k52006年高考第一轮复习数学：14.2导数的应用.pdf

知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 14.2 导数的应用 知识梳理 1.函数的单调性 （1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若 f（ x） 0,则 f（x）为增函数 ;若 f（ x） 0,则 f（x）为减函数 . （2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法. 确定函数f（x）的定义区间 . 求 f（ x） ,令 f（ x） =0,解此方程 ,求出它在定义区间内的一切实根. 把函数 f（x）的间断点即包括f（x）的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小 到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间. 确定 f（ x）在各小开区间内的符号,根据 f（ x）的符号判定函数f（ x）在每个相 应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数 f（x）在点 x 0附近有定义 ,且若对 x0附近所有的点都有 f（x）f（x0） （或 f（ x） f（x0） ）,则称 f（x0）为函数的一个极大（小）值,称 x0为极大（小）值点. （2）求可导函数f（x）极值的步骤 . 求导数 f（ x）. 求方程 f（ x）=0 的根 . 检验 f（x）在方程 f（x）=0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负 ,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正, 那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值. 3.函数的最大值与最小值 （1）设 y=f（ x）是定义在区间a,b上的函数 ,y=f（x）在（ a,b）内有导数 ,求函数 y=f （x）在 a,b上的最大值与最小值,可分两步进行. 求 y=f（x）在（ a,b）内的极值 . 将 y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较 ,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值 . （2）若函数 f（x）在 a,b上单调增加 ,则 f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大 值;若函数 f（a）在 a,b上单调递减 ,则 f（ a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值. 特别提示 我们把使导函数f（ x）取值为0 的点称为函数f（ x）的驻点 ,那么 （1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的. 例如函数y=|x|在点 x=0 处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f（0）根本不存在 , 所以点 x=0 不是 f（x）的驻点 . （2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x 3 的导数是 f（ x）=3x 2,在点 x=0 处有 f（ 0）=0,即点 x=0 是 f（x）=x3 的驻点 ,但从 f（x）在（ , +）上为增函数可知,点 x=0 不是 f（x）的极值点 . 知识就是力量 点击双基 1.（2005 年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是 增函数 A.（ 2 , 2 3 ）B.（,2） C.（ 2 3 , 2 5 ）D.（2,3） 解析： y=（ xsinx+cosx） =sinx+xcosxsinx=xcosx, 当 x（ 2 3 , 2 5 ）时 ,恒有 xcosx0. 答案： C 2.函数 y=1+3xx 3 有 A.极小值 2,极大值 2 B.极小值 2,极大值 3 C.极小值 1,极大值 1 D.极小值 1,极大值 3 解析： y=33x 2 =3（1+x） （1x）. 令 y =0 得 x1=1,x2=1.当 x 1 时,y 0,函数 y=1+3xx 3 是减函数 ;当 1x1 时, y 0,函数 y=1+3xx 3 是增函数 ;当 x1 时,y 0,函数 y=1+3x x 3 是减函数 . 当 x= 1 时 ,函数 y=1+3xx 3 有极小值 1;当 x=1 时,函数 y=1+3xx 3 有极大值3. 答案： D 3.设 f（x）在（ a,b）内有定义， x0（a,b） ，当 xx0时，f（ x） 0;当 xx0时，f（x） 0.则 x0是 A.间断点B.极小值点 C.极大值点D.不一定是极值点 解析 :f（x）在 x0处不一定连续. 答案 :D 4.函数 f（ x）= xx 在（，）上的单调性是_. 解析 :f（ x）=e xex=ex（e2x1）,当 x（ 0,+）时， f（ x） 0. f（x）在（ 0，+）上是增函数. 答案 :增函数 5.若函数 f （x） =x 3 +x 2+mx+1 是 R 上的单调递增函数， 则 m 的取值范围是 _ _. 解析 :f（ x） =3x 2+2x+m.f（x）在 R 上是单调递增函数 , f（ x） 0 在 R 上恒成立， 即 3x 2 +2x+m0. 由=44×3m 0,得 m 3 1 . 答案 :m 3 1 典例剖析 【例 1】求函数 y=342xx的值域 . 剖析 :求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求 知识就是力量 解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解. 