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高考数学第一轮复习教案汇总【精华】 一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数 . 互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充 . 冇理指数幕的运算性质. 指数函数 . 对数. 对数的运算性质 . 对数两数 . 函数的应用 . 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念. （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. （4）理解分数指数帚的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质. （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质. （6）能够运用函数的性质、指数函数和対数函数的性质解决某些简单的实际问题. 三、命题热点 分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想 方法贯穿整个高小数学的全过程，包括解决儿何问题. 在近儿年的高考试卷小，一般以选样 题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式为导数 交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识. 其中函数与 方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型屮每年都 有函数试题，而且常考常新. 以基木函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 2012年高考热点主要冇：考査函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函 数和函数的图象?函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽彖 分析，建立相应的函数模型并川來解决问题，是考试的热点. 考查运川函数的思想來观察 问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 四、知识回顾 （）本章知识网络结构： 专题二函数概念与基本初等函数 对数函数的图像和性质 （二）考点总结 （1）函数 1.了解构成函数的要素，了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法：解析法、图彖法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示 简单的函数 . 3.了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题. 4.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判 断简单的函数奇偶性. 5.理解函数的最大（小）值及其儿何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质2 （2）指数函数 1 . 了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算. 3.理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题. 4?知道指数函数是一类重要的函数模型. （3）对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成白然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用. 2.理解対数函数的概念；会求与対数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4?了解指数函数与对数函数互为反函数. （4）幕函数 1.了解幕函数的概念 . 2.结合函数的图像，了解它们的变化情况. （5）函数与方程 1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系. 2.理解并学握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数 零点的个数 . （6）函数模型及其应用 T 元二次函数一元 二淀両式 根武一分数指数 1- 扌 17数函数的图像和性质- 扌百?数函数的图像和性质 指数方程 对数方程 对数的性质 积.W.泵与 根的刈?数 对数 対 数 函 数 对数恒等式和 不等式 常用对数 自然对数 对M決 则 值域 性 质 反 函 数 互为反函数 的 函数I冬 I像关系 函 数 足 义 定义域区间 指 数 函 数 1.了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型 ( 如指数函数、対数函数、幕函数、分段函数等在社会牛活中普遍使用的函数 模型 )的广泛应用 . 