k52006年高考第一轮复习数学:14.2导数的应用.pdf
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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 14.2 导数的应用 知识梳理 1.函数的单调性 (1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若 f( x) 0,则 f(x)为增函数 ;若 f( x) 0,则 f(x)为减函数 . (2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法. 确定函数f(x)的定义区间 . 求 f( x) ,令 f( x) =0,解此方程 ,求出它在定义区间内的一切实根. 把函数 f(x)的间断点即包括f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实根按由小 到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间. 确定 f( x)在各小开区间内的符号,根据 f( x)的
2、符号判定函数f( x)在每个相 应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f(x)在点 x 0附近有定义 ,且若对 x0附近所有的点都有 f(x)f(x0) (或 f( x) f(x0) ),则称 f(x0)为函数的一个极大(小)值,称 x0为极大(小)值点. (2)求可导函数f(x)极值的步骤 . 求导数 f( x). 求方程 f( x)=0 的根 . 检验 f(x)在方程 f(x)=0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负 ,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正, 那么函数y=f(x)在这个根处取得极
3、小值. 3.函数的最大值与最小值 (1)设 y=f( x)是定义在区间a,b上的函数 ,y=f(x)在( a,b)内有导数 ,求函数 y=f (x)在 a,b上的最大值与最小值,可分两步进行. 求 y=f(x)在( a,b)内的极值 . 将 y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较 ,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值 . (2)若函数 f(x)在 a,b上单调增加 ,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大 值;若函数 f(a)在 a,b上单调递减 ,则 f( a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 特别提示 我们把使导函数f( x)取值为0 的点称为函数
4、f( x)的驻点 ,那么 (1)可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的. 例如函数y=|x|在点 x=0 处有极小值f(0)=0,可是我们在前面已说明过,f(0)根本不存在 , 所以点 x=0 不是 f(x)的驻点 . (2)可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f(x)=x 3 的导数是 f( x)=3x 2,在点 x=0 处有 f( 0)=0,即点 x=0 是 f(x)=x3 的驻点 ,但从 f(x)在( , +)上为增函数可知,点 x=0 不是 f(x)的极值点 . 知识就是力量 点击双基 1.(2005 年海淀区高三第一学期期末模拟)函数
5、y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是 增函数 A.( 2 , 2 3 )B.(,2) C.( 2 3 , 2 5 )D.(2,3) 解析: y=( xsinx+cosx) =sinx+xcosxsinx=xcosx, 当 x( 2 3 , 2 5 )时 ,恒有 xcosx0. 答案: C 2.函数 y=1+3xx 3 有 A.极小值 2,极大值 2 B.极小值 2,极大值 3 C.极小值 1,极大值 1 D.极小值 1,极大值 3 解析: y=33x 2 =3(1+x) (1x). 令 y =0 得 x1=1,x2=1.当 x 1 时,y 0,函数 y=1+3xx 3 是减函数 ;当
6、1x1 时, y 0,函数 y=1+3xx 3 是增函数 ;当 x1 时,y 0,函数 y=1+3x x 3 是减函数 . 当 x= 1 时 ,函数 y=1+3xx 3 有极小值 1;当 x=1 时,函数 y=1+3xx 3 有极大值3. 答案: D 3.设 f(x)在( a,b)内有定义, x0(a,b) ,当 xx0时,f( x) 0;当 xx0时,f(x) 0.则 x0是 A.间断点B.极小值点 C.极大值点D.不一定是极值点 解析 :f(x)在 x0处不一定连续. 答案 :D 4.函数 f( x)= xx 在(,)上的单调性是_. 解析 :f( x)=e xex=ex(e2x1),当
7、x( 0,+)时, f( x) 0. f(x)在( 0,+)上是增函数. 答案 :增函数 5.若函数 f (x) =x 3 +x 2+mx+1 是 R 上的单调递增函数, 则 m 的取值范围是 _ _. 解析 :f( x) =3x 2+2x+m.f(x)在 R 上是单调递增函数 , f( x) 0 在 R 上恒成立, 即 3x 2 +2x+m0. 由=443m 0,得 m 3 1 . 答案 :m 3 1 典例剖析 【例 1】求函数 y=342xx的值域 . 剖析 :求函数值域是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求 知识就是力量 解,也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式
8、结构复杂,可采用求导的方法求解. 解:函数的定义域由 03 042 x x 求得 x 2. 求导得 y= 42 1 x 32 1 x = 3422 4232 xx xx . 由 y 0 得 2 3x 42x , 即 ,42)3(4 03 042 xx x x 解得x 2,即函数y= 42x 3x 在( 2,+)上是增函 数. 又此函数在x=2 处连续 ,在 2,+)上是增函数,而f( 2)=1. 函数 y= 42x 3x 的值域是1,+) . 评述 :函数 y=f(x)在( a,b)上为单调函数,当在a,b上连续时,y=f(x)在 a,b 上也是单调函数. 【例 2】已知 f( x)=ax 3
9、+bx2+cx(a0)在 x=1 时取得极值,且 f(1)=1, (1)试求常数a、b、c 的值; (2)试判断x= 1 是函数的极大值还是极小值,并说明理由. 剖析 :考查函数f(x)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极 值点与导数的关系,即极值点必为f( x)=0 的根建立起由极值点x=1 所确定的相关等 式,运用待定系数法确定a、b、c 的值 . (1)解法一 :f( x) =3ax 2+2bx+c,x=1 是函数的极值点 , x=1 是方程 3ax 2 +2bx+c=0 的两根 . 由根与系数的关系知 1 3 ,0 3 2 a c a b 又 f( 1)=1,a+b
10、+c=1. 由解得a= 2 1 ,b=0,c= 2 3 . 解法二 :由 f( 1)=f( 1)=0, 得 3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 知识就是力量 又 f (1) =1,a+b+c=1. 由解得a= 2 1 ,b=0,c= 2 3 . (2)解 :f(x)= 2 1 x 3 2 3 x,f( x)= 2 3 x 2 2 3 = 2 3 (x1) (x+1) . 当 x 1 或 x1 时,f( x) 0;当 1x1 时, f( x) 0. x=1 时, f(x)有极大值; x=1 时,f(x)有极小值 . 【例 3】已知函数 f(x) =2ax 2 1 x ,x( 0,1 . (
11、1)若 f(x)在 x( 0,1上是增函数,求a 的取值范围; (2)求 f(x)在区间( 0,1上的最大值. 剖析 :(1)要使 f(x)在( 0,1上为增函数,需f( x) 0,x( 0,1). (2)利用函数的单调性求最大值. 解:(1)由已知可得f( x) =2a+ 3 2 x ,f(x)在( 0,1)上是增函数,f( x) 0, 即 a 3 1 x , x( 0,1.a 1. 当 a=1 时, f( x)=2+ 3 2 x 对 x( 0,1)也有 f( x) 0,满足 f(x)在( 0,1 上为增函数, a 1. (2)由( 1)知 ,当 a 1 时,f(x)在( 0,1上为增函数
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