解:函数的定义域由 03 042 x x 求得 x 2. 求导得 y= 42 1 x 32 1 x = 3422 4232 xx xx . 由 y 0 得 2 3x 42x , 即 ,42)3(4 03 042 xx x x 解得x 2,即函数y= 42x 3x 在（ 2,+）上是增函 数. 又此函数在x=2 处连续 ,在 2,+）上是增函数，而f（ 2）=1. 函数 y= 42x 3x 的值域是1,+） . 评述 :函数 y=f（x）在（ a,b）上为单调函数，当在a,b上连续时，y=f（x）在 a,b 上也是单调函数. 【例 2】已知 f（ x）=ax 3+bx2+cx（a0）在 x=±1 时取得极值，且 f（1）=1, （1）试求常数a、b、c 的值； （2）试判断x=± 1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由. 剖析 :考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极 值点与导数的关系，即极值点必为f（ x）=0 的根建立起由极值点x=±1 所确定的相关等 式，运用待定系数法确定a、b、c 的值 . （1）解法一 :f（ x） =3ax 2+2bx+c,x=±1 是函数的极值点 , x=±1 是方程 3ax 2 +2bx+c=0 的两根 . 由根与系数的关系知 1 3 ,0 3 2 a c a b 又 f（ 1）=1,a+b+c=1. 由解得a= 2 1 ,b=0,c= 2 3 . 解法二 :由 f（ 1）=f（ 1）=0, 得 3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 知识就是力量 又 f （1） =1,a+b+c=1. 由解得a= 2 1 ,b=0,c= 2 3 . （2）解 :f（x）= 2 1 x 3 2 3 x,f（ x）= 2 3 x 2 2 3 = 2 3 （x1） （x+1） . 当 x 1 或 x1 时,f（ x） 0;当 1x1 时， f（ x） 0. x=1 时， f（x）有极大值； x=1 时,f（x）有极小值 . 【例 3】已知函数 f（x） =2ax 2 1 x ,x（ 0,1 . （1）若 f（x）在 x（ 0,1上是增函数，求a 的取值范围； （2）求 f（x）在区间（ 0,1上的最大值. 剖析 :（1）要使 f（x）在（ 0,1上为增函数，需f（ x） 0,x（ 0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值. 解:（1）由已知可得f（ x） =2a+ 3 2 x ,f（x）在（ 0,1）上是增函数，f（ x） 0, 即 a 3 1 x , x（ 0,1.a 1. 当 a=1 时， f（ x）=2+ 3 2 x 对 x（ 0,1）也有 f（ x） 0，满足 f（x）在（ 0,1 上为增函数， a 1. （2）由（ 1）知 ,当 a 1 时,f（x）在（ 0,1上为增函数 , f（x） max=f（1）=2a1. 当 a 1 时，令 f（ x）=0 得 x= 3 1 a , 0 3 1 a 1,0 x 3 1 a 时,f（ x） 0; 3 1 a x1 时， f（ x） 0.f（x） 在（ 0, 3 1 a ）上是增函数，在（ 3 1 a ,1减函数 . f（x） max=f （ 3 1 a ）=3 32 a. 评述 :求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简 单. 深化拓展 （1）也可用函数单调性的定义求解. 思考讨论 函数 f（x）在区间D 上的极值与最值有什么联系？ 闯关训练 夯实基础 1.下列各式正确的是 知识就是力量 A.x 6 3 x sinx（x0） B.sinx x（x0） C. 2 xsinx（0x 2 ） D.以上各式都不对 解析：令F（x）=xsinx,则 F（x） =1cosx0（当 x0,x2n,n=1,2, ） . 故 F（x）在 x0 时单调递增 .因此当 x0 时,有 F（x） F（0）=0. 答案： B 2.函数 f（ x）=sin（3x 6 ）在点（ 6 , 2 3 ）处的切线方程是 A.3x+2y+3 2 =0 B.3x2y+3 2 =0 C.3x2y3 2 =0 D.3x+2y3 2 =0 解析 :因为 f（ x）=3cos（3x 6 ）,所以所求切线的斜率为f（ 6 ）= 2 3 ,切线方程为 y 2 3 = 2 3 （x 6 ）,即 3x2y+3 2 =0. 答案 :B 3.函数 y=x2x（ x0）的最大值为_. 解析 :y= x2 1 2, 当 0x 16 1 时， y 0,y= x 2x 在（ 0, 16 1 ）上为增函数 . 当 x 16 1 时， y 0, y= x2x 在（ 16 1 ,+）上是减函数. y=x2x 在（ 0,+） 上的最大值为 16 1 16 2 = 8 1 . 答案 : 8 1 4.（2005 年北京东城区模拟题）如果函数y=f（ x）的导函数的图象如下图所示,给出下 列判断 : 知识就是力量 x y 12 3 4 5 -1 -2 -3O 1 - 2 - 函数 y=f（x）在区间（ 3, 2 1 ）内单调递增 ; 函数 y=f（x）在区间（ 2 1 ,3）内单调递减 ; 函数 y=f（x）在区间（ 4,5）内单调递增; 当 x=2 时,函数 y=f（x）有极小值 ; 当 x= 2 1 时,函数 y=f（x）有极大值 . 则上述判断中正确的是_ 解析 :当 x（ 4,5）时 ,恒有 f（ x） 0. 答案 : 5.已知 f（ x）=2ax x b +lnx 在 x=1,x= 2 1 处取得极值 . （1）求 a、b 的值； （2）若对 x 4 1 ,4时， f（x） c 恒成立，求c 的取值范围 . 