1、毕业设计论文任务书班级学生姓名学号发题日期：年月日完成日期：月日题目状态观测与反响控制器的设计与仿真1、本论文的目的与意义门）学习并掌握现代控制理论中状态观测与状态反响的根本原理,学习控制器的设计方法,在此根底上设计计算机程序，以实现状态观测和反响控制器设计的自动化,并对典型控制系统的运行进行仿真。（2）进一步深入理解状态反响、状态观测器的工作原理和设计方法，熟练程序设计和控制系统的仿真，进一步稳固所学，提高综合应用的能力。2、学生应完成的任务（1）收集有关现代控制理论、反响控制器设计和MArLAB控制系统仿真方面的资料，完成英文翻译。（2）学习掌握状态反响、状态观测器的工作原理及其控制器的设
2、计方法。（3）熟悉MATLAB程序设计及SimUlink仿真。（4）设计MATLAB程序及GUl界面，给定被控对象的数学模型，实现控制器分析与设计的自动化，自动生成反响控制器模型。（5）设计MArLAB程序及GUl界面，把所设计控制器代入控制系统，进行系统运行的计算机仿真。程序的调试。16）完成具有规定格式的设计说明书（不少于15000字）一份。3、论文各局部内容及时间分配：（共15周）第一局部查阅、搜集相关资料，参考学习，并完成外文翻译。（2周）第二局部学习掌握根本知识、方法和原理，并完成论文总体内容设计。（3周）第三局部设计并调试计算机程序，实现典型数字控制器分析与设计的自动化。（3周）第
3、四局部设计并调试仿真程序，实现典型控制系统运行的仿真。（3周）第五局部设计说明书、整理等工作（2周）评阅及辩论(2周)备注指导教师：年月日审批人：年月日摘要现代控制理论是建立在状态空间法根底上的一种自动控制理论。状态反响是表达现代控制理论特色的一种控制方式。然而，在实际系统中，或者因为不易直接测量，或者因为测量设备在经济性和使用性上的限制，进行状态反响往往很困难。解决上述问题的根本途径就是进行状态重构，即设计状态观测器，利用重构状态取代真实状态进行状态反响。学习并掌握现代控制理论中状态观测与状态反响的根本原理，利用MATLAB软件强大的数值计算能力和数据可视化能力，在MATLAB平台下开发图形
4、用户界面(GraphicalUserInterfaces,GUI),演示其常用控件的使用方法。将图形用户界面用于系统控制器的设计，通过M文件的函数调用到达数据的输入和输出，实现数据文件的读取和处理，最终完成状态观测和反响控制器设计的自动化。该控制器人机交互性好，能对相关知识点进行实时、动态可视化分析计算仿真，在教学、实验和工程中具有较强的应用价值。针对多输入多输出的倒立摆系统平衡控制，利用牛顿欧拉方程建立直线式一级倒立摆系统的数学模型，利用拉格朗日法建立旋转式一级倒立摆系统的数学模型，并分别采用极点配置法和LQR(LinearQuadraticRegUlator)方法来设计用于上述两种一级倒立
5、摆系统的控制器，借助于MATLAB仿真，证明了上述两种控制器的有效性。关键词：状态反响；状态观测；极点配置；倒立摆应用；MATLAB设计AbstractModernControlTheorybasedonstatespaceequationisabranchofautomationtheory.Statefeedbackisacontrolmethodwhichembodiesthecharacteristicsofmoderncontroltheory.However,inpracticalsystem,statefeedbackishardtocarryoutforsomereasons,
6、suchasdifficultyofmeasuring,orlimitationofmeasuringequipmentsoneconomyanduse.Thebasicwayofsolvingproblemsaboveisrebuildingstate,thatistosay,hereWedesignstateobserver,andusethestaterebuilttoreplacethetruestatetoworkoutstatefeedback.Afteracquiringthefundamentalsofstateobservationandstatefeedbackinmode
