中档大题保分练(一).pdf
中档大题保分练(一) 1 在 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， m(cos(xB)， cos B)， n cos x， 1 2 ， f(x)m· n，f 3 1 4. (1)求角 B 的值； (2)若 b14，BA · BC 6，求 a 和 c 的值 2 设数列 an的前 n 项和为 Sn，点n，S n n (nN * )均在函数y2x1 的图象上 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 4 anan1， T n是数列 bn的前 n 项和，求证：Tn1. 3 M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14 名男生和6 名女生这20 名 毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分 )，公司规定：成绩在180 分以上者到“甲部 门”工作； 180 分以下者到“乙部门”工作另外只有成绩高于180 分的男生才能担任 “助理工作” (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8 人，再从这8 人中选 3 人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？ (2)若从所有“甲部门”人选中随机选3 人，用 X 表示所选人员中能担任“助理工作” 的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望 4 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， ABCD， ABC 90° ， ABPB PCBC2CD，平面 PBC平面 ABCD. (1)求证： AB平面 PBC； (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小； (3)在棱 PB 上是否存在点M 使得 CM平面 PAD？若存在，求 PM PB 的值；若不存在，请 说明理由 参考答案 1.解(1)f(x)m· ncos x· cos(xB)1 2cos B cos 2xcos Bcos xsin xsin B1 2cos B 1 2(cos 2x· cos Bsin 2x· sin B) 1 2cos(2xB)， f 3 1 4， cos 2 3 B 1 2， 又B 为ABC 的内角， 2 3 B 3即 B 3. (2)由BA · BC 6，及 B 3， 得 ac· cos 36，即 ac12， 在ABC 中，由余弦定理：b2a2c22accos B 得 14a 2c22accos 3， a 2c226，从而 (ac)22ac26，(ac)250， ac5 2. 解方程组 ac12 a c52 ，得 a2 2 c3 2 ，或 a32 c22 . 2. (1)解由条件 Sn n 2n1，即 Sn2n2n. 当 n2 时， anSnSn1 ()2n 2n 2(n1)2(n1)4n 3. 又 n1 时， a1S11 适合上式， 所以 an4n 3(nN *) (2)证明bn 4 anan1 4 4n3 4n1 1 4n3 1 4n1. Tnb1b2b3, bn 11 5 1 5 1 9 1 9 1 13 , 1 4n3 1 4n1 1 1 4n1. nN * ， 1 4n10， 1 1 4n11，即 T n1. 3. 解(1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是 8 20 2 5. 根据茎叶图，有“甲部门 ”人选 10 人， “乙部门 ”人选 10 人， 所以选中的 “ 甲部门 ”人选有 10×2 54 人， “乙部门 ”人选有 10× 2 54 人 用事件 A 表示 “至少有一名甲部门人选被选中”， 则它的对立事件A 表示 “没有一名甲部门人选被选中” ， 则 P(A)1P( A )1 C 3 4 C 3 81 4 56 13 14. 因此，至少有一人是“甲部门 ”人选的概率是 13 14. (2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作 ”的人数 X 的取值分别为0,1,2,3. P(X0) C 0 6C 3 4 C 3 10 1 30， P(X1) C 1 6C 2 4 C 3 10 3 10， P(X2) C 2 6C 1 4 C 3 10 1 2， P(X3) C 3 6C 0 4 C 3 10 1 6， 因此， X 的分布列如下： X 0123 P 1 30 3 10 1 2 1 6 所以 X 的数学期望E(X)0× 1 301× 3 10 2× 1 23× 1 6 9 5. 4. (1)证明因为 ABC90° ， 所以 ABBC. 因为平面 PBC平面 ABCD， 平面 PBC平面 ABCD BC， AB? 平面 ABCD， 所以 AB平面 PBC. (2)解如图，取BC 的中点 O，连接 PO. 因为 PBPC，所以 PO BC. 因为平面 PBC平面 ABCD， 平面 PBC平面 ABCD BC，PO? 平面 PBC， 所以 PO平面 ABCD. 以 O 为原点， OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过 O 垂直 于 BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 不妨设 BC2. 由 AB PBPCBC2CD 可得， P(0,0，3)，D( 1,1,0)，A(1,2,0) 所以 DP (1， 1，3)，DA (2,1,0) 设平面 ADP 的法向量为m(x，y，z) 因为 m· DP 0， m· DA 0， 所以 xy3z0， 2x y0. 令 x 1，则 y2，z3. 所以 m(1,2，3) 取平面 BCP 的一个法向量n(0,1,0) 所以 cosm，n m· n |m| ·|n| 2 2 . 所以平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角 (小于 90° )的大小为 4. (3)解在棱 PB 上存在点 M 使得 CM平面 PAD，此时 PM PB 1 2. 取 AB 的中点 N，连接 CM，CN，MN， 则 MNPA，AN 1 2AB. 因为 AB2CD， 所以 ANCD. 因为 ABCD， 所以四边形ANCD 是平行四边形， 所以 CNAD. 因为 MNCNN， PAADA， 所以平面 MNC平面 PAD. 因为 CM? 平面 MNC， 所以 CM平面 PAD.
