南京市20150908高三模拟数学(试题及答案).pdf

第 1 页 共 15 页 南京市 2015届高三年级学情调研卷 数学 2014.09 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1函数 f(x)cos2xsin2x 的最小正周期为 2已知复数z，其中 i 是虚数单位，则|z| 1 1i 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为80 的样本，则应从高一年级抽取名学生 4从甲、乙、丙、丁4 位同学中随机选出2 名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 5已知向量a (2， 1)，b(0， 1)若 (a b) a， 则实数 6右图是一个算法流程图，则输出S的值是 7已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程 x2 a2 y2 b2 为 y±x，则该双曲线的离心率为 3 8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2 的半圆，则这个圆锥的高是 9设 f(x)x23xa若函数 f(x)在区间 (1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 10在 ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为a，b， c已知 ac2b，sinBsinC， 22 则 cosA 11若 f(x)是 R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 12记数列 an 的前 n 项和为 Sn若 a11，Sn 2(a1 an)(n2，nN*) ，则 Sn 13在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：x2y26x50，点 A，B 在圆 C 上，且 AB2， 3 则|的最大值是 OA OB 14已知函数f(x)x1(e 1)lnx，其中 e为自然对数的底，则满足f(ex)0 的 x 的取值范围 为 S0 SSk2 开始 输出 S 结束 Y N k5 （第 6 题图） k1 kk2 第 2 页 共 15 页 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分14 分） 已知函数f(x)2sin(2x )(0 2)的图象过点 ( ， 2) 2 （1）求 的值； （2）若 f( ) ， 0，求 sin(2 )的值 2 6 5 2 6 16 （本小题满分14 分） 如图，三棱柱ABCA1B1C1中， M，N 分别为 AB，B1C1的中点 （ 1）求证： MN平面 AA1C1C； （ 2）若 CC1CB1，CACB，平面 CC1B1B平面 ABC，求证： AB 平面 CMN 17 （本小题满分14 分） 已知 an是等差数列，其前n 项的和为Sn， bn 是等比数列，且a1b12，a4b421， S4b430 （ 1）求数列 an和bn的通项公式； （ 2）记 cnanbn，n N* ，求数列 cn 的前 n 项和 A1 AB C B1 C1 M N （第 16 题图） 第 3 页 共 15 页 18 （本小题满分16 分） 给定椭圆C：1(ab0)，称圆 C1：x2y2a2b2为椭圆 C 的 “伴随圆 ” 已知椭圆 x2 a2 y2 b2 C 的离心率为，且经过点 (0，1) （ 1）求实数a，b 的值； （ 2）若过点P(0，m)(m0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆 C 的伴随圆 C1所截得的弦长为 2，求实数 m 的值 2 19 （本小题满分16 分） 如图（示意） ，公路 AM、AN 围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan 2在该块土 地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN 的距离分别为3km，km现要过点P 修建 5 一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确 定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积 第 4 页 共 15 页 20 （本小题满分16 分） 已知函数f(x)ax3|x a|，aR （ 1）若 a 1，求函数yf(x) (x0， )的图象在x1 处的切线方程； （ 2）若 g(x)x4，试讨论方程f(x) g(x)的实数解的个数； （ 3）当 a 0 时，若对于任意的x1a，a2，都存在x2a2， )，使得 f(x1)f(x2) 1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合 南京市 2015 届高三年级学情调研卷 · A M N P （第 19 题图） C B 第 5 页 共 15 页 数学附加题 2014.09 注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共40 