解:（1） f（ x）=2ax x b +lnx, f（ x）=2a+ 2 x b + x 1 . f（x）在 x=1 与 x= 2 1 处取得极值， f（ 1）=0,f（ 2 1 ）=0, 即 .0242 ,012 ba ba 解得 .1 ,1 b a 所求 a、b 的值分别为1、1. （2）由（ 1）得 f（ x）=2 2 1 x + x 1 = 2 1 x （2x 2+x 1）= 2 1 x （2x1） （x+1）. 当 x 4 1 , 2 1 时， f（ x） 0;当 x 2 1 ,4时， f（ x） 0.f（ 2 1 ）是 f（ x） 在 4 1 ,4上的极小值 .又只有一个极小值， f（x）min=f（ 2 1 ） =3ln2. f（x） c 恒成立， cf（x）min=3ln2. c 的取值范围为c3ln2. 6.（2004 年全国 ,理 19）已知 aR，求函数 f（x）=x 2eax 的单调区间 . 知识就是力量 解:f（ x）=2xe ax+ax2eax=（2x+ax2）eax. 当 a=0 时，若 x0，则 f（ x） 0，若 x0,则 f（ x） 0. 所以当a=0 时，函数f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0，+）内为增 函数 . 当 a0 时，由 2x+ax 20，解得 x a 2 或 x0;由 2x+ax 20,得 a 2 x0. 所以当 a0 时，函数f（x）在区间（， a 2 ）内为增函数，在区间（ a 2 ,0）内 为减函数，在区间（0，+）内为增函数. 当 a0 时，由 2x+ax 20，得 0x a 2 . 由 2x+ax 20，得 x0 或 x a 2 . 所以当 a0 时，函数 f（x）在区间（,0）内为减函数，在区间（0， a 2 ）内为增 函数，在区间（ a 2 ,+）内为减函数. 培养能力 7.已知 xR,求证： e xx+1. 证明 :设 f（x）=e xx1,则 f（ x）=ex1. 当 x=0 时， f（ x）=0,f（x） =0. 当 x0 时， f（ x） 0,f（x）在（ 0,+）上是增函数.f（x）f（ 0）=0. 当 x0 时， f（ x） 0,f（x）在（ ,0）上是减函数，f（x） f（0） =0. 对 xR 都有 f（x） 0.e xx+1. 8.（2004 年全国，文21）若函数 f（x） = 3 1 x 3 2 1 ax 2+（a1）x+1 在区间（ 1,4）内 为减函数，在区间（6，）上为增函数，试求实数a 的取值范围 . 解:函数 f（x）的导数 f（ x）=x 2 ax+a1. 令 f（ x）=0,解得 x=1 或 x=a1. 当 a1 1，即 a2 时，函数 f（x）在（ 1,+）上为增函数，不合题意. 当 a1 1,即 a2 时， 函数 f（ x）在（ ,1）上为增函数， 在（1,a1）内为减函数， 在（ a1,+）上为增函数. 依题意应有 当 x（ 1,4）时， f（ x） 0, 当 x（ 6,+）时， f（ x） 0. 所以 4a16,解得 5a7. 所以 a 的取值范围是5,7. 探究创新 9.已知函数 f（x）的图象与函数h（x）=x+ x 1 +2 的图象关于点A（ 0，1）对称 . （1）求 f（x）的解析式； （2）若 g（x）=f（ x）+ x a ,且 g（x）在区间（ 0，2上为减函数，求实数a 的取值范 围. 知识就是力量 解 :（1）设 f（x）图象上任一点坐标为（x,y） ，点（ x,y）关于点A（0， 1）的对称点 （ x,2 y）在 h（ x）图象上 . 2y=x+ x 1 +2. y=x+ x 1 ,即 f（x）=x+ x 1 . （2）g（x）=x+ x a1 , g（ x）=1 2 1 x a ,g（ x）在（ 0，2上递减， 1 2 1 x a 0 在 x（ 0,2时恒成立 , 即 ax 21 在 x（ 0,2）时恒成立 . x（ 0,2时， （x 21） max=3,a3. 思悟小结 1.函数单调性的充分条件，若f（ x） 0（或 0） ，则 f（x）为增函数（或减函数）. 2.函数单调性的必要条件，设f（x）在（ a,b）内可导，若f（ x）在（ a,b）上单调递增 （或递减），则 f（ x） 0（或 f（ x） 0）且 f（ x）在（ a,b）的任意子区间上都不恒 为零 . 3.可以用单调性求函数的极值、最值. 教师下载中心 教学点睛 利用导数解有关函数的单调性、极值、 最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的 重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单 调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡. 拓展题例 【例题】设函数 y=f（x）=ax 3+bx2+cx+d 图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在P 点处的切 线方程为24x+y12=0, 若函数在x=2 处取得极值16,试求函数解析式,并确定函数的单调递 减区间 . 错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y| p x ,即 y|x=0为已知切线方程的斜率 24.又当 x=2 时有极值 ,且极值为 16,找不到与 a、b、c、d 的关系 ,从而无法求出a、b、c、 d,导致错解 . 正确思路：由y=3ax 2+2bx+c f（ 0） =c, 切线 24x+y12=0 的斜率 k=24, c=24,把 x=0 代入 24x+y 12=0 得 y=12. 得 P 点的坐标为（0,12）,由此得 d=12,f（x）即可写成f（x）=ax 3+bx224x+12. 由函数 f（x）在 x=2 处取得极值16,则得 ,244120 ,364816 ba ba 解得 .3 ,1 b a f（x）=x 3+3x224x+12,f（ x）=3x2 +6x24.令 f（ x） 0,得 4x 2. 递减区间为（4,2）.