7、rncontroltheory,takingadvantageoffantasticabilityofnumericalcalculationandvisualization,anddisplayingthecommoncontrollers*use.GUIisusedtodesignthesystemcontroller.WeusethefunctionsinM-filetoachieveinputandoutputsofdata,aimedatloadingandprocessingofthedatafiles,andfinallycompletetheautomationofstateo
8、bservationandstatefeedback.Thecontrollercananalyze,calculateandsimulatemanyrelatedknowledgepointssimultaneously,dynamicallyandvisibly,whichhasfineman-machineinteractionandahighvalueinteachings,experimentsandengineers.Inthispaper,onthepointofbalancecontrolofMIMOinvertedpendulumsystem,twomathematicalm
9、odelsareestablishedforlinearandrotational1-stageofinvertedpendulumsystembyNewton-Euler,sequationandLagrangeTheory,respectively.ThispaperbasesonthestatefeedbackpoleassignmentmethodandLQR,presentscontrollersfortwoabovesystems,andfinallyshowsthepositiveeffectOfcontrollersbyusingSimulationofMATLAB.Keywo
10、rdsjstatefeedback;stateobservation;poleplacement;applicationofinvertedpendulum;designwithMATLAB目录第1章绪论I1.1 控制理论的产生及其开展11.2 本论文的选题意义及主要内容31.2.1本论文的选题意义31.2.2本论文的主要内容4第2章基于状态空间模型的系统分析与设计52.1线性系统的状态空间描述52.1.1根本定义52.L2状态空间表达式52.L3线性变换62.2线性系统的能控性与能观性72. 2.1能控性的定义及判据73. 2.2能观性的定义及判据84. 2.3对偶原理92.3 状态反响与极
11、点配置92. 3.1状态反响的定义及其性质9关于极点配置的定理10关于极点配置的方法102.4 状态观测器的设计112.4.1状态重构问题112.4.2全维状态观测器的设计112.4.3降维状态观测器的设计132.5 线性二次型最优控制问题142. 5.1无限时间状态调节器问题143. 5.2无限时间输出调节器问题154. 5.3最优跟踪问题162.6 本章小结17第3章反响控制器与状态观测器的程序设计法183.1程序设计软件简介18MATLAB简介18GUlDE简介183. 1.3Simulink简介183.2 程序总体设计流程图183.3 反响控制器的MATLAB设计法203. 3.1反响
12、控制器的流程图设计204. 3.2反响控制器的功能设计205. 3.3反响控制器的GUI界面设计223.4 状态观测器的MATLAB设计法283. 4.1状态观测器的流程图设计284. 4.2状态观测器的功能设计285. 4.3状态观测器的GUl界面设计303.5 本章小结33第4章反响控制器与状态观测器设计举例344.1 系统能控性与能观性判断举例341 .1.1系统能控性判断举例344 .1.2系统能观性判断举例354.2 闭环系统极点配置举例374. 2.1单输入系统极点配置举例375. 2.2多输入系统极点配置举例394.3 状态观测器设计举例414. 3.1全维状态观测器设计举例41