分，考试时间30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目 的答案空格内考试结束后，交回答题卡 21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2题，每小题10 分，共计20 分请在答卷卡指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 如图， PA 是圆 O 的切线， A 为切点， PO 与圆 O 交于点 B、C， AQ OP，垂足为Q若 PA4，PC2，求 AQ 的长 B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为 2b 1 3 1 1 （1）求实数b， 的值； （2）若曲线C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为C ：x22y22，求曲线C 的方 程 C选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆 C 的参数方程为 (为参数 )若点 P 是圆 C 上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值 D选修 45：不等式选讲 已知 a，b 是正数，且ab1，求证： (axby)(bxay)xy C A P O Q （第 21 题 A 图） B 第 6 页 共 15 页 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中， AB3，BC2，CC15，E 是棱 CC1上不同于 端点的点，且 CE CC1 （ 1） 当 BEA1为钝角时，求实数 的取值范围； （ 2） 若 ，记二面角B1A1BE 的的大小为 ，求 |cos | 2 5 23某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1 个红球， 1 个白球， 3 个黑 球的袋中一次随机的摸2 个球，设计奖励方式如下表： 结果奖励 1 红 1 白10 元 1 红 1 黑5 元 2 黑2 元 1 白 1 黑不获奖 （1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求 X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率 （第 22题图） A B C D E A1 B1 C1 D1 第 7 页 共 15 页 数学参考答案及评分标准2014.09 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 12332 455 1 2 635 72 89(0， 10 3 9 4 11 ， ) 1222n1138 14 (0，1) 1 2 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分 15 （本小题满分14 分） 解： （1）因为函数f(x)2sin(2x )(0 2)的图象过点 ( ， 2)， 2 所以 f( )2sin( ) 2， 2 即 sin 1 4 分 因为 0 2 ，所以 6 分 2 （2）由（ 1）得， f(x)2cos2x 8 分 因为 f( ) ，所以 cos 2 6 5 3 5 又因为 0，所以 sin 10 分 2 4 5 所以 sin2 2sin cos ，cos2 2cos2 1 12 分 24 25 7 25 从而 sin(2 )sin2 cos cos2 sin 14 分 6 6 6 16 （本小题满分14 分） 证明： （1）取 A1C1的中点 P，连接 AP，NP 第 8 页 共 15 页 因为 C1NNB1，C1PPA1，所以 NPA1B1，NP A1B1 2 分 1 2 在三棱柱ABCA1B1C1中， A1B1AB，A1B1AB 故 NPAB，且 NP AB 1 2 因为 M 为 AB 的中点，所以AM AB 1 2 所以 NPAM，且 NPAM 所以四边形AMNP 为平行四边形 所以 MN AP 4 分 因为 AP 平面 AA1C1C，MN 平面 AA1C1C， 所以 MN平面 AA1C1C 6 分 （2）因为 CACB，M 为 AB 的中点，所以CMAB 8 分 因为 CC1CB1，N 为 B1C1的中点，所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中， BC B1C1，所以 CN BC 因为平面CC1B1B平面 ABC，平面 CC1B1B平面 ABCBCCN平面 CC1B1B， 所以 CN平面 ABC 10 分 因为 AB 平面 ABC，所以 CNAB 12 分 因为 CM平面 CMN，CN平面 CMN，CMCNC， 所以 AB平面 CMN 14 分 17 （本小题满分14 分） 解： （ 1）设等差数列 an的公差为d，等比数列 bn的公比为 q 由 a1 b12，得 a423d，b42q3，S48 6d 3 分 由条件 a4b421，S4b430，得方程组解得 23d2q321， 86d2q330，) d1， q2) 所以 