高中数学知识点总结之三角函数篇.pdf
第三章三角函数、解三角形 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、必记3个知识点 1角的概念 (1)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角： 所有与角 终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合S | k· 360° ， k Z 2弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：弧度与角度的换算：360° 2弧度； 180° 弧度；弧长公式：l| |r； 扇形面积公式：S扇形 1 2lr 和 1 2| |r 2. 3任意角的三角函数 (1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)， 则 sin y， cos x， tan y x(x0) (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0) 如图中有向线段MP， OM， AT 分别叫做角的正弦线，余弦线和正 切线 二、必明3 个易误区 1易混概念： 第一象限角、 锐角、 小于 90° 的角是概念不同的三类角第 一类是象限角，第二、第三类是区间角 2利用 180° rad 进行互化时，易出现度量单位的混用 3三角函数的定义中，当 P(x， y)是单位圆上的点时有sin y， cos x， tan y x， 但若不是单位圆时， 如圆的半径为r， 则 sin y r ， cos x r， tan y x. 三、必会2 个方法 1三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦； 2 对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而 在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想 考点一角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题： 3 4 是第二象限角； 4 3 是第三象限角；400° 是第四象限角；315° 是第一象 限角其中正确的命题有() A1 个B2 个C3 个D4 个 解析： 选 C 3 4 是第三象限角，故错误； 4 3 3， 从而 4 3 是第三象限角，故 正确； 400° 360° 40° ， 从而正确；315° 360° 45° ， 从而正确 2设集合M x x k 2· 180° 45° ，kZ ， N x x k 4· 180° 45° ，kZ ， 那么 () AM NB M ?N C N ?M DMN? 解析： 选 B法一 ：由于 M x x k 2· 180° 45° ，kZ ， 45° ， 45° ， 135° ， 225° ， ， N x x k 4· 180° 45° ，k Z ， 45° ，0° ，45° ，90° ，135° ，180° ， 225° ， ， 显然有 M? N， 故选 B. 法二 ：由于M 中，x k 2· 180° 45° k· 90° 45° 45° · (2k1)， 2k1 是奇数；而 N 中，x k 4· 180° 45° k· 45° 45° (k1) · 45° ， k 1是整数，因此必有 M? N， 故选 B. 3终边在直线y3x 上的角的集合为_ 解析： 终边在直线y3x 上的角的集合为 | k 3， kZ 答案： | k 3， kZ 4在 720° 0° 范围内找出所有与45° 终边相同的角为_ 解析：所有与 45° 有相同终边的角可表示为： 45° k× 360° (kZ)， 则令 720° 45° k×360° 0 时， r10 k， sin 3k 10k 3 10 ， 1 cos 10 k k 10， 10sin 3 cos 3 103 10 0； 当 k0， 则 是() A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 解析： 选 C由 sin 0， 知 在第一或第三象限，因此 在第三象限 做一做 1如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线 OP 交单位圆O 于点 P， 若 AOP ， 则点 P 的坐标是 () A(cos ， sin )B(cos ， sin ) C(sin ， cos ) D( sin ， cos ) 解析： 选 A由三角函数的定义知P(cos ， sin )， 选 A. 2已知扇形的周长是6 cm， 面积是 2 cm2， 则扇形的圆心角的弧度数是 () A1 或 4 B1 C4 D8 解析： 选 A设扇形的半径和弧长分别为r， l， 则易得 l2r6， 1 2lr2， 解得 l4 r 1 或 l2， r2. 故扇形的圆心角的弧度数是4 或 1. 3已知角的终边经过点(3a9， a2)， 且 cos 0， sin 0， 则实数 a 的取值 范围是 () A(2,3 B(2,3) C2,3) D2,3 解析： 选 A cos 0， sin 0， 角 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上 3a 90， a20， 20；cos(2 200° ) cos( 40° )cos 40 °0；tan(10) tan(3 10)0， tan 17 9 0. 11在直角坐标系中，O 是原点，A(3， 1)， 将点 A 绕 O 逆时针旋转90° 到 B 点， 则 B 点坐标为 _ 解析： 依题意知OA OB2， AOx30° ， BOx 120° ， 设点 B 坐标为 (x， y)， 所以 x2cos 120 ° 1， y2sin 120 °3， 即 B(1，3) 答 案： (1，3) 12.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中， 角 的终边与单位圆交于点A， 点 A 的纵 坐标为 4 5， 则 cos _. 解析： 因为 A 点纵坐标yA4 5， 且 A 点在第二象限， 又因为圆O 为单位圆，所以 A 点横坐标xA 3 5， 由三角函数的定义可得 cos 3 5.答案： 3 5 13一个扇形OAB 的面积是1 cm2， 它的周长是 4 cm， 求圆心角的弧度数和弦长AB. 解： 设圆的半径为r cm， 弧长为 l cm， 则 1 2lr1， l 2r 4， 解得 r1， l2. 圆心角 l r 2.如图，过 O 作 OHAB 于 H.