高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修0.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 课时 距离问题 课时作业 A 组基础巩固 1两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东 30°，B在C南 偏东 60°，则A，B之间距离为 ( ) A.2a km B.3a km Ca km D2a km 解析：ABC中，ACBCa，ACB90°，AB2a. 答案： A 2.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30 分钟后到达B处C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北 偏东 60°，那么B，C两点间的距离是( ) A102海里B103海里 C203海里D202海里 解析：由题目条件，知AB20 海里，CAB 30°，ABC 105°，所以ACB45°. 由正弦定理，得 20 sin 45° BC sin 30°，所以 BC102海里，故选A. 答案： A 3有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面 的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位： m)是( ) A5 B10 C102 D103 解析： 如图， 设将坡底加长到B时，倾斜角为30°，在ABB 中，利用正弦定理可求得BB的长度 在ABB中，B 30°， BAB 75° 30° 45°，AB10 m， 由正弦定理，得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BB ABsin 45° sin 30° 10× 2 2 1 2 102(m) 坡底延伸102 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°. 答案： C 4一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔 68 海里的M处， 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) A. 176 2 海里 / 小时B346海里 /小时 C. 172 2 海里 / 小时D342海里 / 小时 解析：如图所示，在PMN中， PM sin 45° MN sin 120°， MN 68×3 2 346， vMN 4 176 2 (海里 / 小时 ) 答案： A 5.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点已知ACD 为正三角形，且DC3 km，当目标出现在B点时，测得CDB 45°， BCD75°，则炮兵阵地与目标的距离是( ) A1.1 km B2.2 km C2.9 km D3.5 km 解析：CBD180°BCDCDB 60°. 在BCD中，由正弦定理，得 BD CDsin 75° sin 60° 62 2 . 在ABD中，ADB45° 60° 105°， 由余弦定理，得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB2AD 2BD2 2AD ·BDcos 105° 3 62 2 4 2×3× 62 2 × 62 4 523. AB5232.9(km) 炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km. 答案： C 6在相距2 千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75°，CBA60°，则A、C 两点之间的距离为_千米 解析：C180° 75° 60° 45°，由正弦定理 2 sin 45° AC sin 60° ， AC6. 答案：6 7某人从A处出发， 沿北偏东60°行走 33 km 到B处，再沿正东方向行走2 km 到C处， 则A，C两地距离为 _km. 解析：如图所示，由题意可知AB33，BC2，ABC150°， 由余弦定理，得 AC22742×33×2×cos 150° 49， AC7. 则A，C两地距离为7 km. 答案： 7 8一艘船以每小时15 km 的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶 4 h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_km. 解析：如图所示，AC15×460， BAC30°，B45°， 在ABC中由正弦定理得 60 sin 45° BC sin 30° ， BC302. 答案： 302 9.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 记物C，测得CAB 45°，CBA75°，AB120米，求河的宽度 解析：在ABC中， CAB45°，CBA75°， ACB60°. 由正弦定理，可得 AC AB· sinCBA sinACB 120sin 75° sin 60° 20(326)， 设C到AB的距离为CD， 则CDACsinCAB 2 2 AC20 (33) 河的宽度为20(3 3)米 10为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 千米处 不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60° 方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 千米的速度沿公路行驶，问最长 需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考 点的距离为1 千米 在ABC中，AB31.732，AC1，ABC30°， 由正弦定理sinACB sin 30° AC ·AB 3 2 ，ACB120°(ACB 60°不合题意 )， BAC30°，BCAC1，在ACD中，ACAD，ACD60°， ACD为等边三角形，CD1， BC 12 × 605，在BC上需 5 分钟，CD上需 5 分钟 答：最长需要5 分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5 分钟才算合格 B 组能力提升 1甲船在岛B的正南A处，AB 10千米，甲船以每小时4 千米的速度向正北航行，同时， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 乙船自B出发以每小时6 千米的速度向北偏东60°的方向驶去当甲、乙两船相距最近时， 它们所航行的时间是_ 解析：设行驶x小时后甲到点C， 乙到点D， 两船相距y km， 则DBC180° 60° 120°. y2(104x)2(6x)22(104x)·6xcos 120 ° 28x220x100 28(x2 5 7x)10028 x 5 14 2 25 7 100 当x 5 14(小时 ) 150 7 (分钟 )时，y 2 有最小值y最小 答案： 150 7 分钟 2某船开始看见灯塔在南偏东30°方向， 后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile. 解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置， 则BCAD，DAB30°， DAC60°， 则在 RtACD中， DCACsinDAC 30sin 60° 153 n mile， ADACcosDAC30cos 60 ° 15 n mile， 则在 RtADB中， DBADtanDAB15tan 30° 53 n mile， 则BCDCDB15353103 n mile. 答案： 103 3一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另 一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x_. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中， AB10 cm，OAB75°，ABO 45°， 则AOB60°，由正弦定理知： x AB· sinABO sinAOB 10×sin 45° sin 60° 106 3 (cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即x的值为 106 3 cm. 答案： 106 3 4某海岛周围38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行 30 海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向， 则此船 _触礁的危险 (填 “有”或 “无”) 解析： 由题意在三角形ABC中，AB30，BAC30°，ABC135°，ACB15°， 由正弦定理 BC AB sinACB·sinBAC 30 sin 15°·sin 30° 15 62 4 15(62) 在 RtBDC中，CD 2 2 BC15(31)38. 答案：无 5.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m， 吊索AB519 m，求起吊的货物与岸的距离AD. 解析：在ABC中，由余弦定理，得 cosACB AC2BC2AB2 2AC·BC 152102519 2 2×15×10 1 2. ACB120°.ACD180° 120° 60°. ADAC·sin 60° 153 2 (m) 即起吊的货物与岸的距离为 153 2 m. 6.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距 离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个 点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点B，C；并测量得到数据：ACD90°，ADC60°，ACB 15°，BCE105°， CEB45°，DCCE1 百米求A，B之间的距离 解析： 由题干图， 连接AB(图略 )，依题意知， 在 RtACD中，ACDC·tanADC 1×tan 60°3. 在BCE中，CBE180°BCECEB 180° 105° 45° 30°， 由正弦定理 BC sinCEB CE sinCBE ， 得BC CE sinCBE·sin CEB 1 sin 30°×sin 45° 2. cos 15° cos(60° 45°) cos 60°· cos 45 ° sin 60°sin 45° 1 2× 2 2 3 2 × 2 2 62 4 ， 在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22AC·BC·cosACB， 可得AB2(3)2 (2)223×2× 62 4 23， AB23百米 即A，B之间的距离为23百米