南京市20150908高三模拟数学(试题及答案).pdf
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1、第 1 页 共 15 页 南京市 2015届高三年级学情调研卷 数学 2014.09 一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1函数 f(x)cos2xsin2x 的最小正周期为 2已知复数z,其中 i 是虚数单位,则|z| 1 1i 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3,现用分层抽样的方法从该校高中三 个年级的学生中抽取容量为80 的样本,则应从高一年级抽取名学生 4从甲、乙、丙、丁4 位同学中随机选出2 名代表参加 学校会议,则甲被选中的概率是 5已知向量a (2, 1),b(0, 1)若 (a b) a, 则实数 6右图
2、是一个算法流程图,则输出S的值是 7已知双曲线1(a0,b0)的渐近线方程 x2 a2 y2 b2 为 yx,则该双曲线的离心率为 3 8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2 的半圆,则这个圆锥的高是 9设 f(x)x23xa若函数 f(x)在区间 (1,3)内有零点,则实数a 的取值范围为 10在 ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为a,b, c已知 ac2b,sinBsinC, 22 则 cosA 11若 f(x)是 R 上的单调函数,则实数a 的取值范围为 12记数列 an 的前 n 项和为 Sn若 a11,Sn 2(a1 an)(n2,nN*) ,则 Sn 13在平面直角坐标系x
3、Oy 中,已知圆C:x2y26x50,点 A,B 在圆 C 上,且 AB2, 3 则|的最大值是 OA OB 14已知函数f(x)x1(e 1)lnx,其中 e为自然对数的底,则满足f(ex)0 的 x 的取值范围 为 S0 SSk2 开始 输出 S 结束 Y N k5 (第 6 题图) k1 kk2 第 2 页 共 15 页 二、解答题:本大题共6 小题,共计90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 (本小题满分14 分) 已知函数f(x)2sin(2x )(0 2)的图象过点 ( , 2) 2 (1)求 的值; (2)若 f( ) , 0,求 si
4、n(2 )的值 2 6 5 2 6 16 (本小题满分14 分) 如图,三棱柱ABCA1B1C1中, M,N 分别为 AB,B1C1的中点 ( 1)求证: MN平面 AA1C1C; ( 2)若 CC1CB1,CACB,平面 CC1B1B平面 ABC,求证: AB 平面 CMN 17 (本小题满分14 分) 已知 an是等差数列,其前n 项的和为Sn, bn 是等比数列,且a1b12,a4b421, S4b430 ( 1)求数列 an和bn的通项公式; ( 2)记 cnanbn,n N* ,求数列 cn 的前 n 项和 A1 AB C B1 C1 M N (第 16 题图) 第 3 页 共 15
5、 页 18 (本小题满分16 分) 给定椭圆C:1(ab0),称圆 C1:x2y2a2b2为椭圆 C 的 “伴随圆 ” 已知椭圆 x2 a2 y2 b2 C 的离心率为,且经过点 (0,1) ( 1)求实数a,b 的值; ( 2)若过点P(0,m)(m0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且l 被椭圆 C 的伴随圆 C1所截得的弦长为 2,求实数 m 的值 2 19 (本小题满分16 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为的角形耕地,其中tan 2在该块土 地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN 的距离分别为3km,km现要过点P 修建 5 一条直线
6、公路BC,将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用,问如何确 定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积 第 4 页 共 15 页 20 (本小题满分16 分) 已知函数f(x)ax3|x a|,aR ( 1)若 a 1,求函数yf(x) (x0, )的图象在x1 处的切线方程; ( 2)若 g(x)x4,试讨论方程f(x) g(x)的实数解的个数; ( 3)当 a 0 时,若对于任意的x1a,a2,都存在x2a2, ),使得 f(x1)f(x2) 1024,求满足条件的正整数a 的取值的集合 南京市 2015 届高三年级学情调研卷 A M N P (第 19
7、 题图) C B 第 5 页 共 15 页 数学附加题 2014.09 注意事项: 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共40 分,考试时间30 分钟 3答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目 的答案空格内考试结束后,交回答题卡 21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2题,每小题10 分,共计20 分请在答卷卡指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41:几何证明选讲 如图, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PO 与圆 O 交于点 B、C, AQ OP,垂足为Q若 PA4,PC2,求 AQ 的长 B选修 42:
8、矩阵与变换 已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为 2b 1 3 1 1 (1)求实数b, 的值; (2)若曲线C 在矩阵 A 对应的变换作用下,得到的曲线为C :x22y22,求曲线C 的方 程 C选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),圆 C 的参数方程为 (为参数 )若点 P 是圆 C 上的动点,求点P 到直线 l 的距离的最小值 D选修 45:不等式选讲 已知 a,b 是正数,且ab1,求证: (axby)(bxay)xy C A P O Q (第 21 题 A 图) B 第 6 页 共 15 页 【必做题】第22 题、第 23
9、题,每题10 分,共计20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中, AB3,BC2,CC15,E 是棱 CC1上不同于 端点的点,且 CE CC1 ( 1) 当 BEA1为钝角时,求实数 的取值范围; ( 2) 若 ,记二面角B1A1BE 的的大小为 ,求 |cos | 2 5 23某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有1 个红球, 1 个白球, 3 个黑 球的袋中一次随机的摸2 个球,设计奖励方式如下表: 结果奖励 1 红 1 白10 元 1 红 1 黑5 元 2 黑2 元 1 白 1 黑不获奖 (1
10、)某顾客在一次摸球中获得奖励X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率 (第 22题图) A B C D E A1 B1 C1 D1 第 7 页 共 15 页 数学参考答案及评分标准2014.09 说明: 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步
11、应得的累加分数 4只给整数分数,填空题不给中间分数 一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分 12332 455 1 2 635 72 89(0, 10 3 9 4 11 , ) 1222n1138 14 (0,1) 1 2 二、解答题:本大题共6 小题,共计90 分 15 (本小题满分14 分) 解: (1)因为函数f(x)2sin(2x )(0 2)的图象过点 ( , 2), 2 所以 f( )2sin( ) 2, 2 即 sin 1 4 分 因为 0 2 ,所以 6 分 2 (2)由( 1)得, f(x)2cos2x 8 分 因为 f( ) ,所以 cos 2 6 5
12、3 5 又因为 0,所以 sin 10 分 2 4 5 所以 sin2 2sin cos ,cos2 2cos2 1 12 分 24 25 7 25 从而 sin(2 )sin2 cos cos2 sin 14 分 6 6 6 16 (本小题满分14 分) 证明: (1)取 A1C1的中点 P,连接 AP,NP 第 8 页 共 15 页 因为 C1NNB1,C1PPA1,所以 NPA1B1,NP A1B1 2 分 1 2 在三棱柱ABCA1B1C1中, A1B1AB,A1B1AB 故 NPAB,且 NP AB 1 2 因为 M 为 AB 的中点,所以AM AB 1 2 所以 NPAM,且 NP
13、AM 所以四边形AMNP 为平行四边形 所以 MN AP 4 分 因为 AP 平面 AA1C1C,MN 平面 AA1C1C, 所以 MN平面 AA1C1C 6 分 (2)因为 CACB,M 为 AB 的中点,所以CMAB 8 分 因为 CC1CB1,N 为 B1C1的中点,所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中, BC B1C1,所以 CN BC 因为平面CC1B1B平面 ABC,平面 CC1B1B平面 ABCBCCN平面 CC1B1B, 所以 CN平面 ABC 10 分 因为 AB 平面 ABC,所以 CNAB 12 分 因为 CM平面 CMN,CN平面 CMN,CMCNC, 所以
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