2函数概念与基本初等函数(全).docx.pdf
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1、高考数学第一轮复习教案汇总【精华】 一、考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数 . 互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充 . 冇理指数幕的运算性质. 指数函数 . 对数. 对数的运算性质 . 对数两数 . 函数的应用 . 二、考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数帚的概念,掌握有理指数幕的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和 性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质
2、;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和対数函数的性质解决某些简单的实际问题. 三、命题热点 分析近几年的高考试题,可以发现函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想 方法贯穿整个高小数学的全过程,包括解决儿何问题. 在近儿年的高考试卷小,一般以选样 题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等,以解答题的形式为导数 交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识. 其中函数与 方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型屮每年都 有函数试题,而且常考常新. 以基木函数为模型的应用题和综合题是高
3、考命题的新趋势。 2012年高考热点主要冇:考査函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函 数和函数的图象?函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽彖 分析,建立相应的函数模型并川來解决问题,是考试的热点. 考查运川函数的思想來观察 问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 四、知识回顾 ()本章知识网络结构: 专题二函数概念与基本初等函数 对数函数的图像和性质 (二)考点总结 (1)函数 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图彖法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表
4、示 简单的函数 . 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题. 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判 断简单的函数奇偶性. 5.理解函数的最大(小)值及其儿何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值。 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质2 (2)指数函数 1 . 了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幕的含义,了解实数指数幕的意义,掌握幕的运算. 3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题. 4?知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化
5、成白然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用. 2.理解対数函数的概念;会求与対数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4?了解指数函数与对数函数互为反函数. (4)幕函数 1.了解幕函数的概念 . 2.结合函数的图像,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系. 2.理解并学握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数 零点的个数 . (6)函数模型及其应用 T 元二次函数一元 二淀両式 根武一分数指数 1- 扌 17数函数的图像和性质- 扌百?数函数的图像和性质
6、指数方程 对数方程 对数的性质 积.W.泵与 根的刈?数 对数 対 数 函 数 对数恒等式和 不等式 常用对数 自然对数 对M決 则 值域 性 质 反 函 数 互为反函数 的 函数I冬 I像关系 函 数 足 义 定义域区间 指 数 函 数 1.了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型 ( 如指数函数、対数函数、幕函数、分段函数等在社会牛活中普遍使用的函数 模型 )的广泛应用 . 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. ( 三) 知识要点回顾 ( 一) 映射与函数 (1)映射与一一映射 (2)函数 函数三要素
7、是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要索,因为 这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才 是同一函数 . (3)反函数 反函数的定义 设函数y = f (x)(x G A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把X表 示出, 得到x=0(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=0(y), x在A中都有唯一的值和它对应, 那么,x=0 (y)就表示y是自变量 ,x是口变量y的函数,这样的函数X=Q (y) (y e C)叫做函 数y = f(X)(X W力)的反函数,记作X =厂 (y),习惯上改写成y = f ( 二) 函数
8、的性质 函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变虽的值XhX2. 若当X,f(X2),则说f(x)在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,贝IJ就说函数y=f(x)在这一区间具冇 (严格 的) 单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的单调函数. ?函 数的奇偶性 偶函数的定义:如果对于函数f(X)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做润函数 . / 是偶函数 o /(T)=/ o /(-.X)一 / =o O =1(/主 0) 奇函数的定义:如果对于函数f(x)
9、的定义域内任意一个X,都有 f(?x)=?f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 . /“) 是奇函数O /(-x) = -/ o /(-X)+ /(.V)= 0 o 螟=-1(/ 丰 0) 正确理解奇 . 偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数/(X)为奇 函数或偶函数的必要不充分条件;(2) /(-X)= /(X)或 = -/(x)是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于丿轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3?奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反 .