13、4. 3.2降维状态观测器设计举例434.4线性二次型最优控制举例454.5本章小结47第5章反响控制器与状态观测器应用举例485.1引言485.2直线式一级倒立摆系统的平衡控制485. 2.1数学模型的建立485. 2.2利用极点配置法设计控制器495. 2.3利用LQR法设计控制器525.3 旋转式一级倒立摆系统的平衡控制555. 3.1数学模型的建立556. 3.2利用极点配置法设计控制器577. 3.3利用LQR法设计控制器605.4 本章小结61结论62致谢63参考文献64附录1参数输入检查的MATLAB程序66附录2系统能控性判断的MATLAB程序67附录3极点配置控制器设计的MA
14、TLAB程序68附录4LQR最优控制器设计的MATLAB程序69附录5系统能观性判断的MATLAB程序70附录6全维观测器设计的MATLAB程序71附录7降维观测器设计的MATLAB程序72第1章绪论1.1控制理论的产生及其开展人类创造具有“自动”功能的装置的历史，可以追溯到公元前1411世纪在中国、古埃及和古巴比伦出现的自动计时漏壶。公元前4世纪，古希腊学者柏拉图首先使用了“控制论”一词。但比拟自觉运用反响原理进行设计并取得成功应用的是英国科学家瓦特于1788年创造的蒸汽机离心式飞锤调速器。后来，英国学者麦克斯韦于1868年发表了“论调速器”一文，对调速器的稳定性进行了分析，指出控制系统的品
15、质可用微分方程来描述，系统的稳定性可用特征方程根的位置和形式来研究。1875年英国学者劳斯和1895年德国学者赫尔维茨先后提出了根据代数方程的系数来判别系统稳定性的准那么。1892年俄国学者李雅普诺夫出版了专著论运动稳定性的一般问题，提出了用李雅普诺夫函数的正定性及其导数的负定性来判别系统稳定性的准那么，从而建立了动力学系统的一般稳定性理论。1932年美籍瑞典科学家奈奎斯特提出了根据频率响应判断反响系统稳定性的准那么,即奈奎斯特判据。1938年，前苏联学者米哈伊洛夫提出了用图解分析方法判别系统稳定性的准那么，从而把奈奎斯特判据推广到条件稳定和开环不稳定系统的一般情况。1948年美国著名科学家维
16、纳出版了专著控制论一关于在动物和机器中控制和通信的科学，系统地论述了控制理论的一般原理和方法，推广了反响的概念，为控制理论学科的开展奠定了根底。该书的出版标志着控制学科的诞生。1954年，我国著名科学家钱学森在美国出版了工程控制论一书，书中所说明的根本理论和观点，奠定了工程控制论的根底。随着科学技术的进步，特别是计算机技术的开展，控制理论日渐成熟，对促进生产开展和社会进步产生了深远影响。就其开展过程而言，大体可分为三个阶段。（1）“经典控制理论”时期（20世纪3050年代）。经典控制理论主要是解决单变量控制系统的分析与设计，研究的对象主要是线性定常系统。它以拉氏变换为数学工具，采用以传递函数、
17、频率特性和根轨迹等为根底的经典频域方法研究系统。对于非线性系统，除了线性化及渐近展开计算以外,主要采用相平面分析和谐波平衡法（即描述函数法）研究。这一时期的主要代表人物除了奈奎斯特等人以外，还有美国学者伯德和埃文斯。伯德于1945年出版了网络分析和反响放大器设计一书，提出频率响应分析方法，即简便而实用的伯德图法。埃文斯于1948年提出了直观而简便的图解分析法，即根轨迹法，在控制工程上得到了广泛应用。经典控制理论能够较好地解决单输入单输出反响控制系统的问题，但它也具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统和多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。(2) “现代控制理论”时期(20世纪5
18、070年代)。这个时期由于计算机技术和航空航天技术的迅速开展，控制理论有了重大的突破和创新。它所研究的对象不再局限于单变量的、线性的、定常的、连续的系统，而扩展为多变量的、非线性的、时变的、离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间分析法为根底，以此来分析和设计控制系统。所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和设计系统的目的是在揭示其内在规律的根底上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再局限于单纯的闭环形式。这一时期的主要代表人物有美国的贝尔曼、前苏联的庞特里亚金和美籍
