 学科 网 Z,X,X,K 1 91137 8329432 n ；8 分 （3） 2 35 2(41) n n nn d，所以易证： 1 5 8 nn dd， 当2n时， 21 121 5555 ( )( )( ) 8888 nn nnn dddd， 221 211221 555 ( )( ) 888 n nn Tddd 2155 1( ) 38 n ，（当1n时取 “” ） 11 分 另一方面，当2,1,2,21nkn时，有： 2 35 42(41) k knkkk dd 2 22 5 2(41) n k nknk 2 22 355 2 42(41)2(41) kn k kkn knk2 3251 42(41)(41) n nkn k 222 651 24441 n nnknk ， 又 22222 4424 ,44414241(41) kn knnknknnn ， 22 651 2 241 n kn knnn ddd， 21 1 (21)2(21) 2 nnn Tndnd所以 对任意的nN ，都有 21 (21) nn ndT 2155 1( ) 38 n 14 分