2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第三章 第四节　三角函数的图象与性质 Word版含答案.pdf

第四节 三角函数的图象与性质 2019 考纲考题考情 1“五点法”作图原理 在确定正弦函数 ysinx 在0,2上的图象形状时， 起关键作 用的五个点是(0,0)、(，0)、(2，0)。 ( 2，1) ( 3 2，1) 2三角函数的图象和性质 函数 性质 ysinxycosxytanx 定义域 RR x|xk ，kZ 2 图象 续表 1 函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 T ，函数 ytan(x)的最小正周期为 T。 2 | | 2求函数 yAsin(x)的单调区间时，应注意 的符号， 只有当 0 时，才能把(x)看作一个整体，代入 ysint 的相 应单调区间求解。 3函数 ysinx 与 ycosx 的对称轴分别是经过其图象的最 高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，如 ycosx 的对称轴为 x k(kZ)，而不是 x2k(kZ)。 4 对于 ytanx 不能认为其在定义域上为增函数， 而是在每 个区间(kZ)内为增函数。 (k 2，k 2) 一、走进教材 1 (必修 4P46A 组 T2,3改编)若函数 y2sin2x1 的最小正周 期为 T，最大值为 A，则( ) AT，A1 BT2，A1 CT，A2 DT2，A2 解析 最小正周期 T， 最大值 A211。 故选 A。 2 2 答案 A 2(必修 4P40练习 T4)下列关于函数 y4sinx，x， 的单调性的叙述，正确的是( ) A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在上是增函数，在及上是减函 2， 2 ， 2 2， 数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在及上是增函数，在上是减函 2， ， 2 2， 2 数 解析 函数 y4sinx 在和上单调递减，在 ， 2 2， 上单调递增。故选 B。 2， 2 答案 B 二、走近高考 3(2017·全国卷)设函数 f (x)cos，则下列结论错 (x 3) 误的是( ) Af (x)的一个周期为2 Byf (x)的图象关于直线 x对称 8 3 Cf (x)的一个零点为 x 6 Df (x)在上单调递减 ( 2，) 解析 A 项，因为 f (x)cos的周期为 2k(kZ)，所 (x 3) 以 f (x)的一个周期为2， A 项正确 ； B 项， 因为 f (x)cos (x 3) 图象的对称轴为直线 xk (kZ)，所以 yf (x)的图象关于 3 直线 x对称，B 项正确 ； C 项，f (x)cos。令 x 8 3 (x 4 3) k (kZ)， 得 xk， 当 k1 时， x ， 所以 f (x) 4 3 2 5 6 6 的一个零点为 x ，C 项正确；D 项，因为 f (x)cos的 6 (x 3) 单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为 2k 3，2k 2 3 (kZ)， 所以是 f (x)的单调递减区间， 2k 2 3 ，2k5 3 ( 2， 2 3) 是 f (x)的单调递增区间，D 项错误。故选 D。 2 3 ，) 答案 D 4(2018·江苏高考)已知函数 ysin(2x)的 ( 2 cos23°cos97°。 答案 sin68°cos23°cos97° 考点一 三角函数的定义域 【例 1】 (1)函数 y的定义域为_。 1 tanx1 (2)函数 ylg(sinx)的定义域为_。 cosx1 2 解析 (1)要使函数有意义，必须有Error!Error!即Error!Error!故函数 的定义域为Error!Error!。 (2)函数有意义，则Error!Error!即Error!Error! 解得Error!Error! 所以 2k0， ( 3 3 ， 3 3 ) g(t)在上是增函数； 3 3 ， 3 3 当 t时，g(t)0)的最小正周期 (x 6) 为 4，则该函数的图象( ) A关于点对称 ( 3，0) B关于点对称 ( 5 3 ，0) C关于直线 x 对称 3 D关于直线 x对称 5 3 解析 函数 f (x)2sin(0)的最小正周期是 4， 而 (x 6) T4，所以 ，即 f (x)2sin。函数 f (x)的对称 2 1 2 ( 1 2x 6) 轴为 k，解得 x 2k(kZ)；函数 f (x)的对称中 x 2 6 2 2 3 心的横坐标为 k， 解得 x2k (kZ)， 令 k1 得 f (x) x 2 6 1 3 的一个对称中心。故选 B。 ( 5 3，0) 答案 B 对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直 线 xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检 验 f (x0)的值进行判断。 【题点对应练】 1(方向 1)已知函数 f (x)cos(x)(00)在区间上单调 3， 2 递减，则 的取值范围是( ) A B C D 0， 2 3 0， 3 2 2 3，3 3 2，3 【解析】 令 2kx 2k(kZ)，得 2 3 2 2 2k x， 因为 f (x)在上单调递减， 所以Error!Error!得 ： 6k 3 2 2k 3， 2 4k3。又 0，所以 k0，又 6k 0)在区间上单调递减，建立 3， 2 不等式，即可求 的取值范围。 【变式训练 1】 已知函数 f (x)2sinx，其中常数 0。 若 f (x)在上单调递增，求 的取值范围。 4， 2 3 解 因为函数 f (x)2sinx 的周期 T，所以 2 2， 2 是 f (x)的一个单调递增区间。 又 f (x)在单调递增，所以， 4， 2 3 4， 2 3 2， 2 于是有 ，。 2 4 2 2 3 又 0，解得 00)的一条对称 (x 3) 轴 x ，一个对称中心为点，则 有( ) 3 ( 12，0) A最小值 2 B最大值 2 C最小值 1 D最大值 1 【解析】 因为函数的中心到对称轴的最短距离是 ，两条 T 4 对称轴间的最短距离是 ，所以，中心到对称轴 x 间的 T 2 ( 12，0) 3 距离用周期可表示为 (kN，T 为周期)，解得(2k 3 12 T 4 kT 2 1)T， 又 T， 所以(2k1)·， 则 2(2k1)， 当 k0 2 2 时，2 最小。故选 A。 【答案】 A 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的 “水平 间隔”为 ，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ， T 2 T 4 这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而 可以研究“”的取值。值得一提的是，三角函数的对称轴必经 过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数 f (x) Asin(x)的对称中心就是其图象与 x 轴的交点， 这又说明， 我 们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来 确定其周期，进而可以确定“”的取值。 【变式训练2】 若函数ycos(N*)的图象的一 (x 6) 个对称中心是，则 的最小值为( ) ( 6，0) A1 B2 C4 D8 解析 依题意得 cos0，则 k，kZ， ( 6 6) 6 6 2 解得 6k2，又 N*，所以 的最小值为 2。 答案 B 三、利用三角函数的最值求解 【典例 3】 已知函数 f (x)2sinx 在区间上的最 3， 4 小值为2，则 的取值范围是_。 【解析】 显然 0。 若 0， 当 x时， x ， 因为函数 f (x) 3， 4 3 4 2sinx 在区间上的最小值为2，所以 ，解得 3， 4 3 2 。 3 2 若0)，f f (x 3) ( 6) ， 且 f (x)在区间内有最小值无最大值， 则 _。 ( 3) ( 6， 3) 解析 因为 f f ，而 ，所以 f (x)的图象 ( 6) ( 3) 1 2( 6 3) 4 关于直线 x 对称，又 f (x)在区间内有最小值无最大值， 4 ( 6， 3) 所以 f (x)minf sin1， 所以 k， k ( 4) ( 4 3) 4 3 3 2 Z， 解得 4k。 再由 f (x)在区间内有最小值无最大值， 14 3 ( 6， 3) 得T ，解得 12，所以 k0，。 2 3 6 14 3 答案 答案 14 3