1、02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院1 /48土木工程学院土木工程学院工程力学学科组工程力学学科组HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 弹塑性力学弹塑性力学02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院2 /48 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。重要数学工具。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为
2、转移的。不以人们的意志为转移的。分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。1.1 1.1 张量概念张量概念 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。第第1 1节节 张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院3 /48 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为理量，统称为标量标量（S
3、calar）。例如温度、质量、功）。例如温度、质量、功等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为理量，称为矢量矢量（Vector）。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确定。定。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院4 /48 若我们以若我们以r 表示维度（如三维空间），以表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，表示阶数，则描述一切物
4、理恒量的分量数目则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成：可统一地表示成：统一称这些物理量为张量统一称这些物理量为张量（Tensor）。二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来解释、定义。关系式来解释、定义。当当n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M =1，标量；，标量；当当n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M =31，矢量；，矢量；当当n=2时，二阶张量，时，二阶张量，M =32，矩阵；，矩阵；当取当取 n 时，时，n 阶张量，阶张量，M
5、3n。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院5 /48张量定义张量定义设（设（a1,a2,a3）、（）、（b1,b2,b3）、）、（、（s1,s2,s3）是矢）是矢量，量，Ti1i2in是与坐标选择有关的是与坐标选择有关的3 3n个独立变量，若当个独立变量，若当坐标变换时，坐标变换时，n一次式一次式由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。保持不变，则取决于脚标的保持不变，则取决于脚标的3 3n个量个量Ti1i2in
6、 的集合称为的集合称为 n 阶张量阶张量，其中每个元素称为此张量的，其中每个元素称为此张量的分量分量。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院6 /48 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。别该张量的所有分量。不重复出现的下标符号称为不重复出现的下标符号称为自由标号自由标号。自由标号在其。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。阶次。重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标哑标
7、号号或或假标号假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。哑标号在其方程内先罗列，再求和。如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为维空间，即变程为3 3。1.2 1.2 指标记法指标记法02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院7 /48矢量矢量V 的方式表示：的方式表示：vi 代表矢量代表矢量V 的所有分量，的所有分量，即当即当V 写作写作vi 时，指标的值从时，指标的值从1到到3变化。变化。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院8 /48 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号
8、应理解为取其变程N内所有数值，然后再内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。求和，这就叫做求和约定。展开式（展开式（3项）项）展开式（展开式（9项）项）展开式（展开式（27项）项）1.3 1.3 求和约定求和约定02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院9 /4802 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院10 /48关于下标的约定可以总结为以下三条规则：关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1.1.如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为则称之为自由指标自由指标，这种自由指
9、标在表达式或方程的每一，这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。项中必须只出现一次。2.2.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为次，则称之为哑标哑标，它表示从，它表示从1 1到到3 3求和。哑标在其他任何求和。哑标在其他任何项中可以刚好出现两次，也可以不出现。项中可以刚好出现两次，也可以不出现。3.3.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。多于两次，则是错误的。是违约的，求和时要保留求和号是违约的，求和时要保留求和号02 0
10、2 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院11 /48例题：例题：利用求和约定缩写下面线性方程组利用求和约定缩写下面线性方程组解：作为第一步缩写，可以写成：解：作为第一步缩写，可以写成：最后可以缩写为：最后可以缩写为：其中其中i 称为自由标，称为自由标，j 称为哑标。称为哑标。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院12 /48Cij=AikBjk，则表明，则表明i，j为自由指标，为自由指标，k 为哑标为哑标表示表示9 9个方程：个方程：例题：例题：描述描述Cij=AikBjk的意义。的意义。解：解：02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学
11、院土木工程学院13 /48关于求和标号（哑标）说明：关于求和标号（哑标）说明：由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字母可以任意改变。母可以任意改变。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。先求和。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院14 /48出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如以示区别，或用文字说
