1、偏微分方程的偏微分方程的离散化方法离散化方法一、离散化的概念一、离散化的概念油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常
2、用数值求解。目前工程上应用的离散化方法有：目前工程上应用的离散化方法有：目前工程上应用的离散化方法有：目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法有限差分法有限差分法有限差分法、有限元法、边界元法、变分法、有限元法、边界元法、变分法、有限元法、边界元法、变分法、有限元法、边界元法、变分法等。等。等。等。离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，并可以认为是均质的，从而把形
3、状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均质的问题质的问题质的问题质的问题非线性问题线性化非线性问题线性化非线性问题线性化非线性问题线性化。计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单
4、元就越多，计算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。微分方程离散化，主要在微分方程离散化，主要在微分方程离散化，主要在微分方程离散化，主要在空间和时间空间和时间空间和时间空间和时间两方面被离散化两方面被离散化两方面被离散化两方面被离散化 （1 1）离散空间：）离散空间：）离散空间：）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，把所研究的空间划分成某种类型
5、的网格，把所研究的空间划分成某种类型的网格，把所研究的空间划分成某种类型的网格，大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通常采用矩形网格（正方体）。常采用矩形网格（正方体）。常采用矩形网格（正方体）。常采用矩形网格（正方体）。（2 2）离散时间：）离散时间：）离散时间：）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，把研究的时间域分成若干小的时间段，把研究的时间域分成若干小的时间段，把研究的时间域分成若干小的时间段，在每个时间段内，对问题求
6、解，时间段之间有机连接。步在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。长大小取决于所要解决的实际问题。长大小取决于所要解决的实际问题。长大小取决于所要解决的实际问题。离散空间离散空间tP离散时间离散时间1 1、网格系统、网格系统、网格系统、网格系统 它有它有它有它有x x，y y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，如考虑
7、时间，则。编号：如考虑时间，则。编号：如考虑时间，则。编号：如考虑时间，则。编号：xixi，yjyj，tntn。为步长（对三。为步长（对三。为步长（对三。为步长（对三维维维维zkzk）。）。）。）。节点节点节点节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界：网格的交点叫网格节点。取一些与边界：网格的交点叫网格节点。取一些与边界：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s s接近的网格接近的网格接近的网格接近的网格节点，把他们连成折线节点，把他们连成折线节点，把他们连成折线节点，把他们连成折线ShSh，ShSh所围成的区域记为所围成的区域记为所围成的区域记为所围成的区域记为DhDh，DhDh内的节点为内的节
8、点为内的节点为内的节点为内部节点内部节点内部节点内部节点、边界上的节点为、边界上的节点为、边界上的节点为、边界上的节点为边界节点边界节点边界节点边界节点。2 2、等距网格等距网格等距网格等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相等的，反之称为等的，反之称为等的，反之称为等的，反之称为不等距网格。不等距网格。不等距网格。不等距网格。3 3、网格类型、网格类型、网格类型、网格类型 常规网格系统：常规网格系统：常规网格系统：常规网格系统：（1 1）块中心网格：）块中心网格：）
9、块中心网格：）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标用网格小块的几何中心来表示小块的坐标用网格小块的几何中心来表示小块的坐标用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2 2）点中心网格：）点中心网格：）点中心网格：）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标用节点的坐标来表示小块的坐标用节点的坐标来表示小块的坐标用节点的坐标来表示小块的坐标 块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样
10、的差分方程，只有在处理边界条件时各有方便之处，有在处理边界条件时各有方便之处，有在处理边界条件时各有方便之处，有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界，块中心网格比较容易处理定流量边界，块中心网格比较容易处理定流量边界，块中心网格比较容易处理定流量边界，点中心网格比较容易处理定压边界。点中心网格比较容易处理定压边界。点中心网格比较容易处理定压边界。点中心网格比较容易处理定压边界。非常规网格系统：非常规网格系统：非常规网格系统：非常规网格系统：（1 1）局部网格加密）局部网格加密）局部网格加密）局部网格加密 （2 2）混合网格）混合网格）混合网格）混合网格 （3 3）多边
11、形网格）多边形网格）多边形网格）多边形网格 无效网格无效网格 有效网格有效网格点中心网格点中心网格块中心网格块中心网格xyyzx局部网格加密局部网格加密局部网格加密局部网格加密模拟区网格图（井位、边界、断层）模拟区网格图（井位、边界、断层）五点法五点法注水开发注水开发5年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水饱和度分布图五点法五点法注水开发注水开发20年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水饱和度分布图rz混合网格混合网格混合网格混合网格二、有限差分法二、有限差分法-导数的差商逼近导数的差商逼近导数的差商逼近导数的差商逼近Pxx x1 1x x2 2x x三、有限差分方程的建立三、有限差分方程的建
12、立四、边界条件的处理四、边界条件的处理（一）、内边界条件处理（一）、内边界条件处理（二）、外边界条件处理（二）、外边界条件处理（二）、外边界条件处理（二）、外边界条件处理 封闭边界：封闭边界：封闭边界：封闭边界：常取块中心网格并在边界网格外虚常取块中心网格并在边界网格外虚常取块中心网格并在边界网格外虚常取块中心网格并在边界网格外虚拟一排网格，并令其相邻两个网格压力相等。拟一排网格，并令其相邻两个网格压力相等。拟一排网格，并令其相邻两个网格压力相等。拟一排网格，并令其相邻两个网格压力相等。定压边界：定压边界：定压边界：定压边界：常取点中心网格，由于边界点的压常取点中心网格，由于边界点的压常取点中心网格，由于边界点的压常取点中心网格，由于边界点的压力一定，因此，只需求内部节点压力。力一定，因此，只需求内部节点压力。力一定，因此，只需求内部节点压力。力一定，因此，只需求内部节点压力。
