哈工大弹塑性力学02张量概念.ppt
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1、02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院1 /48土木工程学院土木工程学院工程力学学科组工程力学学科组HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY 弹塑性力学弹塑性力学02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院2 /48 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。重要数学工具。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的,它们是任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的,它们是不以人们的意志为
2、转移的。不以人们的意志为转移的。分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关,会影响问题的求解与表述。观事物的认识水平有关,会影响问题的求解与表述。1.1 1.1 张量概念张量概念 所有与坐标系选取无关的量,统称为所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量物理恒量。第第1 1节节 张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院3 /48 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明的物在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明的物理量,统称为理量,统称为标量标量(S
3、calar)。例如温度、质量、功)。例如温度、质量、功等,在坐标变换时其值保持不变的量,即满足等,在坐标变换时其值保持不变的量,即满足 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向的物在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向的物理量,称为理量,称为矢量矢量(Vector)。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。标量只需一个量就可确定,而矢量则需三个分量来确标量只需一个量就可确定,而矢量则需三个分量来确定。定。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院4 /48 若我们以若我们以r 表示维度(如三维空间),以表示维度(如三维空间),以n 表示阶数,表示阶数,则描述一切物
4、理恒量的分量数目则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成:可统一地表示成:统一称这些物理量为张量统一称这些物理量为张量(Tensor)。二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义,但它做为物理恒量,其分量间可由坐标变换何意义,但它做为物理恒量,其分量间可由坐标变换关系式来解释、定义。关系式来解释、定义。当当n=0时,零阶张量,时,零阶张量,M =1,标量;,标量;当当n=1时,一阶张量,时,一阶张量,M =31,矢量;,矢量;当当n=2时,二阶张量,时,二阶张量,M =32,矩阵;,矩阵;当取当取 n 时,时,n 阶张量,阶张量,M
5、3n。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院5 /48张量定义张量定义设(设(a1,a2,a3)、()、(b1,b2,b3)、)、(、(s1,s2,s3)是矢)是矢量,量,Ti1i2in是与坐标选择有关的是与坐标选择有关的3 3n个独立变量,若当个独立变量,若当坐标变换时,坐标变换时,n一次式一次式由一组坐标系变换到另一组坐标系时,研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标系时,研究对象的分量若能按照一定规律变化,则称这些分量的集合为张量。若能按照一定规律变化,则称这些分量的集合为张量。保持不变,则取决于脚标的保持不变,则取决于脚标的3 3n个量个量Ti1i2in
6、 的集合称为的集合称为 n 阶张量阶张量,其中每个元素称为此张量的,其中每个元素称为此张量的分量分量。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院6 /48 在张量的讨论中,都采用下标字母符号,来表示和区在张量的讨论中,都采用下标字母符号,来表示和区别该张量的所有分量。别该张量的所有分量。不重复出现的下标符号称为不重复出现的下标符号称为自由标号自由标号。自由标号在其。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。阶次。重复出现,且只能重复出现一次的下标符号称为重复出现,且只能重复出现一次的下标符号称为哑标哑标
7、号号或或假标号假标号。哑标号在其方程内先罗列,再求和。哑标号在其方程内先罗列,再求和。如不特意说明,今后张量下标符号的变程,仅限于三如不特意说明,今后张量下标符号的变程,仅限于三维空间,即变程为维空间,即变程为3 3。1.2 1.2 指标记法指标记法02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院7 /48矢量矢量V 的方式表示:的方式表示:vi 代表矢量代表矢量V 的所有分量,的所有分量,即当即当V 写作写作vi 时,指标的值从时,指标的值从1到到3变化。变化。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院8 /48 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号
8、应理解为取其变程N内所有数值,然后再内所有数值,然后再求和,这就叫做求和约定。求和,这就叫做求和约定。展开式(展开式(3项)项)展开式(展开式(9项)项)展开式(展开式(27项)项)1.3 1.3 求和约定求和约定02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院9 /4802 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院10 /48关于下标的约定可以总结为以下三条规则:关于下标的约定可以总结为以下三条规则:1.1.如果在一个方程或表达式的一项中,一种下标只出现一次,如果在一个方程或表达式的一项中,一种下标只出现一次,则称之为则称之为自由指标自由指标,这种自由指
9、标在表达式或方程的每一,这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。项中必须只出现一次。2.2.如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标正好出现两如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标正好出现两次,则称之为次,则称之为哑标哑标,它表示从,它表示从1 1到到3 3求和。哑标在其他任何求和。哑标在其他任何项中可以刚好出现两次,也可以不出现。项中可以刚好出现两次,也可以不出现。3.3.如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标出现的次数如果在一个表达式或方程的一项中,一种指标出现的次数多于两次,则是错误的。多于两次,则是错误的。是违约的,求和时要保留求和号是违约的,求和时要保留求和号02 0
10、2 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院11 /48例题:例题:利用求和约定缩写下面线性方程组利用求和约定缩写下面线性方程组解:作为第一步缩写,可以写成:解:作为第一步缩写,可以写成:最后可以缩写为:最后可以缩写为:其中其中i 称为自由标,称为自由标,j 称为哑标。称为哑标。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院12 /48Cij=AikBjk,则表明,则表明i,j为自由指标,为自由指标,k 为哑标为哑标表示表示9 9个方程:个方程:例题:例题:描述描述Cij=AikBjk的意义。的意义。解:解:02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学
11、院土木工程学院13 /48关于求和标号(哑标)说明:关于求和标号(哑标)说明:由于哑指标在求和之后就不再出现,所以哑指标字由于哑指标在求和之后就不再出现,所以哑指标字母可以任意改变。母可以任意改变。求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号。在运算中,括号内的求和标号应在进行其它运算前就在运算中,括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。先求和。02 02 张量概念张量概念哈工大哈工大 土木工程学院土木工程学院14 /48出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线出现双重指标但不求和时,在指标下方加划线 以示区别,或用文字说明(如以示区别,或用文字说
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