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. ( 三) 知识要点回顾 ( 一) 映射与函数 (1)映射与一一映射 (2)函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要索，因为 这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才 是同一函数 . (3)反函数 反函数的定义 设函数y = f (x)(x G A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把X表 示出， 得到x=0(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=0(y), x在A中都有唯一的值和它对应， 那么，x=0 (y)就表示y是自变量 ,x是口变量y的函数，这样的函数X=Q (y) (y e C)叫做函 数y = f(X)(X W力)的反函数，记作X =厂' (y)，习惯上改写成y = f ( 二) 函数的性质 函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变虽的值XhX2. 若当X,f(X2),则说f(x)在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，贝IJ就说函数y=f(x)在这一区间具冇 (严格 的) 单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的单调函数. ?函 数的奇偶性 偶函数的定义：如果对于函数f(X)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做润函数 . / 是偶函数 o /(T)=/ o /(-.X)一 / =o O =1(/主 0) 奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有 f(?x)=?f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 . /“) 是奇函数O /(-x) = -/ o /(-X)+ /(.V)= 0 o 螟=-1(/ 丰 0) 正确理解奇 . 偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数/(X)为奇 函数或偶函数的必要不充分条件；(2) /(-X)= /(X)或 = -/(x)是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于丿轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3?奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增 减性相反 . 4.如果/(x)是偶函数，则/(x) = /(| x |),反之亦成立。 若奇函数在x = 0时有意义，则/(0) = 0 o 7.奇函数，偶函数： 偶函数 :/(-x) = /(x) 设(a,b)为偶函数上一点，则(-a,b )也是图彖上一点 . 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于尹轴对称，例如：= 在山 _1)上不是偶函数 . 满足f(-x) = f(x), 或/(-x)-/(x) = O,若/(X)H0时, 仔2 = 1. /(-X) 奇函数：f(-x) = -f(x) 设(°, 方 ) 为奇函数上一点，则(-a,-b )也是图象上一点 . 奇函数的判定：两个条件同吋满 足 定义域一定要关于原点对称，例如：y = /在1,-1)上不是奇函数 . 满足/(-X)= - f(x), 或/(-x) + /(x) = O,若/(%)#0 时,- = -1. /(-x) 8.对称变换：?y=f (x)轴对称尹= /(_%) ?y=f(x) * 轴对称 y = _/(x) 尹于(x) 變点对称 y = _/(_x) 9.判断函数单调性 ( 定义) 作差法：对带根号的一定要分了有理化，例如: 心) 一心)=耐庄応 ( “7)(兀;+ 勺) +b 2 + Jxf +庆 在进行讨论 . 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. X 例如：已知函数/(x) = 1+的定义域为函数 x0 时,0l. (5)在R上是增函数(5)在R上是减函数 对数运算 : log,M?N) = log°M + log °N(i) M logo = logo M log。N N logqM“ =“loga( 土M) logo 萄i7 = -ogaM n Q嘛 N =N 换底公式 : 呃N=旦 例：尹 =2区 f |兀| 关于y轴对称 . y = / 屮 + 刀 2 log/ 推论：logo b? logc ? log ca = 1 = log?。2 ? log? a3 ? ? Sg%i 5 = log。勺 ( 以上M A 0, N A 0，a A 0,a H l,b A 0, b H l,c A 0,c H l,a19a2.an A 0且丰 1) 注：当YO 时,log(a ? b) = log(-a) + log(-b). (2)：当 MAO吋，取“ + ”，当 /? 