ann1，bn2n，nN* 7 分 （2）由题意知，cn(n1)×2n 记 Tnc1c2c3cn 则 Tnc1c2c3cn 2× 23×224×23n×2n 1 (n1)×2n， 2 Tn 2×223×23 (n1)×2n1n×2n(n 1)2n 1， 所以 Tn 2×2(22 232n)(n1)×2n1， 11 分 A1 AB C B1 C1 M N （第 16 题图） P 第 9 页 共 15 页 即 Tnn·2n 1，nN* 14 分 18 （本小题满分16 分） 解： （ 1）记椭圆C 的半焦距为c 由题意，得b1， ， c2 a2b2， c a 解得 a2，b1 4 分 （2）由（ 1）知，椭圆C 的方程为y21，圆 C1的方程为x2y25 x2 4 显然直线l 的斜率存在 设直线 l 的方程为ykxm，即 kxym0 6 分 因为直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 故方程组（* ）有且只有一组解 由（ * ）得 (14k2)x28kmx4m240 从而 (8km)24(1 4k2)( 4m24)0 化简，得m214k2 10 分 因为直线l 被圆 x2y25 所截得的弦长为2， 2 所以圆心到直线l 的距离 d523 即 14 分 3 由，解得k22，m29 因为 m0，所以 m3 16 分 19 （本小题满分16 分） 解：（方法一） 如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系 因为 tan 2，故直线AN 的方程是 y 2x 设点 P(x0，y0) 因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y03 由 P 到直线 AN 的距离为， 5 得，解得 x01 或 x0 4(舍去 )， 5 所以点 P(1，3) 4 分 显然直线BC 的斜率存在设直线BC 的方程为y3k(x1)，k( 2，0) · (A) x N P y OB C （第 19 题图 第 10 页 共 15 页 令 y 0 得 xB1 6 分 3 k 由解得 yC 8 分 y3 k(x1)， y 2x) 62k k2 设 ABC 的面积为 S，则 SxByC 1 10 分 1 2 k26k9 k22k 8k9 k22k 由 S0 得 k或 k3 2(4k3)(k3) (k22k)2 3 4 当 2k时， S0，S单调递减；当k0 时， S0，S单调递增 13 分 3 4 3 4 所以当 k时，即 AB5 时， S取极小值，也为最小值15 3 4 答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2 16 分 （方法二） 如图 2，过点 P 作 PEAM，PFAN，垂足为E、F，连接 PA设 ABx，ACy 因为 P 到 AM，AN 的距离分别为3， ， 5 即 PE3，PF 5 由 SABCSABPS APC x 3y (3xy) 4 分 1 2 1 25 1 25 因为 tan 2，所以 sin 所以 SABCx y 8 分 1 2 由可得x y (3xy) 1 2 1 25 即 3x5y2xy 10 分 5 因为 3x5y2，所以2xy2 5 解得 xy1513 分 5 当且仅当3x5y 取“ ” ，结合解得x5，y3 55 所以 SABCx y有最小值15 1 2 答：当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2 16 分 20 （本小题满分16 分） 解： （ 1）当 a 1，x0， )时， f(x) x3x1，从而 f (x) 3x21 当 x 1 时， f(1) 1，f (1) 2， 所以函数yf(x) (x0， )的图象在x1 处的切线方程为y 1 2(x1)， · A M N P B C （第 19 题图 E F 第 11 页 共 15 页 即 2xy3 0 3 分 （2）f(x)g(x)即为 ax3|xa|x4 所以 x4ax3|x a|，从而 x3(xa)|xa| 此方程等价于xa 或或 6 分 xa， x1) xa， x 1) 所以当 a1 时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a， 1； 当 1a1 时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a， 1，1； 当 a 1 时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1 9 分 （3）当 a0，x(a， )时， f(x)ax3xa， f (x)3ax210， 所以函数f(x)在(a， )上是增函数，且f(x)f(a)a40 所以当 xa，a2时， f(x)f(a)，f(a2)， 1024 f(x) 1024 f(a2) 1024 f(a) 当 xa2， )时， f(x) f(a2)， ) 11 分 因为对任意的x1 a，a2，都存在 x2a2， )，使得 f(x1)f(x2)1024， 所以 ， f(a 2)， ) 13 分 1024 f(a2) 1024 f(a)? 