12、明（如 i 不求和）。不求和）。规定规定：这里这里 i 相当于一个自由指相当于一个自由指标，而标，而 i 只是在数值上等只是在数值上等于于 i，并不与，并不与 i 求和。求和。例外情况例外情况02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院15 /48又如，方程又如，方程用指标法表示，可写成用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于不参与求和，只在数值上等于 i02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院16 /48关于自由标号：关于自由标号：在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同
13、标号字母相同。自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院17 /48 ij是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号，亦称，亦称单单位张量位张量,也叫置换算子也叫置换算子.其定义为：其定义为：ijvj=vi 即在将即在将 ij 应用于应用于vj 只是将只是将vj中的中的j 用用i 置换；置换；对于单位矢量，点积对于单位矢量，点积eiej=ij ；其他关于其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的符号的描述可以参考孙炳楠的工程弹工程弹塑性力学塑性力学及相关张量的其
14、他文献。及相关张量的其他文献。1.4 1.4 Kronecker delta（ij）符号）符号02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院18 /48 ij 的作用与计算示例的作用与计算示例：02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院19 /48若若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则是相互垂直的单位矢量，则注意：注意：ii是一个数值（是一个数值（3）ij的作用：的作用：1）换指标；）换指标；2）选择求和。）选择求和。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院20 /48例例1 1：完成脚标变换完成脚标变换 AiAk思路
15、思路：把要被替换的指标把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示。表示。例例2 2：完成变换完成变换 TkjTij例例3 3：代表代表34=81个数，求个数，求 m=n时各项的和。时各项的和。特别地特别地02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院21 /48张量的运算法则与矢量相类似。张量的运算法则与矢量相类似。如：张量相等即对应分量相等；如：张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；张量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量；张量相乘构成一个阶数是
16、原张量的阶数之和的新张量；n 阶张量缩并后变为阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。阶张量等等。1.5 1.5 张量的基本运算张量的基本运算02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院22 /48A、张量的加减：张量的加减：凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。其分量为：其分量为：其矩阵形式为：其矩阵形式为：若若 a 为一矢量，则为一矢量，则02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院23 /48 一
17、个张量在一个坐标系中的所有分量都为一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所，则在所有坐标系中的所有分量都为有坐标系中的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考虑虑Fi 导致的应力导致的应力 ij ，以后将证明，为满足平衡，以后将证明，为满足平衡 ij,j=Fi ，现将它重写为现将它重写为 Di=ij,jFi=0 因为因为Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院24 /48B B、张量的乘积、张量的乘
18、积张量张量A 的每一个分量乘以张量的每一个分量乘以张量B 中的每一个分量所组成的集中的每一个分量所组成的集合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。量阶数之和。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：律。例如：02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院25 /48C C、张量函数的求导：、张量函数的求导：一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参一个张量是
19、坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数数 xi 的函数。的函数。张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前方加方加“，”的方式来表示。例如的方式来表示。例如 Ai,j ，就表示对一阶，就表示对一阶张量张量Ai 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 xj 求导。求导。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院26 /48 如果在微商中下标符号如果在
20、微商中下标符号i 是一个自由下标，则算子是一个自由下标，则算子 i i()()作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。生一个新的降低一阶的张量。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院27 /481 代入代入设设(1)(2)把（把（2）代入（代入（1）3个方程，个方程，右边为右边为9项之和项之和指标记法的运算指标记法的运算02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院28 /482 乘
21、积乘积设设则则不符合求不符合求和约定和约定02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院29 /483 因式分解因式分解考虑考虑第一步用第一步用表示表示有换指标的作用有换指标的作用所以所以即即02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院30 /48使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系。向同性材料应力应变关系。缩并缩并哑标与求和无哑标与求和无关，可用任意关，可用任意字母代替字母代替为平均应力应变之间的关系为平均应力应变之间的关系4 缩并缩并02 02 张量概念张量概念哈工大哈工
22、大 土木工程学院土木工程学院31 /48设设ei为卡氏直角坐标系为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，轴的单位基矢量，a为任一矢量，其为任一矢量，其分量为分量为ai，于是，于是D D、张量的分量：、张量的分量：对于一个二阶张量对于一个二阶张量T，它可以将，它可以将a变换成另一个矢量变换成另一个矢量b，即，即 称为二阶张量称为二阶张量T 的分量的分量 可理解为矢量可理解为矢量Tej在在ei上的分量。上的分量。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院32 /32显然反对称张量中标号重复的分量显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素也即主对角元素)为零。为零。若张量若张量 aij 的分量满足的分量满足 aij =aji 则称则称 aij 为对称张量。为对称张量。若张量若张量 aij 的分量满足的分量满足 aij =aji 则称则称 aij 为反对称张量。为反对称张量。一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对称张量之和。称张量之和。E E、张量的分解：、张量的分解：End