是偶数时且 MY 0吋，M ”A0,而 MYO,故取“一” . 例 如：log0 而logf/x2中xeR). 对数函数尸/og冰的图象和性质： 五. 典型例题 al0 0 兀G (l,+oo)时.y0X 6 (1,+8)吋尹 0 时，102。=*，?虫=迈，当dWO 时，2' Z = = 2_1, /.(7= - 1. 67 = - 1 或迈. 答案一1或眾 4.定义在R 上的两数 / 满足fix +y)=/(x)+/00 + 2xy(x, y R), ,/(l) = 2, 则X-3)= ? 解析Al) =/o + i)=/(o)+xi)+2xoxi =XO)+/(1), A/(0) = 0. XO) = /(-l +!) = /(-1)+/(1) + 2X(-1)X1 = A-l) +/(l)-2, A/(-1) = 0. ,A-l)=X-2+l)=A-2)+Al) + 2X(-2)Xl = A-2)4-Al)-4, /,A-2) = 2. X-2) =/(_3 + l)=/(_3)+/(l) + 2X(_3)Xl = A-3) +/d)-6, A/(-3) = 6. 1. 函数 *2 3x+4 X 的定义域为 3. log2x, 已知函数y( 兀)=X x0, xWO. 有冷)=SAOB S/XMVB = - (2 t) 2 + , 答案6 5- 已知僵 胚，则 ?心)的解析式为 (1 一 八 1-x 1-1 _ 解析令 “乔卞则“TV；，因此= /j _ A - 2x 2 丫 因此沧 )的解析式为Ax)=Y7?-答案 6.定义在R上的函数 /(X)满足Xx+1)=-Ax),且金 )= 1 一1 解析 答案 7.已知函数°(x)=/(x)+g(x)，其屮. 心) 是x的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数， (一1*0) 一 ，则/ )= (gwi) - X3)=X2+1)= -/2) = -1 + 1)=/1)= -1. -1 1+产 H石)= 解析 设,/(x) = mx (m是非零常数 )，g(x) = 是非零常数 ) ， 则。( 兀)= 16,疏1) = ?y=Ax)； y=x(x)； y=J(x)+x. 解析?7W的定义域为R,?拥- 兀|)=X|x|), ?y”|x|)是偶函数； 令F(x)=A-x), 则F( - x) =/(x) = -/(-%)= - F(x), ?F(x)是奇函数， .?是奇函数； 令M(x) = xfx), 贝H M( x) = - x - x) = = M(x), ?M(x)是偶函数； 令N(x) = /(x) + x, 则N( - x) = /(- 兀)x= -fix) - x =-A-r) + x= -N(x), 于是 x2 - x - 20, x2 - % - 2A -1)/(2). 答案,A0)A-l)A2) 10.(14分)(2009?江苏金陵中学三模 ) 已知. 沧) 是实数集只上的函数，月. 对任意XWR, /(x)= Xx+l)+/(x 1)恒成立 . (1)求证： /( 对是周期函数； 丄 2* p4 _ M |x-2|-2 , (2)已知久3)=2,求/2 004). (1)证明?. 心)=心+1)+.心-1) ? ?./( 兀 + 1) =/x) J(x - 1), 则. 心 + 2) F( 兀 + 1) + 1=沧 + 1) - ./? =/W -. 怒-1)- 心)=- 心-1). ?Xr + 3)=/(x+l) + 2= -/(x+l)-l ?金 + 6) *( 兀 + 3) + 3= J(x + 3) =Xx). ?. 几丫)是周期函数且6是它的一个周期 . (2)解/(2 004) =/(334X6) =./(0) = -/3) = -2. 11.(16 分)(2009-广东东莞模拟 ) 已知函数J(x)=x 2+x-a+l f aR. (1)试判断久x)的奇偶性； (2)若一求y(x)的最小值 . 解(1)当Q = 0 时，函数,/(-x) = (-x) 2 + |-x|+ 1 =Ax), 此时， ./( 兀) 为偶函数 . 当GHO 时，/ =6/ 2 + 1, f(-a) = a 2 + 1, 加) 加) 工_夬_°), 此时，金 )为非奇非偶函数 . (2)当 hWq 时，Jlx) = X 2 - X + 67 + 1 =(i_*)2 + a+ 扌， TQW*, 故函数/(X)在(-8, 切上单 调递减，从而函数 . 心) 在(-a, a上的最小值为_A6z) = a 2+ 1. 当xa时，函数f(x) =x 2 + x a + 1 = + ) 2 - ) 上单调递增，从而函数/(x)在0, +/(4 -x) “14- 兀)=心)”兀 + 10), 从而知函数y =jx)的周期为T= 10. 又/3) = /(1) = 0,而几7)工0,故A - 3)0. 故函数尹=./(x)是非奇非偶函数 . (2)由知y = /(x)的周期为10. 又./(3) =/1) = 0, /11) = /(13)=A-7)=X-9) = 0, 故金) 在0,10 和-10,0 上均有两个解 , 从而可知函数厂 . 心) 在0,2 005 上有402个 解, 在- 2 005,0 上有400个解，所以函数厂心) 在-2 005,2 005 上有802个解. 题型4：指数与指数函数 1. (2010?镇江模拟 ) 若01. 