从而f(a2) 1024 f(a 2) 所以 f 2(a2)1024，即 f(a2) 32，也即 a(a2)3232 因为 a0，显然 a1 满足，而a2 时，均不满足 所以满足条件的正整数a 的取值的集合为1 16 分 第 12 页 共 15 页 数学附加题参考答案及评分标准2014.09 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分 的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2题，每小题10 分，共计20 分 A选修 41：几何证明选讲 证明： 连接 AO设圆 O 的半径为 r 因为 PA 是圆 O 的切线， PBC 是圆 O 的割线， 所以 PA2PC·PB 3 分 因为 PA4，PC2， 所以 422×(22r)，解得 r3 5 分 所以 POPC CO235，AOr 3 由 PA 是圆 O 的切线得PAAO，故在 RtAPO 中， 因为 AQPO，由面积法可知，×AQ×PO ×AP×AO， 1 2 1 2 即 AQ 10 分 AP×AO PO 4 × 3 5 12 5 B选修 42：矩阵与变换 解： （ 1）因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为 ， 2b 1 3 1 1 所以，即 3 分 2b 1 3 1 1 1 1 2b 2 从而解得 b0，2 5 分 2b， 2) （2）由（ 1）知， A 2 0 1 3 设曲线 C 上任一点M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线C 上一点 P(x0，y0)， C A P O Q （第 21 题 A 图） B 第 13 页 共 15 页 则， x0 y0 2 0 1 3 x y 2x x3y 从而 7 分 x0 2x， y0x3y) 因为点 P 在曲线 C 上，所以x022y022，即 (2x)22(x3y)22， 从而 3x26xy 9y21 所以曲线C 的方程为 3x26xy9y21 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程 解：（方法一） 直线 l 的普通方程为xy 0 3 分 33 因为点 P 在圆 C 上，故设P(cos ，sin )， 3 从而点 P 到直线 l 的距离 d 7 分 所以 dmin1 3 即点 P 到直线 l 的距离的最小值为1 10 分 3 ( 方法二 ) 直线 l 的普通方程为xy 0 3 分 33 圆 C 的圆心坐标为(， 0)，半径为 1 3 从而圆心C 到直线 l 的距离为d 6 分 3 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为1 10 分 3 D选修 45：不等式选讲 证明： 因为 a，b 是正数，且ab1， 所以 (axby)(bxay)abx2(a2b2)xyaby2 ab(x2y2)(a2 b2)xy 3 分 ab 2xy(a2b2)xy 8 分 (ab)2xy xy 即(axby)(bx ay)xy 成立 10 分 第 14 页 共 15 页 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分 22解： （1）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系 由题设，知B(2，3， 0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5) 因为 ，所以 E(0，3，5 ) CE CC1 从而 (2，0， 5 )，(2， 3，55 ) 2 分 EB EA1 当 BEA1为钝角时， cosBEA10， 所以 · 0，即 2×25 (55 )0， EB EA1 解得 1 5 4 5 即实数 的取值范围是 ( ， ) 5 分 1 5 4 5 （2）当 时，(2，0， 2)，(2， 3，3) 2 5 EB EA1 设平面 BEA1的一个法向量为n1(x，y， z)， 由得 2x 2z0， 2x3y3z0，) 取 x 1，得 y ，z1， 5 3 所以平面BEA1的一个法向量为n1 (1， 1) 7 分 5 3 易知，平面BA1B1的一个法向量为n2(1，0，0) 因为 cos ， n1·n2 | n1| ·| n2| 从而 |cos | 10 分 23解： （1）因为 P(X10)，P(X5)， 1 10 3 10 P(X2)， P(X0) ， 3 10 3 10 所以 X 的概率分布表为： X10520 P 1 10 3 10 3 10 3 10 4 分 （第 22题图） x y z A B C D E A1 B1 C1 D1 第 15 页 共 15 页 从而 E(X)105203.1 元 6 分 1 10 3 10 3 10 3 10 （2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（ 1）知， P(A)， 7 10 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P11P(A) 2 91 100 答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 10 分 91 100