19、匈牙利人卡尔曼等。贝尔曼于1956年发表了“动态规划理论在控制过程中的应用”一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。1958年，卡尔曼提出了递推估计的自动优化控制原理，奠定了自校正控制器的根底；1960年，他发表了“控制系统的一般理论”等论文，引入状态空间法分析系统，提出能控性、能观性、最优调节器和卡尔曼滤波等概念。两年后，卡尔曼等人又提出了最优控制反问题，并得到假设干有关鲁棒性的结果。这些理论构造了现代控制理论的框架。1961年，庞特里亚金的最优过程的数学理论一书正式出版，证明了极大值原理，使得最优控制理论得到了极大开展。值得一提的是，瑞典学者阿斯特朗姆于1967年提出了最小二乘辨识，解决了线
20、性定常系统的参数估计问题和定阶方法，他和法国的朗道教授等人在自适应控制理论和应用方面也做出了奉献。1970年，英国学者罗森布洛克等人提出多变量频域控制理论，丰富了现代控制理论领域。(3) “大系统理论”和“智能控制理论”等时期(20世纪70年代至今)。前者是控制理论在广度上的开拓，后者是控制理论在深度上的挖掘。”大系统理论”主要是解决大型工程和社会经济系统中信息处理、可靠性控制等综合优化的设计问题，原有的理论方法遇到了本质困难，大系统理论的开展逐渐转向“复杂系统”概念。钱学森把系统的研究拓广到“开放的复杂巨系统”范畴，于1990年提出“从定性到定量的综合集成法”的处理开放的复杂巨系统的研究方法
21、智能控制理论”是通过研究与模拟人类活动的机理，研究具有仿人智能的工程控制和信息处理问题。它所采用的理论方法主要来自自动控制理论、人工智能、模糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。主要代表人物有美国扎德教授，他于1965年创立了模糊集理论，为解决复杂系统的控制提供了新的数学工具。1968年，美籍华人傅京孙教授和桑托斯等人提出用模糊神经元概念研究复杂大系统行为，正式提出了智能控制就是人工智能技术与控制理论的交叉，并创立了人一机交互式分级递阶智能控制的系统结构。1.2本论文的选题意义及主要内容1.2.1 本论文的选题意义无论是在经典控制理论,还是在现代控制理论中，反响都是系统设计的主要方式。由于经
22、典控制理论是用传递函数来描述系统的，因此，只能从输出引出信号作为反响量。而现代控制理论是用系统内部的状态来描述系统的，所以除了输出反响外，还可以从系统的状态引出信号作为反响量。通过大量实例验算，人们发现状态变量能够更加全面地反映系统的内部特性，状态反响比传统的输出反响能更有效地改善控制系统的性能。故状态反响是表达现代控制理论特色的一种控制方式。然而，在实际系统中，状态变量或者因为不易直接测量，或者因为测量设备在经济性和使用性上的限制，进行状态反响往往很困难。这也就导致了性能上的不可替代性和物理上的不可实现性相矛盾。为此，从20世纪60年代起，为了对控制系统实现状态反响，D.G.吕恩伯格、R.W
23、巴斯和J.E.贝特朗等人提出了状态观测器的概念和构造方法，通过状态重构的途径解决了状态不能直接量测的问题。状态观测器的出现，不但为状态反响的技术实现提供了现实可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用。现在，随着状态观测器理论和状态估计方法的开展，特别是卡尔曼滤波法的出现，在很多情况下已不难获得状态变量的良好实时估计值，状态反响方法已进入了实用阶段。本论文是作者学习了现代控制理论中状态观测、状态反响与最优控制的根本原理后，在MATLAB平台下开发出图形用户界面，并将图形用户界面用于系统控制器的设计，完成状态观测和反响控制器设计的自动化。该界面人机交互性好，能对相关知识点进行实时、动态可