0SW1. 答案(0,1 7.(2010?锦州模拟 )函数歹 =才0,且oHl)在1,2 上的最大值比最小值大% 则。的值是 解析 当6/1时，y = d x 在1,2 上单调递增 , 当00 即2x2' Y 答案2x2“ v0.2x 解析 y o 答案 +或| 8.(2010-盐城模拟 )函数fx)=x-bx+c满足,/(l+x)=/(l-v)且/(0) = 3,贝lj 妙)_ ?).(用 “W ”，“”，填空) 解析?./( 1 +x) =/1 -x). ?. 心) 的对称轴为直线x=l,由此得b = 2 又/0) = 3, Ac = 3, ?. 心) 在(-8, 1)上递减，在(1, +8)上递增 . 若x30,则 ?.Q)初2) 若*0,则3X/(2) ?./(3円). 答案 W 9.(2009?湖北黄冈四市联考 )设函数 . 心)=|2丫一1|的定义域和值域都是0,切(/E), M a+b 解析因为Xx) = |2 x- 1| 的值域为0,歼 所以ba20, 而函数心 )=0-1|在0, +8)上是单调递增函数， |2“ - 11 = °(a = 0 因此应有bi ” H=il 所以有ab=. 答案1 10. (14分)(2009-广东韶关一模 )要使函数y=+2 x+4xa 在呻一8, 1 上尸0恒成立 , 求° 的 取值范围 . 解 由题意得1 +2“ + 4力0在xW(-8, 1 上恒成立， 即a-在xW(-8, 1 上恒成立 . 令“( 少，则加 )=_0 +少+ri 、 ze T + °°丿， 则几 )在+，+ 8) 上为减函数 , 即./(r)e(-oo,- 扌. ?叼，在百， +8)上恒成立 , 3 4? 11.(16分)(2009-江苏苏北四市期末 ) 设jx)=d x+h 同时满足条件貳0)=2和对任意xGR都 有,/(x+l)=2Ax)-l 成立. (1)求. 心) 的解析式； (2)设函数能) 的定义域为 一2,2,且在定义域内能)= 心) ，且函数加x)的图象与炎) 的 图 象关于直线y=x对称，求h(x) ； (3)求函数p=g(x)+/?(x)的值域 . 解由X0) = 2，得b= 1, 由. 心+1) = 2心) 一1，得才( 。一2) = 0, 由a x0 得a = 2, 所以/(x) = 2 v+l. (2)由题意知 , 当xe-2,2时，g(x)=心)=2” + 1 . 设点卩(x, y)是函数方 ( 兀) 的图象上任意一点，它关于直线y = x对称的点为P (y, X), 依 题意点P 0，兀) 应该石函数 讨论 . 心）的单调性 . °丄x + h 解 由百0=（x +方）（兀一方） 0. 解得/ （x）的定义域为（- 00， ? 7（ - X ）= log（手另 （X-H （xf =叫百丿 =10当 X W(X, +00)吋，0(x) (px ) = 0; 所以， 当x e (0,Xj)时，/?( 工) 单调递减，而方 (0) = 0,则力 在(0,xJ内无零点； 当XG(Xp+OO)时, 方(兀) 单调递增，则在 ( 和+00)内至多只有一个零点; 从而加力在(0,4-00)内至多只有一个零点。综上所述，Zz(x)有且只有两个零点。 故y h _1 _1 1 _2 解法2:比)( 2),记如17 2,则0(对6 +尹。 当兀W (0,+oo)时,(px) 0 ,因此0(x)在(0,+00)上单调递增，则0(x)在(0,4-00)内至多只有一个零 点。因此加兀 ) 在(0,+oo)内也至多只有一个零点， 综上所述，/?(x)有且只有两个零点。 (ID IBh(x)的正零点为x0,即x03 =兀。+ o (1)当6/ 1)时，有ak x0时，由(1)知，/?( 兀)在(x0,+oc)上单调递增。则h(a)h(x() = 0 ,即 a + yci o 从而6/23 = q + = a + 4ci 1)时，有ak K? 取函数f (x) = 2 - x - e x 若对任意的x e (-00,4-00),恒冇办(x) = /(x),则(D) A. K的最大值为2 B. K的最小值为2 C. K的最大值为1 D. K的最小值为2 19.( 本小题满分13分) 某地建一擁桥，两端的桥墩已建好，这两墩和距m米，余下工程只需建两端桥墩 Z间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩 Z间的桥面工程费用为(2 +J7)兀万元。假设桥墩等距离分布，所冇桥墩都视为点，且不考试具 它因索。记余下工程的费用为y万元。 (1)试写出尹关于x的函数关系式； (2)当m=640米时，盂新建多少个桥墩才能使夕最小？ 19.解：(I)设需新建n个桥墩，则(H + l)x = m,yp 所以尹 =f(x) = 256巾 + (/? +1)(2 + 4x)x = 256( 1) + 巴(2 + Vx)x 256/77 + mjjc + 2m-256. 256/77 1 - (II)由(I)知,fx) = - + -mx 2 x2 2 3 令广(x) = 0,得/ =512,所以x = 64. 当0 0,/在区间(64,640)内为增函数 . 所以/ (x)在兀=64处取得最小值 . 此吋心巴-1 =空-1 = 9. x 64 故需新建9个桥墩才能使y最小。 七、总结 1.映射：注意：第一个集合中的元素必须有彖；一对一或多对一. 2.