初一上数学-有理数-培优讲义..pdf
有理数培优 能力提升 1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规 定了简捷算法有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7） 。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷ 7=（-5 ） 7 1 。 能力提升 2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上， 能根据法则、 公式等正确、 迅速地进行运算不仅如此， 还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合， 灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性 （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂 的问题变得较简单 1 计算： 46.0 25 6 2) 15 8 175.18(47) 1( （2） 4 1 1) 5 4 ()1( ) 2 1 (12)1()2( 219983 2. 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211× 445 3. 计算： S=1-2+3-4+ +(-1)n+1 ·n 4. 在数 1，2，3， 1998 前添符号“ +”和“ -” ，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ （二）用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2) 的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22 这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换 100，用字母b 代换 2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b2=a2-b2 于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算 5 计算3001×2999 的值 6 计算103×97× 10 009 的值 7 计算： 8 计算： (2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 9 计算： 2222 1111 (1)(1)(1)(1) 23910 10. 计算： 1111111111 ()(1)(1)() 2319992199821999 231998 （三）观察算式找规律 11. 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分 87，91，94， 88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89， 92，95，88 12. 计算 1+3+5+7+ +1997+1999 的值 13.算 1+5+5 2+53+599+5100 的值 14.计算： 1111 + 1 22 33 41998 1999 能力提升 3：绝对值 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及 求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些 问题下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即 ,0 |0,0 ,0 aa aa aa 当时 当时 当时 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离 开原点的距离叫这个数的绝对值 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的 绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数 1.a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)a+b=a+b； (2)ab=a b； (3)a-b=b-a； (4)若 a=b，则 a=b； (5)若 a b，则 ab； (6)若 ab，则 a b 2. 设有理数a，b，c 在数轴上的对应点如图1-1 所示，化简b-a+a+c +c-b 3. 已知 x-3，化简： 3+2-1+x 4.若0abc，则 | abc abc 的所有可能值是什么？ 5. 若 x=3， y=2，且 x-y=y-x ，求 x+y 的值 6.若 a，b，c 为整数，且a-b19+c-a99=1，试计算 c-a+a-b+ b-c的值 7.若|3|xy与|1999 |xy互为相反数，求 2xy xy 的值。 8.化简： 3x+1+2x-1 9.已知 y=2x+6 +x-1-4x+1，求 y 的最大值 10.设 abcd，求 x-a+x-b+x-c+ x-d的最小值 11.若 2x+4-5x+1-3x+4 的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值 能力提升 4：数轴有理数比较大小
