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沪科版七年级数学上册知识总结 第一章有理数 1.1 正数与负数 大于 0 的数叫正数。 在正数前面加上“ -”号的数，叫做负数。 0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等。 正整数、 0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2 数轴 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴 上的点，不都是表示有理数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（例：2 的相反数是 -2；0 的相反数是 0） 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值 ,记作|a|。从几何意义上讲， 数 的绝对值是两点间的距离。（绝对值等于本身的有：正数和0，绝对值等于其相反 数的有：负数和0） 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 两个负数，绝对值大的反而小。 倒数：如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。倒数等于其本身的有1 和-1 1.3 有理数的大小 数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 负数小于零，零小于正数，负数小于正数。 两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。 1.4 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同 0 相加，仍得这个数。 加法的交换律和结合律 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.5 有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0 相乘，都得 0。 乘积是 1 的两个数互为倒数。乘法交换律/结合律 /分配律 有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0。 1.6 有理数的乘方 求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a 的 n 次方中， a 叫做底 数，n 叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是 正数， 0 的任何次幂都是0。（负奇负，负偶正）（如：-2 2= -4，（-2）2 =4 有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 把一个大于 10 的数表示成 10n a的形式，使用的就是科学计数法，注意a 的范围为 1 a 10。 从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数 字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前 四舍五入。比如： 3.5449 精确到 0.01 就是 3.54 而不是 3.55. （再如： 0.0020100 有 5 个有效数字、 2.40 万：精确到百位，有3 个有效数字： 2、4、0；6.5×104 精确到 千位，有 2 个有效数字： 6、5） 第二章整式的加减 2.1 用字母表示数 1、偶数：能被 2 整除的整数叫偶数（如： -4、-2、0、 2、4、） 2、奇数：不能被 2 整除的整数叫做奇数 （如：-5、-3、 -1、1、3、5） 2.2 代数式 1、用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表 示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。（注： 单独一个数字或字母也是代数式） 2、代数式的写法：数学与字母相乘时，“×”号省 略，数字写在字母前；字母与字母相乘时，相同 字母写成幂的形式；数字与数字相乘时，“×” 号不能省略；式中出现除法时，一般写成分数形 式。 3、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一 个数或一个字母也是单项式因此，判断代数式 是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否 是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含 有加、减运算关系，其也不是单项式 单项式的系数：是指单项式中的数字因数； 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的 和 4、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多 项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项 式每个单项式称项，（其中不含字母的项叫常 数项）多项式的次数是指多项式里次数最高项的 次数；多项式的项是指在多项式中每一个单项 式特别注意多项式的项包括它前面的性质符号 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注 意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。 5、单项式和多项式统称为整式。 2.3 整式的加减 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相 同的项。（简称“二同”） 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。 