函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法； 利用均值不等式陌 f (x 2): 3 in = (x 2 -512). 2x 2 单调性的判定：定义法：一般要将式了/() - f(x2) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于 判断符号；导数法( 见导数部分 ) ：复合函数法；图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性： (1)周期性的定义：对定义域内的任意4,若有/(x + T)= /(x)(其中T为非零常数 ) ， 则称函数/(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如 没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期：y = sinx:T = 2兀；y = cosx : T = 2龙； j/ = tan x: T - 7i ?y - A sm(cax +(p),y = cos( 炉+(p)'.T -； G) 兀 尹=tan or: T = co (3)与周期有关的结论： f (x + a) = /(x - Q)或广(x 一2a) = f (x)(c 0) a f ( 兀)的周期为2° 8.基本初等函数的图像与性质： ?指数函数：y = a x(a 0,a H 1)；对数函数：y = log “ x(a 0,o主1)； 幕函数：y = x a ( cr G 7?) ；(4)正弦函数：尹 = sinx ；余弦函数：y = cosx ； (6)正切函数：y = tanx；一元二次函数：ax 2 +bx + c = Q (aHO) ；其它常用函 数： (1) 正比例函数：y = kx(k 0):反比例函数：y = (k 0):函数x 尹=x + (a 0) x . 分数指数幕：”=时；a n =(以上 a0,加. a n (2) . / = N o log “ N = b；log,(MV)= log“ M + log “ N； log “ = log “ M - log “ N ； log b n = log “ b. N a m (3) .对数的换底公式：log, N =也乩Y.对数恒等式：= N . log, ” a 9.二次函数： 解析式：一般式：/(X)= ax 1 + bx + c ；顶点式 :fx) = ax-h) 2+k, (h 9k)为 顶点； 零点式：f(x) = a(x-%!)(x-x 2) (aHO) ? 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。 二次函数夕 =处2 +加+ C的图象的对称轴方程是X = -2 ,顶点坐标是 ( b4°c -b八 -9 o 、2。4。 丿 10.函数图象： 图象作法：描点法( 特别注意三角函数的五点作图)图象变换法导数法 图象变换： 平移变换：i ” = /(X)Ty = /(X±Q), (67 0) - 左 “ + ” 右“一”； ii ) y = /(x) T 尹=f(X)土k,(k 0) - 上 “ + ” 下“ 一”； 对称变换：i) y = /(x) (0 - 0) y = -f(-x)； ii)y = /(x)d j ； = -/(x)； iii) y = /(x) - Q y = f(-x) : iv) = /(x) r=Y x = f(y)； 翻折变换： y =- y = /(I x l) - ( 去左翻右 )y轴右不动，右向左翻(/(x)在尹左侧图 象去掉 ) ； - ( 留上翻下 )X轴上不动 , 下向上翻 (|/(兀)| 在兀下面 无图彖 ) ： 11.函数图象 ( 曲线) 对称性的证明： 证明函数尹 =/( 兀) 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称屮心( 对称轴 ) 的对称点仍在图像上； (2)证明函数y = /(x)与y二g(x)图象的对称性 , 即证= /(x)图象上任意点关 于对称屮心 ( 对称轴 )的对称点在y = g(x)的图象上，反之亦然。 注: 曲线Ci：f(x, y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C2方程为 :f(-x, -y)=0; 曲线Ci： f (x, y) =0关于直线x=0的对称曲线C2方程为 :f ( x, y)二0; 曲线Ci：f (x, y) =0关于直线y=0的对称曲线C2方程为 :f (x, y) =0; 曲线Ci：f (x, y) =0关于直线y二x的对称曲线C2方程为 :f(y, x)=0 f (a+x)二f (b x) (x R) O y=f(x)图像关于直线x二竺空对 ' 称； 2 特别地：f(a+x)=f(a-x) (xGR) Oy=f(x)图像关于直线XF对称. ?y = f(x)的图象关于点(a,b)对称o f(a + x) + f(a-x) = 2b? 特别地 :y=f (x)的图象关于点 (Q,0)对称 o f(a + x)= -代a一x). 函数尹=f(x-a)与函数尹 =f(a-x)的图象关于直线x = a对称； 函数尹二f(a + x)与函数y二ja一x)的图象关于直线x = 0对称。 12.函数零点的求法： (1)直接法 ( 求/(%) = 0的根) ；图象法；二分法. (4)零点定理：若y=f(x)在a, b 上满足f(a) -f (b) 0)的单调性进行求解 . 