24、视化分析计算仿真，在教学、实验和工程中具有较强的应用价值。1.2.2 本论文的主要内容D能控性与能观性判断在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的根本概念,它们刻画了系统的结构性质，分析和设计一个控制系统时，必须研究这个系统的能控性和能观性。本论文翔实介绍了系统能控性与能观性的定义，并在众多判断系统能控性与能观性的判据，诸如格拉姆矩阵判据、基于状态转移矩阵的判据、基于系统参数矩阵的判据和能控观）矩阵判据中择优选取了适于用MATLAB语言实现的判据，并开发出相应的GUI界面，以此来自动判断给定系统的能控性与能观性。2）闭环系统的极点配置控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此，
25、在系统设计中，通常是根据对系统的品质要求，规定闭环系统极点应有的分布情况。本论文在完成系统能控性判断，并得出系统能控的结论后，精心设计了闭环系统的极点配置，即利用MATLAB语言自动求取适宜的反响矩阵K,并设计恰当的反响控制律，使之动态显示在所设计的GUI界面里，从而将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得给定系统所期望的动态性能。3）状态观测器的设计状态观测器的本质就是通过重构系统的状态来实现系统的状态反响，从而使系统稳定并满足一定的性能指标。本论文在完成系统能观性判断，并得出系统能观的结论后，在MATLAB环境下根据给定数据分别自动生成了全维状态观测器或降维状态观测器的模型，
26、并动态显示在相配套的GUI界面里，从而完成了状态观测与反响控制器设计的自动化。4）线性二次型最优控制线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题，其最优解可以写成统一的解析表达式，所得到的最优控制律是状态变量的反响形式，便于计算和工程实现。本论文所研究的线性二次型最优控制问题，就是当给定最优性能指标时，利用MATLAB语言自动求解最优控制器，并动态显示在相配套的GUl界面里，结果一目了然，明晰可见。第2章基于状态空间模型的系统分析与设计2.1 线性系统的状态空间描述2.1.1 根本定义定义2.1系统过去、现在和将来的状况称为系统的状态。定义2.2在描述对象运动的所有变量中
27、能完全确定系统状态的最小一组变量Xi(t),%2)，n)，称为系统的状态变量。定义2.3假设一个系统有n个状态变量：x1(t),x2(0n(t),用这几个状态变量作为分量所构成的向量x(t),称为该系统的状态向量。定义2.4以状态空间变量.),x2(t),Xna)为坐标所构成的n维空间，称为状态空间。定义2.5描述系统状态变量与系统输入变量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。定义2.6描述系统输出变量与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式，称为系统的输出方程。定义2.7状态方程和输出方程综合起来，构成对一个系统动态行为的完整描述,称为系统的状态空间表达式。2.1.2 状态空间表达
28、式一般地，对于实际控制系统具有I个输入变量和m个输出变量时，系统的状态空间表达式为x(t)=(t)x(t)+S(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)(2-1)式中工)为n维状态向量，而输入和输出分别用I维向量()和m维向量y(t)表示%(t) =u(t) =WlW 的y(t)=力(如 丫2)(OJL(0J的1a21a12a22a2naIla21a12a22a a2l的211a12Ql厂C=a21电202n,D=a21a22a2l.amlam2amn.amlam2aml.矩阵4表示了系统内部状态变量之间的联系，取决于被控系统的作用机理、结构和各项参数，称之为系数矩阵；矩阵B表
29、示各个输入变量如何控制状态变量，称之为控制矩阵；矩阵C表示输出变量如何反映状态变量，称之为输出矩阵；矩阵。表示输入对输出的直接作用，称之为直馈矩阵当输入变量()和输出变量y(t)都是标量，且矩阵的元素都是常数时，系统(2-1)称为线性定常系统，其状态空间表达式为X=Ax+Buy=Cx+Du(2-2)2. 1.3线性变换1)系统状态的线性变换如果=%X2XnF是一组由几个状态变量构成的Tl维状态向量，那么与，x2,，n的线性组合为，为，身也完全可以作为一组新的状态变量，构成新的状态向量元=氏1x2xn,只要这种组合是一一对应的关系，即这两组状态变量之间存在着非奇异线性变换关系。X=Px或X=P1