可以运用交换律，结合律和分配律。 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是 合并前各同类项的系数的和，所含字母部分不变， 相同字母的指数不变（称为“两不变”） 字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大） 到大（小）的顺序排列。 如果括号外的因数是正（负）数，去括号后原括 号内各项的符号与原来的符号相同（反）。 第三章一次方程与方程组 3.1 一元一次方程及其解法 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数（元）x，未知 数 x 的指数都是 1（次），这样的整式方程 叫做一元一次方程。 注意判断一个方程是否是一元一次方程要 抓住三点： 1）未知数所在的式子是整式（方程是整 式方程）； 2）化简后方程中只含有一个未知数； 3）经整理后方程中未知数的次数是1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边 相等的未知数的值，这个值就是方程的解。 等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数 或同一个式子 （整式或分式） ，等式不变（结 果仍相等） . 2）等式两边同时乘以或除以同一个不 为零的数，等式不变 . 注意：运用性质时，一定要注意等号两边 都要同时变；运用性质2 时，一定要注意0 这个数 . 解一元一次方程一般步骤： 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍 数）去括号移项合并同类项系数化 1； 以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实 际解方程的过程中， 五个步骤不一定完全用 上，或有些步骤还需要重复使用. 因此，解 方程时，要根据方程的特点， 灵活选择方法 . 在解方程时还要注意以下几点： 去分母，在方程两边都乘以各分母的最小 公倍数，不要漏乘不含分母的项； 分子是 一个整体，去分母后应加上括号； 去分母 与分母化整是两个概念，不能混淆； 去括号遵从先去小括号，再去中括号， 最后去大括号不要漏乘括号的项；不要弄错 符号； 移项 把含有未知数的项移到方程的一 边，其他项都移到方程的另一边（移项要变 符号） 移项要变号； 不要丢项合并同类项，解方程是同解变 形，每一步都是一个方程， 不能像计算或 化简题那样写能连等的形式. 把方程化成 axb（a0 ）的形式字母 及其指数不变系数化成1 在方程两边都 除以未知数的系数a，得到方程的解不要 分子、分母搞颠倒 3.2 二元一次方程组：由两个一次方程组成 的，并含有两个未知数的方程组叫做二元一 次方程组 3.3 消元法解方程组 : 1、二元一次方程组的解：使二元一次方程 组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫 做 2、代入消元法：从一个方程中求出某一个 未知数的表达式， 再把它“代入”另一个 方程，进行求解，这种方法叫做代入消元 法，简称代入法。 3、加减消元法：把两个方程的两边分别相 加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减 消元法，简称加减法 3.4 用一次方程（组）解决问题： （一） 、概念梳理 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 是： 审题，特别注意关键的字和词的意义， 弄清相关数量关系， 设出未知数（注意单位） ， 根据相等关系列出方程， 解这个方程， 检验并写出答案（包括单位名称）. 一些固定模型中的等量关系： 数字问题：abc表示一个三位数，则 有 10010abcabc 行程问题： 基本公式：路程 =时间×速度 甲乙同时相向行走相遇时： 甲走的路程 +乙走的路程 =总路程 甲走的时间 =乙走的时间； 甲乙同时同向行走追及时： 甲走的路程乙走的路程=甲乙之间的距离 工程问题：基本公式： 工作量 =工作时间×工作效率 各部分工作量之和= 总工作量； 储蓄问题： 本息和=本金+利息； 利息=本金×利率 商品销售问题：商品利润 =售价进价 =进价× （1+利润率）进价； 商品利润率 =（售价进价）进价 火车过桥问题： 火车完全通过桥所走路程=桥长 +火车 长 火车完全在桥上所走路程=桥长-火车长 人在火车上 人行走方向与火车行走方向相同，则人 的实际速度 =人速+车速 人行走方向与火车行走方向相反，则人 的实际速度 =车速-人速 水流问题 逆流速度 =船速-水速 顺水速度 =船速+水速 熔断前后物体的体积、质量不变， 含有杂质的两个物体熔断前后两个不 变： （1）、总质量不变； （2） 、所含有的物质的总质量不变（例如： 含铜百分率不同的两个铁块的融合，融合后 的质量等于融合前两块铜块的质量之和，融 合有含有铜的质量等于融合前两块铜块含铜 质量之和） （二） 、思想方法（本单元常用到的数学思 想方法小结） 建模思想：通过对实际问题中的数量 关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一 次方程的思想 . 方程思想：用方程解决实际问题的思 想就是方程思想 . 化归思想：解一元一次方程的过程，实 质上就是利用去分母、去括 号、移项、合并同类项、未 知数的系数化为1 等各种同 解变形，不断地用新的更简 单的方 程来 代替 原来 的 方 程，最后逐步把方程转化为 x=a 的形式 . 体现了化 “ 未 知” 为“ 已知” 的化归思想 . 数形结合思想：在列方程解决问题时， 借助于线段示意图和图 表等来分析数量关系， 使问题中的数量关系很 直观地展示出来，体现 了数形结合的优越性 . 分类思想：在解含字母系数的方程和含 绝对值符号的方程过程中往 往需要分类讨论，在解有关 方案设计的实际问题的过程 中往往也要注意分类思想在 过程中的运用 . 