10、 4.如果/(x)是偶函数,则/(x) = /(| x |),反之亦成立。 若奇函数在x = 0时有意义,则/(0) = 0 o 7.奇函数,偶函数: 偶函数 :/(-x) = /(x) 设(a,b)为偶函数上一点,则(-a,b )也是图彖上一点 . 偶函数的判定:两个条件同时满足 定义域一定要关于尹轴对称,例如:= 在山 _1)上不是偶函数 . 满足f(-x) = f(x), 或/(-x)-/(x) = O,若/(X)H0时, 仔2 = 1. /(-X) 奇函数:f(-x) = -f(x) 设(, 方 ) 为奇函数上一点,则(-a,-b )也是图象上一点 . 奇函数的判定:两个条件同吋满 足
11、 定义域一定要关于原点对称,例如:y = /在1,-1)上不是奇函数 . 满足/(-X)= - f(x), 或/(-x) + /(x) = O,若/(%)#0 时,- = -1. /(-x) 8.对称变换:?y=f (x)轴对称尹= /(_%) ?y=f(x) * 轴对称 y = _/(x) 尹于(x) 變点对称 y = _/(_x) 9.判断函数单调性 ( 定义) 作差法:对带根号的一定要分了有理化,例如: 心) 一心)=耐庄応 ( “7)(兀;+ 勺) +b 2 + Jxf +庆 在进行讨论 . 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. X 例如:已知函数/(x) = 1+的定义域为函数
12、x0 时,0l. (5)在R上是增函数(5)在R上是减函数 对数运算 : log,M?N) = logM + log N(i) M logo = logo M log。N N logqM“ =“loga( 土M) logo 萄i7 = -ogaM n Q嘛 N =N 换底公式 : 呃N=旦 例:尹 =2区 f |兀| 关于y轴对称 . y = / 屮 + 刀 2 log/ 推论:logo b? logc ? log ca = 1 = log?。2 ? log? a3 ? ? Sg%i 5 = log。勺 ( 以上M A 0, N A 0,a A 0,a H l,b A 0, b H l,c A
13、 0,c H l,a19a2.an A 0且丰 1) 注:当YO 时,log(a ? b) = log(-a) + log(-b). (2):当 MAO吋,取“ + ”,当 /? 是偶数时且 MY 0吋,M ”A0,而 MYO,故取“一” . 例 如:log0 而logf/x2中xeR). 对数函数尸/og冰的图象和性质: 五. 典型例题 al0 0 兀G (l,+oo)时.y0X 6 (1,+8)吋尹 0 时,102。=*,?虫=迈,当dWO 时,2 Z = = 2_1, /.(7= - 1. 67 = - 1 或迈. 答案一1或眾 4.定义在R 上的两数 / 满足fix +y)=/(x)+
14、/00 + 2xy(x, y R), ,/(l) = 2, 则X-3)= ? 解析Al) =/o + i)=/(o)+xi)+2xoxi =XO)+/(1), A/(0) = 0. XO) = /(-l +!) = /(-1)+/(1) + 2X(-1)X1 = A-l) +/(l)-2, A/(-1) = 0. ,A-l)=X-2+l)=A-2)+Al) + 2X(-2)Xl = A-2)4-Al)-4, /,A-2) = 2. X-2) =/(_3 + l)=/(_3)+/(l) + 2X(_3)Xl = A-3) +/d)-6, A/(-3) = 6. 1. 函数 *2 3x+4 X 的
15、定义域为 3. log2x, 已知函数y( 兀)=X x0, xWO. 有冷)=SAOB S/XMVB = - (2 t) 2 + , 答案6 5- 已知僵 胚,则 ?心)的解析式为 (1 一 八 1-x 1-1 _ 解析令 “乔卞则“TV;,因此= /j _ A - 2x 2 丫 因此沧 )的解析式为Ax)=Y7?-答案 6.定义在R上的函数 /(X)满足Xx+1)=-Ax),且金 )= 1 一1 解析 答案 7.已知函数(x)=/(x)+g(x),其屮. 心) 是x的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数, (一1*0) 一 ,则/ )= (gwi) - X3)=X2+1)= -/2) =
16、 -1 + 1)=/1)= -1. -1 1+产 H石)= 解析 设,/(x) = mx (m是非零常数 ),g(x) = 是非零常数 ) , 则。( 兀)= 16,疏1) = ?y=Ax); y=x(x); y=J(x)+x. 解析?7W的定义域为R,?拥- 兀|)=X|x|), ?y”|x|)是偶函数; 令F(x)=A-x), 则F( - x) =/(x) = -/(-%)= - F(x), ?F(x)是奇函数, .?是奇函数; 令M(x) = xfx), 贝H M( x) = - x - x) = = M(x), ?M(x)是偶函数; 令N(x) = /(x) + x, 则N( - x)