30、x(2-3)其中P是TlXZl阶非奇异变换矩阵，这里PllP12PlnD_P12P22P2n1一PnlVnlPnn.这种唯一的对应关系，说明尽管状态变量选取不同，所得的状态空间表达式也不同，但状态向量和元都是对同一系统动态行为的描述。定义2.8如果状态向量和元之间存在着非奇异线性变换，那么称这种变换为状态的线性变换或等价变换。2)状态变换前后系统的不变性系统的状态变换既然是状态空间的坐标变换，选择不同的状态变量去描述系统的行为，其状态空间表达式是不相同的，但这只不过是数学描述形式的不同，系统的本质及其根本特性不会因描述形式的不同而有所改变。因此，我们可以得出如下结论:(1)状态变换不改变系统的
31、特征方程和特征值；(2)状态变换不改变系统的传递函数矩阵方程。2.2线性系统的能控性与能观性2.2.1能控性的定义及判据考虑线性时变系统的状态方程x(t)=i4(t)x(t)+BQ)U(),tt0,tf(2-4)其中，()为几维状态向量，”(t)为，维输入向量；为自定义时间区间；4(。为mm阶系数矩阵,8为几XZ阶控制矩阵。定义2.9对于线性时变系统(2-4),如果对取定初始时刻C%W的一个非零初始状态假设存在某一时刻t/和一个无约束的容许控制),使得系统在这个控制的作用下，系统由出出发的运动轨迹经过时间后由勺转移到X(W=0,那么称此&是系统在to时刻的一个能控状态。定义2.10对于线性时变
32、系统(2-4),如果初始时刻为零初始状态双曲)=0,假设存在某一时刻Cf和一个无约束的容许控制u(t),使得系统在这个控制的作用下，系统由出发的运动轨迹经过时间/-%后由零初始状态转移到状态空间任意一点式丐)=X,那么称此系统是一个完全能达系统，简称能达系统。定义2.11对于线性时变系统(2-4),如果状态空间中的所有非零状态都是在功时刻的能控状态，那么称系统(2-4)在时刻”是完全能控的。如果对于任何t%，系统均是在C时刻为能控的，那么称系统(2-4)在区间%切上是完全能控的。定义2.12对于线性时变系统(2-4),取定初始时刻玲，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t是不能控，那么称
33、系统(2-4)在时刻t是不完全能控的。定理2-1线性时变系统(2-4)在琳时刻完全能控的充分必要条件是存在某个有限时刻匕1(),使得格拉姆(Gram)矩阵%。1，无)=f0(tv)F()Br()0(t1,)djt0是正定的。当矩阵4)和B(C)为定常时，系统(2-4)化为X=i4x(t)+Bu(t),x(t0)=0，t片(2-5)定理2-2线性定常系统(2-5)能控的充分必要条件是rankBABAn-1B=n(2-6)MATLAB中的Ctrb函数可以根据动态系统生成系统的能控性矩阵Qc,调用格式为:Qc=ctrb(l,F)o2.2.2能观性的定义及判据考虑线性时变系统在零输入下的状态方程和输出
34、方程文(t)=i4(t)x(t),x(t0)=&,tW%5y(t)=C(t)x(t)(2-7)定义2.13对于线性时变系统(2-7),如果对取定初始时刻的一个非零初始状态%o,假设存在一个有限时刻q%,切，使得由区间上的系统输出y(t)可以唯一地确定系统的初始状态那么称此/在时刻玲为能观的。定义2.14对于线性时变系统(2-7),取定初始时刻M%W及其一个非零初始状态如果对于任何有限时刻t%tf,口玲，均有y(t)=0,那么称此现在时刻to为不能观的。定义2.15对于线性时变系统(2-7),如果状态空间中的所有状态都是时刻功的能观状态，那么称系统(2-7)在时刻是完全能观的。如果对于任何t&7
35、2，系统均是在玲时刻为能观的，那么称系统(2-7)在区间A，上是完全能观的。定义2.16对于线性时变系统(2-7),取定初始时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻曲是不能观的，那么称系统(2-7)在时刻Co是不完全能观的。定理2-3线性时变系统(2-7)在时刻完全能观的充分必要条件是存在某个有限时刻”to，使得格拉姆(Gram)矩阵%Qi，o)=0r(,to)C()C()0(tt0)d是正定的。当矩阵4)和C(C)为定常时，系统(2-7)化为文Q)=Ax(V),%(t0)=与其E%，tfy(t)=Cx(C)(2-8)定理2-4线性定常系统(2-8)能观的充分必要条件是-C-rankP=