第四章直线与角 4.1 多姿多彩的几何图形 形状：方的、圆的等 几何图形大小：长度、面积、体积等 位置：相交、垂直、平行等 几何体也简称体。包围着体的是面。 常见的立体图形：圆柱、圆椎、圆台、球、长 方体、四面体、三棱柱（各部分 不都在一个平面内， 在一个平面 内就是平面图形。） 点线面体：是组成几何图形的基本元素；点动 成线，线动成面，面动成体。 4.2 直线、射线、线段 1、特点与表示方法：直线没有端点，向两方无限延 伸，可用两个字母或小字字母表示；射线只有一 个端点，向一方无限延伸，用端点和延伸方向中 的任意一点表示；线段有两个端点，用两个端点 来表示。 2、连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距 离。 3、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两 点确定一条直线）。 4.3 线段的比较： 叠合法或度量法；中点：将一条线段分成两条相等的 线段的点称这条线段的中点；两点的所有连线中，线 段做短（两点之间，线段最短）。 4.4 角的度量 1、 定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。 角的端点为顶点，两条射线为角的两边。 2、1 度=60 分1 分=60 秒1 周角=360 度 1 平角=180 度 ；钟表上分针每分钟走6°，时 针每分钟走 0.5° 4.5 角的比较与运算 角的平分线：角平分线把一个角分成两个相等的 角，角平分线是一条射线。 如果两个角的和等于90 度（直角），就说这两个 叫互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和等于180 度（平角），就说这两个 叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角。 等角（同角）的补角相等。即两个相等的角的补角 相等，同一个角的补角相等。 等角（同角）的余角相等。即两个相等的角的余角 相等，同一个角的余角相等。 注：互余、互补关系只强调角度的和为特定的度数， 与两个角的位置无关。 4.6 作线段与角 1、尺规作图：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆 规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图 2、 作一条线段等于已知线段： （1）作一条直线 L（2） 在 L 上任取一点 A，以 A 为圆心，以线段a 的长 度为半径画弧，交直线L 于点 B 则线段 AB 为 所求作的线段 3、作一个角等于已知角： （1）在 AOB 上以 O 为圆心，任意长为半径画弧， 分别交 OA、OB 于点 P、Q （2）作射线 EG，并以点 E 为圆心， OP 长为半径 画弧交 EG 于点 D； （3）以点 D 为圆心， PQ 长为半径画弧交第（ 2） 步中所画弧于点F； （4）作射线 EF，DEF 即为所求作的角 第 五 章数 据 的收集与整理 5.1 数据的收集 1、全面调查（普查）：对全体对象进行的调查叫做 全面调查（耗费人力、物力较大） 2、抽样调查：从被考察的全体对象中抽出一部分对 象进行考察的调查方式。 （当对调查对象具有破坏作 用时，不易采用此方法） 3、总体：所要考察对象的全体叫做总体 4、个体：其中的每一个考察对象叫做个体 5、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的 一个样本 6、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（只 是一个数字，不带任何单位） 5.2 数据的整理 1、常用的统计图：条形统计图、折线统计图、扇形 统计图 2、扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的比 例关系，即用圆表示总体，用扇形表示构成总体 的各个部分，通过扇形的大小来反映各个部分占 总体的百分率大小，像这样的统计图叫做扇形统 计图 3、扇形的中心角计算公式： 360°×该部分占总体的 百分率 5.3 统计图的选择： （1）条形统计图能清楚表示出事物的绝对数量。 （2）折线统计图能清楚地反映事物的变化趋势。 （3）扇形统计图能清楚地表示各部分占总体的百分 率。 5.4 从图表中获取信息 图表带来有利于决策的各种信息的同时，使用不 当的图表来表达数据，会给人以误导。在从图表 中获取信息时，要关注数据的来源、收集的方法 和描述的形式，以便获取更多合理的信息。 补充知识点： 1 1=a a 、 的倒数 ， 2、在计算时，先将减法转换为加法（多重符号先化 简） ，除法转化为乘法，22 22 22 3- -2 2-2 -2 - -2 、与的区别： （ 2） （1）、从读法上看：读作负 的平方， 读作负的 的平方 （ 2） （2）、从运算上看：中的负号参与运算，中的负号不参与运算 （ 2） 4、中点应满足的条件： （1） 、 点必须在线段的内部 （防 止是等腰三角形） ,（2）点必须将线段分成了两条相 等的线段。 5、已知线段 AB，作线段 BC 有无数种方法； 6、已知线段 AB，作线段 BC，使得线段 AB、BC 共 线 ，则只有两种方法： 7、同一直线上 线段的加减计算方法可以采用 “消去” 共同端点的方法来判断。 8、具有公共边 的角之间的加减可以采用“消去”共 同的边的方法来判断。 9、角度的加减乘除运算： （1） 、两个角相加，度、分、秒分别相加再化简； （2） 、两个角相减，先看度、分、秒是否够减，不够 的话小单位向大单位“借” ， 直到够减为止， 在分别进行度、 分、秒的减法。 （3）、角度扩大（乘以数） ，先将度、分、秒分别乘 以数，最后再化简。 （4）、角度缩小（除以数） ，先从度开始除，余数化 为分后再除，若还有余数，则将余数化为秒以后再除。 （5）在用度、分、秒表示角度的时候，分与秒都不 能大于或等于 60。大于或等于60 的，需要向上一大 单位进一。 10、两条线段有重叠部分时，适用于作差；无重叠部 分时，适合于求和。 11、两个角有重叠部分时，适用于作差；无重叠部分 时，适合于求和。