2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．4　绝对值的三角不等式 Word版含解析.doc

14绝对值的三角不等式读教材·填要点绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b为实数，则|ab|a|b|.当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：设a，b，c为实数，则|ac|ab|bc|，等号成立(ab)(bc)0，即b落在a，c之间推论1：|a|b|ab|推论2：|a|b|ab|小问题·大思维1|ab|与|a|b|，|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系？ 提示：|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|.2不等式|a|b|a±b|a|b|中“”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0，且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.3绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|AB|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|BC|.绝对值的三角不等式的应用例1(1)以下四个命题：若a，bR，则|ab|2|a|ab|；若|ab|1，则|a|b|1；若|x|2，|y|3，则|；若AB0，则lg( lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个B3个C2个 D1个(2)不等式1成立的充要条件是_思路点拨本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|b|与|a|<|b|两类讨论精解详析(1)|ab|(ba)2a|ba|2|a|ab|2|a|，|ab|2|a|ab|，正确；1|ab|a|b|，|a|b|1，正确；|y|3，.又|x|2，.正确；2(|A|2|B|22|A|B|)，(2|A|B|2|A|B|)|A|B|，2lglg|A|B|.lg(lg|A|lg|B|)，正确(2)当|a|>|b|时，有|a|b|>0，|ab|a|b|a|b|.必有1.即|a|>|b|是1成立的充分条件当1时，由|ab|>0，必有|a|b|>0.即|a|>|b|，故|a|>|b|是1成立的必要条件故所求为：|a|>|b|.答案(1)A(2)|a|b|(1)绝对值的三角不等式：|a|b|a±b|a|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边(2)对|a|b|a±b|a|b|的诠释：定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边的等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，且|a|b|时，左边等号成立中间部分|a±b|肯定是非负的左端右端用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0，且|a|b|时，左端取等号；用“”连接时，ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.1(1)若x5，nN，则下列不等式：|xlg|5|lg|；|x|lg5lg；xlg5|lg|；|x|lg5|lg|.其中，能够成立的有_(2)已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是()Amn BmnCmn Dmn解析：(1)01.lg0.由x5，并不能确定|x|与5的关系，可以否定，而|x|lg0，成立(2)|a|b|a±b|a|b|，m1，n1.m1n.答案：(1)(2)D利用绝对值的三角不等式证明不等式例2已知a，bR且a0，求证：.思路点拨本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决精解详析若|a|b|，左边.，.左边右边若|a|<|b|，左边>0，右边<0，原不等式显然成立若|a|b|，原不等式显然成立综上可知原不等式成立含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|a±b|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明2(1)已知>0，|xa|<，|yb|<，求证：|(xy)(ab)|<2.(2)设f(x)x2x13，实数a满足|xa|<1，求证：|f(x)f(a)|<2(|a|1)证明：(1)|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|.|xa|<，|yb|<，|xa|yb|<2.由得：|(xy)(ab)|<2.(2)f(x)x2x13，|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|·|xa1|<|xa1|.又|xa1|xa2a1|xa|2a1|<1|2a|12(|a|1)，|f(x)f(a)|<2(|a|1).利用绝对值的三角不等式求最值例3已知a，bR，且|ab1|1，|a2b4|4.求|a|b|的最大值思路点拨本题考查绝对值三角不等式的应用解答本题可先求出|ab|，|ab|的最值，再通过|a|b|与它们相等时进行讨论求出最大值精解详析|ab|(ab1)1|ab1|1|2，|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|532×4516.若ab0，则|a|b|ab|2；若ab0，则|a|b|ab|16.而当即a8，b8时，|a|b|取得最大值，且|a|b|ab|16.(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助绝对值的定义，即零点分段；利用绝对值几何意义；利用绝对值不等式性质定理3对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为()A5 B4C8 D7解析：由题易得，|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.答案：A对应学生用书P15 一、选择题1已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是()A|ab|>|ab| B|ab|<|ab|C|ab|<|a|b| D|ab|<|a|b|解析：ab<0，|ab|a|b|，又|ab|<|a|b|，|ab|<|a|b|ab|.答案：B2“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析：|xa|m，|ya|m，|xa|ya|2m.又|(xa)(ya)|xa|ya|，|xy|2m.但反过来不一定成立，如取x3，y1，a2，m2.5，|31|2×2.5，但|3(2)|2.5，|1(2)|2.5，|xy|2m不一定有|xa|m且|ya|m，故“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的充分非必要条件答案：A3设|a|<1，|b|<1，则|ab|ab|与2的大小关系是()A|ab|ab|>2 B|ab|ab|<2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析：当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|<2，当(ab)(ab)<0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|<2.答案：B4若|ac|b，则下列不等式不成立的是()A|a|b|c|B|c|a|b|Cb|c|a| Db|a|c|解析：|ac|b，令a1，c2，b3.则|a|1，|b|c|5，|a|b|c|成立|c|2，|a|b|4，|c|a|b|成立|c|a|2|1|1，b|c|a|成立故b|a|c|不成立答案：D二、填空题5已知p，q，xR，pq0，x0，则_2.(填不等关系符号)解析：当p，q至少有一个为0时，2，当pq>0时，p，q同号，则px与同号，|px|2，故2.答案：6(重庆高考)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_解析：|2x1|x2|0，当且仅当x时取等号，因此函数y|2x1|x2|的最小值是.所以a2a2，即2a2a10，解得1a，即实数a的取值范围是.答案：7不等式log3(|x4|x5|)>a对于一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由绝对值的几何意义知：|x4|x5|9，则log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)>a对于一切xR恒成立，则需a<2.答案：(，2)8设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m0，使|f(x)|m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数给出下列函数：f(x)0；f(x)x2；f(x)(sin xcos x)；f(x)；f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|.其中是F函数的序号是_解析：由|f(x)|m|x|，当x0时，知m，对于，有0，x0，故取m0即可；对于，由|x2|x|2，|x|，无最大值；对于，由f(x)2sin，而无最大值；对于，由，x0，只要取m即可；对于，令x20，x1x ，由f(0)0，知|f(x)|2|x|.答案：三、解答题9已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.10设a，bR，求证：.证明：法一：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，(*)又，.又由(*)式可知.综上可知.法二：若ab0或ab0，不等式显然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，011.即0.取倒数得，又由法一知，原不等式成立法三：|a|b|ab|，|a|b|(|a|b|)·|ab|ab|(|a|b|)·|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|)两边同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立法四：构造函数f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上为增函数又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所证不等式成立11已知|x12|<1，|x22|<1.(1)求证：2<x1x2<6，|x1x2|<2.(2)若f(x)x2x1，x1x2，求证：|x1x2|<|f(x1)f(x2)|<5|x1x2|.证明：(1)|x12|<1，|x22|<1，21<x1<21,21<x2<21，即1<x1<3,1<x2<3，2<x1x2<6，|x1x2|(x12)(x22)|x12|x22|<112，即|x1x2|<2.(2)f(x)x2x1，|f(x1)f(x2)|xx1xx2|(x1x2)(x1x21)|x1x2|x1x21|.由(1)知2<x1x2<6，|x1x2|>0，|x1x2|<|x1x2|x1x21|<5|x1x2|，即|x1x2|<|f(x1)f(x2)|<5|x1x2|.