兀 2 Y 预测2 ?如图，当参数2分别取人，入时，函数/(x)二 -(x0)的部分图像分别对 1 + ZX 应曲线GG ，则有 7 Y 解析：山于函数/(X)= - 的图像在0,4-00)±连续不间断，所以必有人0,入0. 1 + /U 2 ? A.0 - - , 故人 V入，所以选A. + 人 + (2) x 若/(x)在2,可上单调递增，求实数a的取值范围 . 2 解析：(1)当0在2,可上恒成立 . X 兀X 兀 即竺二所以ax 2-3x-a0 在2,可上恒成立，即a-. x x -1 a r_a _ 7 r 2 令gZ尹F而g2产7'当心间吋 (2)f(x)为二次函数且f (0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试 分别求出f(x)的解析式 . 1. 2. 判断函数f(x)=(x l)订土 的奇偶性为 1 -X 3. 6： (1)已知f ( +1 ) =lgx,求f (x)； x (2)已知f (x)是一次函数 , 且满足3f (x+1) -2f (x-1) =2x+17,求f (x)； (3)已知f (x)满足2f (x) +f (丄)=3x,求f (x). x 2, x0, ? Y 0 7：已知函数f(x)=' “' ，x/兀 + 1 J兀一1 . yjx-xVx 2 -3 9：求下列函数的定义域： ° = J做2 X) +( 兀_)o ； (2) y =- - +(5兀 + 4) ° ；(3) y = 725-x 2 + lgcosx ； J12 +j l 丿lg(4x + 3) l 丿/ 10.设函数y = f(x)的定义域为】0, 1,求下列函数的定义域. y = /(x + Q)+ /(x Q). 1、 1,贝0/(x + a) /(x-a) 01),证明：函数 /( 兀)在(-1,+8)上为增函数 . X I 1 16：讨论函数/(x) = x + -(a0)的单调性 . 17.判断函数/(x) = 二1在定义域上的单调性. 18：求函数尹 = log|(4x-) 的单调区间 . 2 19.求下列函数的最值与值域： 6 y = 4 (3 + 2x -兀彳；(2) y = x ； (3) y x +1 + J(2 -兀) + 4 X 20：在经济学屮，函数/(x)的边际函数妙 ( 兀) 定义为妙(x) = /(x + l) /( 兀)?某公司每月最多生 产100台报警系统装置，生产x(x0)台的收入函数为7?(x) = 3000x-20x 2 ( 单位：元 ) ，其 成本函数 为C(x) = 500x + 4000 ( 单位：元 )，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P( 兀) 及边际利润函数MPx)； 7 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否貝 - 有相同的最大值？ / 21.己知定义在区问(0, +8)上的函数/(x)满足 / 玉 =/( 旺) 一/( 兀2) ，且当 兀1时， X 2丿 / OW, /(x)l. (1)求证：/(x)是/? 上的增函数； (2)若/(4) = 5,解不等式 /(3莎一加一2) (1)试判断/(x)的奇偶性； (2)若-a 込,求/( 兀) 的最小值 . 23-28小结 1?奇偶性是某些函数具冇的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具冇这种性质. 判 断函数 的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断 ( 或证明 ) 函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非 零实数日与一日，验证f( 日) 土f( 耳)H0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得 到整个定义域上的性质. 3.函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解. / G I -1 j -1 29 已知a二9,b 二9.求：(1) a 2Ja3 十嗣a“ x 耳a'、； (2) + S) 30：化简下列各式 (其中各字母均为正数) ： 2 _ J_ J_ (1) (a亍?方“)一亍亍亍 f(cx) B.f(b x)f(cx) D.人小关系随x的不同而不同 32：已知实数a、b满足等式(1)- = (1)* ,下列五个关系式：OVbVa;aCbVO;0O,f(x)亠旦是R上的偶函数 . a c (1)求3的值； (2)求证：f(x)在(0, +8)上是增函数 . 36：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2, 口当xe(O, 1)时，f(x)二丄? 4' +1 (1)求f (x)在-1,1 上的解析式 ; (2)证明：f(x)在(0, 1)上是减函数 . 29-36.小结归纳 1.输7=。，/=N, log“N = b(其屮N0, Q0,狞1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许 多问题屮需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算. 