则 AOH1 弧度 AH1· sin 1sin 1(cm)， AB 2sin 1(cm) 三角函数 1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （·，··）扇llRSRR 1 2 1 2 2 O R 1 弧度 R 2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sincostanMPOMAT， y T A x B S O M P 如：若，则，的大小顺序是 8 0sincostan 又如：求函数的定义域和值域。yx12 2 cos （）12 2 120cossinxx ，如图：sin x 2 2 ，2 5 4 2 4 012kxkkZy 3. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对 称轴吗？ sincosxx11， y x O 22 ytgx 对称点为，kkZ 2 0 yxkkkZsin 的增区间为，2 2 2 2 减区间为，2 2 2 3 2 kkkZ 图象的对称点为，对称轴为kxkkZ0 2 yxkkkZcos 的增区间为，22 减区间为，222kkkZ 图象的对称点为，对称轴为kxkkZ 2 0 yxkkkZtan 的增区间为， 22 xAycos+xAsin=y4.或的图象和性质要熟记。正弦型函数 （ ）振幅，周期1 2 | | | AT 若，则为对称轴。f xAxx 00 若，则，为对称点，反之也对。f xx 00 00 （ ）五点作图：令依次为， ，求出 与 ，依点20 2 3 2 2xxy （x， y）作图象。 （ ）根据图象求解析式。（求、 、 值）3A 如图列出 () () x x 1 2 0 2 解条件组求、 值 正切型函数，yAxTtan | | 5. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的 范围。 如：，求值。cos xxx 6 2 2 3 2 （，）xxxx 3 2 7 66 5 36 5 4 13 12 6. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数的值域是yxxsinsin| | （时，时，）x02220022yxxyysin 7. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： （ ）点（ ， ） ， 平移至 （，），则1Pxy ahk Pxy xxh yyk () ''' ' ' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f xyahkf xhyk()()() 如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的yxyx22 4 1sinsin 图象？ （ 横坐标伸长到原来的倍 yxyx22 4 122 1 24 1 2 sinsin 2 4 1 4 212 1 sinsinsinxyxyx 左平移个单位 上平移个单位 纵坐标缩短到原来的倍 ） 1 2 yxsin 8. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 如：··1 4 2222 sincossectantancotcossectan sincos 2 0称为 的代换。1 “·”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，k 2 “奇”、“偶”指k 取奇、偶数。 如： costansin 9 4 7 6 21 又如：函数，则 的值为yy sintan coscot A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值 （，）y sin sin cos cos cos sin sincos cossin 2 2 1 1 00 9 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系： sinsincoscossinsinsincos 令 22 coscoscossinsincoscossin 令 2 22 tan tantan tantan1· 2112 22 cossin tan tan tan 2 2 1 2 cos cos sin cos 2 2 12 2 12 2 abab b a sincossintan 22 ， sincossin2 4 sincossin32 3 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中 不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法： （ ）角的变换：如，1 222 （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知，求的值。 sincos cos tantan 12 1 2 3 2 （由已知得：， sincos sin cos sin tan 22 1 1 2 2 又 tan 2 3 · · ）tantan tantan tantan 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 8 11. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦：，arcsin xx 22 11 反余弦：，arccosxx011 反正切：，arctan xxR 22 10. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 余弦定理： abcbcAA bca bc 222 222 2 2 coscos （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） 正弦定理： a A b B c C R aRA bRB cRC sinsinsin sin sin sin 2 2 2 2 SabC 1 2 · sin ，ABCABC ，sinsinsincosABC ABC 22 如中，ABC AB C2 2 21 2 sincos （ ）求角；1C （）若，求的值。2 2 22 22 2 ab c ABcoscos （ ）由已知式得：11211 2 coscosABC 又，ABCCC210 2 coscos 或（舍）coscosCC 1 2 1 又，0 3 CC （ ）由正弦定理及得：2 1 2 222 abc 22 3 3 4 2222 sinsinsinsinABC 1212 3 4 coscosAB ）coscos22 3 4 AB