36、n(2-9)-Cyin-1-MATLAB中的ObSV函数可以根据动态系统生成系统的能观性矩阵Q。，调用格式为:Q0=obsv(4,C)o2.2.3对偶原理假设系统1的状态空间表达式为x1(t)=lx1(t)+BUl(C)%(t)=Cx1(0假设系统2的状态空间表达式为%2(0=+CtU2(0%=称系统1和2互为对偶的，即系统2是系统1的对偶系统，反之，系统1是系统2的对偶系统。定理2-5系统1状态完全能控的充要条件是其对偶系统2的状态完全能观；系统1状态完全能观的充要条件是其对偶系统2的状态完全能控。2.3状态反响与极点配置2.3.1状态反响的定义及其性质假设线性连续定常系统的状态空间表达式为
37、X=Ax-Buy=Cx+Du(2-10)假设在系统中引入状态反响控制律U=Lv-Kx(2-11)这里的“为/维控制输入量，K为反九阶的状态反响增益矩阵，它是实常数矩阵，L为伙，为非奇异实常数矩阵，称为输入变换矩阵。通常我们称式(2-11)的反响控制律为线性状态反响，简称状态反响。将式(2-11)代入原系统(2-10)后得到闭环系统的状态空间表达式为x=(A-BK)X+BLvy=(C-DC)xDLv(2-12)定理2-6状态反响不改变受控系统(2-10)的能控性，但却不一定能保持系统的能观性。2.3.2关于极点配置的定理定理2-7设系统的状态空间表达式为式(2-10),通过状态反响IZ=-Kx+
38、u能使其闭环极点位于预先任意指定位置上的充分必要条件是系统(2-10)为完全能控的。2.3.3关于极点配置的方法设给定能控系统(2T0)和一组在复共物成对出现情况下的闭环期望特征值福法,第,求1Xn的实向量K,使得矩阵(A-BK)的特征值为给定的羽,电,7。(1)求A的特征多项式det(s-4)=sn+a1sn1+QnTS+an(2)求闭环系统的期望特征多项式(Ss-入之)(Sl)=s+a；SnT+编一IS+QA(3)计算K=fl11Qnn-11-(4)计算-册-1Ql1Q=田AB.A-BJ.：j100-(5)令P=QT(6)求得K=官P在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有
39、acker。和PIaCe()。在给定系统矩阵4B和期望极点配置P的情况下，其调用格式为K=acker(4B,P)或K=PIaCeG4,B,P)其中acker()函数可以求解多重极点的配置，但只能用于单输入系统；PlaCe()函数可用于单输入或多输入系统，但不能求解多重极点配置的问题2.4状态观测器的设计2.4.1状态重构问题定理2-8设给定九维线性定常系统X=Ax+Bu,x(t0)=X0y=Cx(2-13)假设此系统是状态完全能观的，那么状态向量(t)可以由输入和输出的相应信息构造出来。2.4. 2全维状态观测器的设计考虑完全能观的线性定常系统(4B,C),我们构造一个与原系统结构完全相同的系
40、统作为原系统的状态观测器*,如图2T,其状态空间表达式为X=Ax+Buy=Cx(2-14)由于式(2-14)与式(2-13)中各矩阵和输入相同，从所构造的这一装置当然可以直接测量以力=%)。这样的装置称为开环状态观测器。原系统和估计器具有相同的初始状态，并在同一输入信号的驱动下，那么对于所有的t0,估计器的输出以。将等于真实的状态无)。尽管如此，这种开环状态估计器是不能付诸实用的，因为它存在如下的缺点：(1)每使用一次，都必须重新确定原系统的初始时刻并对估计器实施设置，这是极其不方便也是不现实的。(2)假设矩阵A具有正实部的特征值，那么在某时刻，由于干扰或初始状态估计不精确而导致宠(7)和%(
