高中数学知识点总结之三角函数篇.pdf
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1、第三章三角函数、解三角形 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、必记3个知识点 1角的概念 (1)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 所有与角 终边相同的角,连同角 在内, 可构成一个集合S | k 360 , k Z 2弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,弧度记作rad. (2)公式:弧度与角度的换算:360 2弧度; 180 弧度;弧长公式:l| |r; 扇形面积公式:S扇形 1 2lr 和 1 2| |r 2. 3任意角的三角函数 (1)定义:设是一个任意角,它的终边与
2、单位圆交于点P(x, y), 则 sin y, cos x, tan y x(x0) (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0) 如图中有向线段MP, OM, AT 分别叫做角的正弦线,余弦线和正 切线 二、必明3 个易误区 1易混概念: 第一象限角、 锐角、 小于 90 的角是概念不同的三类角第 一类是象限角,第二、第三类是区间角 2利用 180 rad 进行互化时,易出现度量单位的混用 3三角函数的定义中,当 P(x, y)是单位圆上的点时有sin y, cos x, tan y x, 但若不是单位圆时
3、, 如圆的半径为r, 则 sin y r , cos x r, tan y x. 三、必会2 个方法 1三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦; 2 对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一定要考虑运用分类讨论,而 在求解简单的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,体现了数形结合的思想 考点一角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题: 3 4 是第二象限角; 4 3 是第三象限角;400 是第四象限角;315 是第一象 限角其中正确的命题有() A1 个B2 个C3 个D4 个 解析: 选 C 3 4 是第三象限角,故错误; 4 3 3, 从而 4
4、 3 是第三象限角,故 正确; 400 360 40 , 从而正确;315 360 45 , 从而正确 2设集合M x x k 2 180 45 ,kZ , N x x k 4 180 45 ,kZ , 那么 () AM NB M ?N C N ?M DMN? 解析: 选 B法一 :由于 M x x k 2 180 45 ,kZ , 45 , 45 , 135 , 225 , , N x x k 4 180 45 ,k Z , 45 ,0 ,45 ,90 ,135 ,180 , 225 , , 显然有 M? N, 故选 B. 法二 :由于M 中,x k 2 180 45 k 90 45 45
5、(2k1), 2k1 是奇数;而 N 中,x k 4 180 45 k 45 45 (k1) 45 , k 1是整数,因此必有 M? N, 故选 B. 3终边在直线y3x 上的角的集合为_ 解析: 终边在直线y3x 上的角的集合为 | k 3, kZ 答案: | k 3, kZ 4在 720 0 范围内找出所有与45 终边相同的角为_ 解析:所有与 45 有相同终边的角可表示为: 45 k 360 (kZ), 则令 720 45 k360 0 时, r10 k, sin 3k 10k 3 10 , 1 cos 10 k k 10, 10sin 3 cos 3 103 10 0; 当 k0, 则
6、 是() A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 解析: 选 C由 sin 0, 知 在第一或第三象限,因此 在第三象限 做一做 1如图所示,在直角坐标系xOy 中,射线 OP 交单位圆O 于点 P, 若 AOP , 则点 P 的坐标是 () A(cos , sin )B(cos , sin ) C(sin , cos ) D( sin , cos ) 解析: 选 A由三角函数的定义知P(cos , sin ), 选 A. 2已知扇形的周长是6 cm, 面积是 2 cm2, 则扇形的圆心角的弧度数是 () A1 或 4 B1 C4 D8 解析: 选 A设扇形的半径和弧长分别为r,
7、l, 则易得 l2r6, 1 2lr2, 解得 l4 r 1 或 l2, r2. 故扇形的圆心角的弧度数是4 或 1. 3已知角的终边经过点(3a9, a2), 且 cos 0, sin 0, 则实数 a 的取值 范围是 () A(2,3 B(2,3) C2,3) D2,3 解析: 选 A cos 0, sin 0, 角 的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上 3a 90, a20, 20;cos(2 200 ) cos( 40 )cos 40 0;tan(10) tan(3 10)0, tan 17 9 0. 11在直角坐标系中,O 是原点,A(3, 1), 将点 A 绕 O 逆时针旋转90
8、到 B 点, 则 B 点坐标为 _ 解析: 依题意知OA OB2, AOx30 , BOx 120 , 设点 B 坐标为 (x, y), 所以 x2cos 120 1, y2sin 120 3, 即 B(1,3) 答 案: (1,3) 12.如图所示,在平面直角坐标系xOy 中, 角 的终边与单位圆交于点A, 点 A 的纵 坐标为 4 5, 则 cos _. 解析: 因为 A 点纵坐标yA4 5, 且 A 点在第二象限, 又因为圆O 为单位圆,所以 A 点横坐标xA 3 5, 由三角函数的定义可得 cos 3 5.答案: 3 5 13一个扇形OAB 的面积是1 cm2, 它的周长是 4 cm,
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