17、 = /(- 兀)x= -fix) - x =-A-r) + x= -N(x), 于是 x2 - x - 20, x2 - % - 2A -1)/(2). 答案,A0)A-l)A2) 10.(14分)(2009?江苏金陵中学三模 ) 已知. 沧) 是实数集只上的函数,月. 对任意XWR, /(x)= Xx+l)+/(x 1)恒成立 . (1)求证: /( 对是周期函数; 丄 2* p4 _ M |x-2|-2 , (2)已知久3)=2,求/2 004). (1)证明?. 心)=心+1)+.心-1) ? ?./( 兀 + 1) =/x) J(x - 1), 则. 心 + 2) F( 兀 + 1)
18、 + 1=沧 + 1) - ./? =/W -. 怒-1)- 心)=- 心-1). ?Xr + 3)=/(x+l) + 2= -/(x+l)-l ?金 + 6) *( 兀 + 3) + 3= J(x + 3) =Xx). ?. 几丫)是周期函数且6是它的一个周期 . (2)解/(2 004) =/(334X6) =./(0) = -/3) = -2. 11.(16 分)(2009-广东东莞模拟 ) 已知函数J(x)=x 2+x-a+l f aR. (1)试判断久x)的奇偶性; (2)若一求y(x)的最小值 . 解(1)当Q = 0 时,函数,/(-x) = (-x) 2 + |-x|+ 1 =
19、Ax), 此时, ./( 兀) 为偶函数 . 当GHO 时,/ =6/ 2 + 1, f(-a) = a 2 + 1, 加) 加) 工_夬_), 此时,金 )为非奇非偶函数 . (2)当 hWq 时,Jlx) = X 2 - X + 67 + 1 =(i_*)2 + a+ 扌, TQW*, 故函数/(X)在(-8, 切上单 调递减,从而函数 . 心) 在(-a, a上的最小值为_A6z) = a 2+ 1. 当xa时,函数f(x) =x 2 + x a + 1 = + ) 2 - ) 上单调递增,从而函数/(x)在0, +/(4 -x) “14- 兀)=心)”兀 + 10), 从而知函数y =
20、jx)的周期为T= 10. 又/3) = /(1) = 0,而几7)工0,故A - 3)0. 故函数尹=./(x)是非奇非偶函数 . (2)由知y = /(x)的周期为10. 又./(3) =/1) = 0, /11) = /(13)=A-7)=X-9) = 0, 故金) 在0,10 和-10,0 上均有两个解 , 从而可知函数厂 . 心) 在0,2 005 上有402个 解, 在- 2 005,0 上有400个解,所以函数厂心) 在-2 005,2 005 上有802个解. 题型4:指数与指数函数 1. (2010?镇江模拟 ) 若01. 0SW1. 答案(0,1 7.(2010?锦州模拟
21、)函数歹 =才0,且oHl)在1,2 上的最大值比最小值大% 则。的值是 解析 当6/1时,y = d x 在1,2 上单调递增 , 当00 即2x2 Y 答案2x2“ v0.2x 解析 y o 答案 +或| 8.(2010-盐城模拟 )函数fx)=x-bx+c满足,/(l+x)=/(l-v)且/(0) = 3,贝lj 妙)_ ?).(用 “W ”,“”,填空) 解析?./( 1 +x) =/1 -x). ?. 心) 的对称轴为直线x=l,由此得b = 2 又/0) = 3, Ac = 3, ?. 心) 在(-8, 1)上递减,在(1, +8)上递增 . 若x30,则 ?.Q)初2) 若*0,
22、则3X/(2) ?./(3円). 答案 W 9.(2009?湖北黄冈四市联考 )设函数 . 心)=|2丫一1|的定义域和值域都是0,切(/E), M a+b 解析因为Xx) = |2 x- 1| 的值域为0,歼 所以ba20, 而函数心 )=0-1|在0, +8)上是单调递增函数, |2“ - 11 = (a = 0 因此应有bi ” H=il 所以有ab=. 答案1 10. (14分)(2009-广东韶关一模 )要使函数y=+2 x+4xa 在呻一8, 1 上尸0恒成立 , 求 的 取值范围 . 解 由题意得1 +2“ + 4力0在xW(-8, 1 上恒成立, 即a-在xW(-8, 1 上恒
23、成立 . 令“( 少,则加 )=_0 +少+ri 、 ze T + 丿, 则几 )在+,+ 8) 上为减函数 , 即./(r)e(-oo,- 扌. ?叼,在百, +8)上恒成立 , 3 4? 11.(16分)(2009-江苏苏北四市期末 ) 设jx)=d x+h 同时满足条件貳0)=2和对任意xGR都 有,/(x+l)=2Ax)-l 成立. (1)求. 心) 的解析式; (2)设函数能) 的定义域为 一2,2,且在定义域内能)= 心) ,且函数加x)的图象与炎) 的 图 象关于直线y=x对称,求h(x) ; (3)求函数p=g(x)+/?(x)的值域 . 解由X0) = 2,得b= 1, 由.
24、 心+1) = 2心) 一1,得才( 。一2) = 0, 由a x0 得a = 2, 所以/(x) = 2 v+l. (2)由题意知 , 当xe-2,2时,g(x)=心)=2” + 1 . 设点卩(x, y)是函数方 ( 兀) 的图象上任意一点,它关于直线y = x对称的点为P (y, X), 依 题意点P 0,兀) 应该石函数 讨论 . 心)的单调性 . 丄x + h 解 由百0=(x +方)(兀一方) 0. 解得/ (x)的定义域为(- 00, ? 7( - X )= log(手另 (X-H (xf =叫百丿 =10当 X W(X, +00)吋,0(x) (px ) = 0; 所以, 当x
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