在运算屮，根式常常化为 指数式比较方便，而对数式一般应化为同底. 2.处理指数函数的冇关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底” 大于1 或小于1分类. 4.含有指数的鮫复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数( 特别是二次函数 )形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透 或综合 . 37 计算：(1) log2+zI(2-V3) (2)2(lgV2 ) 2+lgV2 ? lg5+J(lgQ)2_ g2 + i ； (3)丄lg - lg/8 +lgx/24? 249 3 38:化简求值 . (1)log2 +log212- log242-l; (2)(Ig2) 2+lg2 ? lg50+lg25; (3)(log32+log 92) ? (Iog43+logs3). 39比较下列各纽数的大小. (1) logs-与log?上；(2) logi.iO. 7 与logi.2。. 7; 35 (3)已知log±bl,abl,则log al,iogJ；,log. 1 的大小关系是() b b A.log ；tl 41已知函数f (x)=log ax (a0, al),如果对于任意xW 3, + °°)都有|f(x)|N 1成立, 试求a的収值 范围. 42：已知函数f (x) =log 2(x 2-ax-a) 在区间 (- °°,1-3 上是单调递减函数?求实数a的取值范 围. 44.已知过原点0的一条直线与函数y=logsx的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与 函数y =log2x的图象交于C、D两点. (1)证明：点C、D和原点0在同一直线上； (2)当BC平行于x轴时, 求点A的坐标 . 45：已知函数f (x)=log2i+log2(xT)+log2(p-x)? x-1 (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域 . 37-45小结归纳 1.处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使川频繁的关键知识, 要达到熟练、运川自如的水 平，使用时常常要结合对数的特姝值共同分析. 3 ?含冇参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基木的分类方案是以“底” 大于 1或小于1分类. 4.含有指数、対数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式岀现，与其它两数( 特别是二次函数) 形 成的函数问题，与方程、不等式、数列等內容形成的各类综合问题等等，因此耍注意知识的相互渗 透或综合 . 46.作出下列函数的图象. 八汀如1胡); 2x-l 47：作出卜?列各个函数的图象 : (1) y = 2 2“ ；(2) v = log “ ”) ； (3) y = - . 2x + 1 48函数y=f(x)与函数y=g(x)的图彖如图，则函数y=f(x) -g(x)的图象可能是( ) 50.设函数f (x) =X 2-2|X |-1 (-3WXW3)? (1)证明:f(x)是偶函数； (2)画出函数的图象 ; (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域 . 46-50小结归纳 1.作函数图象的基本方法是： 、 z / J -1*/I X (2) y = 的两数的图象形状人致是( x D 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性； 考虑是否对由基本初等函数的图彖变换作出图彖； 准确描出关键的点线( 如图象与 / 、y轴的交点，极值点 (顶点), 对称轴 , 渐近线，等等 ). 2.图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明. 3?注意分清是一个函数口身是对称图形，述是两个不同的函数图象对称. 51.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： _ (1) y-x 3 (2) y = x 2 (3) y-兀一？ (4) y = x 2 + x2 (5) y = x+X(6) fx) = X +3(-X) 52：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： 45 3 (1) y = x 5 (2) y = x (3) y = x (4) y = x (5) y = x 2 53. 比较大小： 丄 丄 (1) 1.52,1.7 (2) (-1.2)',(-1.25)3 (3)5.25 _1,5.26_, ,5.26 _2 (4)0.5 3,3 °5,log 30.5 54：将下列各组数用小于号从小到大排列： 2 2 2 (1)2.5亍,( 1.4)亍,( 3)亍 _3 _3 3 (2)0.16石,0.5巧,6.25 § 2 丄2 丄5 - - 3 - (3)