2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义:第一章 1.4 绝对值的三角不等式 Word版含解析.doc
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1、14绝对值的三角不等式读教材填要点绝对值的三角不等式(1)定理1:若a,b为实数,则|ab|a|b|.当且仅当ab0时,等号成立(2)定理2:设a,b,c为实数,则|ac|ab|bc|,等号成立(ab)(bc)0,即b落在a,c之间推论1:|a|b|ab|推论2:|a|b|ab|小问题大思维1|ab|与|a|b|,|ab|与|a|b|及|a|b|分别具有什么关系? 提示:|a|b|ab|,|a|b|ab|a|b|.2不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么?提示:不等式|a|b|ab|a|b|,右侧“”成立的条件是ab0,左侧“”成立的条件是ab0,且|a|b|;不等式|a|b
2、|ab|a|b|,右侧“”成立的条件是ab0,左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.3绝对值不等式|ac|ab|bc|的几何解释是什么?提示:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|AC|AB|BC|;当点B不在点A,C之间时,|AC|AB|BC|.绝对值的三角不等式的应用例1(1)以下四个命题:若a,bR,则|ab|2|a|ab|;若|ab|1,则|a|b|1;若|x|2,|y|3,则|;若AB0,则lg( lg|A|lg|B|)其中正确的命题有()A4个B3个C2个 D1个(2)不等式1成立的充要条件是_思路点拨本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要
3、条件等问题解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证;解答问题(2)应分|a|b|与|a|b|时,有|a|b|0,|ab|a|b|a|b|.必有1.即|a|b|是1成立的充分条件当1时,由|ab|0,必有|a|b|0.即|a|b|,故|a|b|是1成立的必要条件故所求为:|a|b|.答案(1)A(2)|a|b|(1)绝对值的三角不等式:|a|b|ab|a|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边(2)对|a|b|ab|a|b|的诠释:定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|b|可能是负的中间部分中间部分为|ab
4、|时,ab0,且|a|b|时,左边的等号成立;中间部分为|ab|时,ab0,且|a|b|时,左边等号成立中间部分|ab|肯定是非负的左端右端用“”连接时,ab0,右端取等号,ab0,且|a|b|时,左端取等号;用“”连接时,ab0,且|a|b|时,左端取等号,ab0,右端取等号右端|a|b|是非负的中间部分中间部分为|ab|时,ab0,等号成立;中间部分为|ab|时,ab0,等号成立.1(1)若x5,nN,则下列不等式:|xlg|5|lg|;|x|lg5lg;xlg5|lg|;|x|lg5|lg|.其中,能够成立的有_(2)已知|a|b|,m,n,则m,n之间的大小关系是()Amn BmnCm
5、n Dmn解析:(1)01.lg0.由x5,并不能确定|x|与5的关系,可以否定,而|x|lg0,成立(2)|a|b|ab|a|b|,m1,n1.m1n.答案:(1)(2)D利用绝对值的三角不等式证明不等式例2已知a,bR且a0,求证:.思路点拨本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉绝对值符号较困难从所证的不等式可以看出,不等式的左边为非负值,而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正,这时不等式显然成立;当不等式右边为正值时,有|a|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手,结合作差比较法,可以使问题得以解决精解详析若|a|b|,左边.,.左边右边若|a|0,右边0,|xa|,|yb|,求
6、证:|(xy)(ab)|2.(2)设f(x)x2x13,实数a满足|xa|1,求证:|f(x)f(a)|2(|a|1)证明:(1)|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|.|xa|,|yb|,|xa|yb|2.由得:|(xy)(ab)|2.(2)f(x)x2x13,|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|.又|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1),|f(x)f(a)|2(|a|1).利用绝对值的三角不等式求最值例3已知a,bR,且|ab1|1,|a2b4|4.求|a|b|的最大值思路点拨本题考查绝对值三角不等式的应用解答本题可先求出|ab|,|
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