41、片)之间有稍许偏差，就会随着时间的推移，乳力与x(t)之间的偏差值将会越来越大，以致到达无穷大。因此，我们充分利用系统(2-13)的输入工)和输出y),构造成如图2-2所示的闭环全维状态观测器。图2-1开环全维状态观测器图2-2闭环全维状态观测器根据图2-2不难写出闭环全维状态观测器的状态方程为=(-EC)父+Bu+Ey(2-15)因为由式(2-15)所表述的动态系统(即状态观测器)所得到的穴t)是和Xa)的维数相同的，故称它为全维状态观测器。不难发现，全维状态观测器是有两个输入)和y(t)一个输出为状态的估计值宠(。的动态系统。定理2-9假设式(273)的Ti维线性定常系统是状态完全能观的，
42、那么能借助Ti维状态观测器(t)=(A-EC)x(t)+Bu(t)+Ey(t)(2-16)来估计它的状态，其估计误差AM(t)=宠Q)由以下方程所确定(t)=Ol-EC)x(t)并且在复共挽特征值成对出现的情况下，可以通过选择矩阵E来任意配置极点。具体说来,全维状态观测器的设计方法为：(1)导出对偶系统(AT,CB7).(2)指定所要设计的全维状态观测器的一组期望的极点仅；“；,利用极点配置问题的算法，用矩阵对Crl来确定使i(A+CC)=i*i=1,2,.,n成立的反响增益矩阵E。(3)=E,计算矩阵AEC,那么所要设计的全维状态观测器为(2-16)o2.4.3降维状态观测器的设计考虑到受控
43、系统(2-13)的输出y(t)中已包含有状态工)的局部信息，因此在直接利用这局部信息的根底上再构造出维数低于被估计系统的状态观测器，称为降维状态观测器。给定受控系统(2-13),假定4C为能观，C为满秩阵，即rmkC=m,那么降维观测器的最小维数可为几-巾。其设计方法为：(1)选取(nm)XTi阶常数矩阵。，使得nxn矩阵尸=IW为非奇异。(2)计算Q=PT=QiQ2式中Q1Q2nrn,n(n-n)维的矩阵。力12无1 +尻22- -2.-2A11M12M2vA22-m X mtm xy = Um0 Wl = x1 (2-17)(3)确定受控系统(2-13)在非奇异变换元=PX下所得的代数等价
44、系统其中式中R=PB=-1,C=CPT=lm01.B2(nn),(nrn)Xm,(nm)X(几一m)阶矩阵;尻,月2mX(n-m)XI阶矩阵。(4)根据观测器的期望特征值，求出期望特征多项式0(s)。(5)选取(几-小)Xm阶矩阵瓦使得矩阵(兄22-区彳12)稳定或具有系统的稳定特征值，即满足dets-(才22二42)=06)。(6)按照如下形式构成受控系统(2-13)的一个最小维状态观测器Z=(A22EiA12)z(A2IjTA11)+(A22-rEA12)Ey+(2EF1)ux=Qy+Q2(z+Fy)=Q2z+(Ql+Q2E)y(2-18)降维状态观测器的结构图如图2-3所示。图2-3降维
45、状态观测器结构图2. 5线性二次型最优控制问题2.1.1 无限时间状态调节器问题给定完全能控的线性定常系统的状态方程X=Ax+Bu,x(t0)=X0(2-19)以及性能指标J=(：/()QXQ)+u(ty)Ru(t)dt(2-20)其中Q和R均为定常对称正定矩阵。假定(t)不受约束，要求确定最优控制优(t),使性能指标(2-20)到达最小值。这类问题称为无限时间的状态调节器问题。定理2-10对于受控系统(2-19)及其性能指标(2-20),设同网能控,那么存在惟一的最优控制u*(t)=-RTBTPX(t)(2-21)最优性能指标简化为*=x*(to)*(to)(2-22)式中，x*(t0)=%
46、它所对应的最优轨迹是下式的解(力，即x*(t)=A-BR-1BPxt)(2-23)矩阵P为Riccati代数方程的惟一对称正定解。ArP+PA-PBRTBTP+Q=O(2-24)MATLAB控制系统工具箱提供了求无限时间状态调节问题的函数lqr(),其调用格式为K,P,E=lqr(A,B,Q,R)其中，A为系统的系数矩阵，B为系统的输入矩阵，Q,R均为给定的定常对称正定矩阵,K为最优反响增益矩阵，S为对应RiCCati代数方程的惟一正定解P(假设矩阵4-BK是稳定矩阵，那么总有正定解P存在)，E为矩阵A-BK的特征值。2.1.2 无限时间输出调节器问题给定完全能观的线性定常系统的状态方程和输出方程X=Ax+Bu,x(t0)=X0y=Cx(2-25)以及性能指标J=Myt)Qy(t)+u(t)(t)dt(2-26)其中Q为定常半正定对称矩阵，R为定常对称正定矩阵。假定u(t)不受约束，要求确定最优控制优),使性能指标(2-26)到达最小值。这类问题称为无限时间
