应用不变量简化二次曲面的方程.doc

应用不变量简化二次曲面的方程一f删No,:9|西北轻工业学院Dec.1995JOURNALOFNORTHWESTINSTITUTEOFLIGHTR4DUSTRYVo1.13应用不变量简化二次曲面的方程张慧(敦学教研室)摘要末文研究了R空间(欧氏空间)二次曲面在坐标变换下的不变量.应用不变量简化了R空间二次.盐面的一般方程.谈法简单,出结果快,容易掌握.关键词:三连堕鱼;丕童量;垩皇兰;堑堑翌参;特征根中圈法分类号:O182.11前言应用不变量来简化二次曲面的方程在三维空间已经有了套完整的理论.而四维以上空间都是抽象空间,那套理论是否还适用就有待于进一步研究.本文利用线性代数理论研究了R空间二次曲面在坐标变换下的不变量,并利用这些不变量将二次曲面的般方程化成标准形.2二次曲面在坐岳变换下的不变量与半不变量这里的坐标变换指的是广义的平移+旋转.在R空间,二次曲面的般方程是:口】+】12+2a1ts+2d】1.+2aI】+船l+嚣2a+2az?+2a22+口ai+2a”.+2as+口.+.+a=0(1)其中a,J=l,2,3.4,5是实数.引进一些记号:0l,z2,z3,)三a】li+2a11z:-t-2aII3-t-2a1】.+2a15z】+l+2d22z5+2a:.+2a25z2+as3i+2a”3.+2a3s+a|.z2a4+口昨10I2,?)三1l+口】:+1s+14+d】5收稿日期,1g9508一l.第d期张慧;应用不变量简化二伏曲面的方程?93?F20l,02,3,)三dll+.22+.嚣I+.24+d25F3l,2,I,)兰l+.22+.”I+a34:r4+d惦Fl,2,03,4)三nll+.2z+a34Z$+d”4+d.5F50I2,.a,4)兰n1l+a25xz+azs+a45x+.B50l,2,3,)兰dll+ll2+l!Z3+ll+anzi+2s3+22+d3a;+34+d_id1ldl2dI3d】2d22d2315dn”d1d”d34:A=dlldl2d15dldm5dI2d22d2ad24d25al3d豁口”d3_d35_d2ad”d45【.”【.a.a55f表示Ial的所有m阶主子式之和,m一1,2,3,4即f1=dl】+.匏+.33+a4413z+K5=dlldI2dI3dl1d12d1.dI2d黯d荔口l2d拦dd13d2ad3IdI4d2dd1ll2dt5d12ad15da$5d22d嚣d25d2sd33d35d25d35dfi$d1ld”dI5d1zd跎拈013%dnld35+4d筠d35d55d拄d笛d2dl1dIIdI4dndaI“dl3d3ada4d2da_d”dI_dsd”dIl13”l5dI3d3,ddI5da5d晒d2zd2d25d2d”d拍d25d45a55+d22d鹞a24d23d黯a”d”d|a”dz6d35a5dIldIdlEa拍a3Id3sd25d35d45d$fidI_d44dd3a44dI5d15d|5d55d35d5d55口嚣口口+口口L口口+n”口口口口un罅”口口口口+吐”口口口all2Z口口口口11+如口口口口+vr口口;穹口口+口口dll卜;口口】5d口口=,?94?西北轻工业学院第l3卷先证明在移轴下,+0口14l24H口l6口4224244z54l4424口”口4l54口45口+口ll口】34lt4l5口】3口”4”43口】4s4”4”口1543544陆rz,f3,f?,不变,而K,K,K般是要改变的】=Yl-+-口2+b3-+-cY?+d其中a,b,c,d为实常数将F(-I2)写成矩阵形式0l,z,s,?)一0】:3.1)A故F(l+4,+6,3+c,y4+)(】+口2+63+cy.+d1)=(ly030)+(ly:30)Y10s1l+Y2+6Y3+.y?+d1+bcd1)+(4cd1)口14】2口13口】(口,b,c,)4】2a22口232,6,c,d)4】s器33sF3(4,b,c,d)aH4z444F(4,b,c,d)F】23.(目,b,c,d)l2aY?1lz3?0ljSJl(2)(3)(4)其中F一F.0,bd)m一1,2,3,4可见通过移轴(2),二次曲面的方程二次项系数不变,丽f,f,f,只与二次项系数有0口6C1第4期张慧:应用不变量简化=歇曲面的方程?95?关,所以移轴后有,一,m=l,2,3,4口11】2222L323tztF2口】3口”口25口2333I”44F3F.61L口十口】十1sc+I6t2a十口226+23c+嚣t十z36+33C十3十35口1+a24b+3c十口.+5(口,b,c,d)I3口】4口15口232口2.5口53”35”4口46aIF5(口,b,c,d)即移轴后Js也不变.通过移轴还知二次曲面方程一次项的系数一般要改变,而,.都与一次项系数有关,所以K,K,K般是要改变的.由(4)知,只要适当选取a扣,c,方可消去方程(4)中的一次项.事实上,令只要该方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,(这里不讨论两秩不相等的情况),方程组有解,可选其中一组作为(,6).此时方程化为dt1+2aI2l2+2aI蚶】3十2aIII十口啦f;+哪r23十z+口33;+砖.十j+z2,3,)=(j231)口口j23lO口一():)=(叩.)一因为p-LP与相似,根据定理:相似矩阵有相同的特征多项式从而有相同的特征根,知P4.P与有相同的特征多项式和特征根.l一l=一,j十,z一,3+,I加一PAP;=一十,一,十,辑1aI1:l1i2一i2l3一I3,t.一I|,5一口4口ll0llAli口ll口llll口l=4:可见,在转轴下,|,3,一,s都不变.不g两个四次多项式对应系数应相等.计算这些系数便可得=,:z,一,这表明在转轴下,都不变第4期张慧应用不变量简化二狄曲面的方程?97?我们称,j,为上述变换下的不变量,称K,Kz,K,为上述变换下的半不变量.3二次曲面的分类二次曲面(1)通过坐标变换可以化为下面三种类型(I)1i+口+口;+口?i+口,55=001口0)(I)口l+口l+口-22a?=001口50)()其它,(由于篇幅限制,不予讨论)4应用不变量简i-T-次曲面的方程(1)对于(I),因为,=口ll0000d220000口弛0000d44=口11a口a口?0所以原方程,.0.由此可得:当二次曲面(1)的140时,方程可化为(1).此时,1=,=口1+口+口+口442=,一1口,J-口3+口口?+口1口+口1d+口4,3=,一口l口+口口3d+口】口3口44+口la?二次曲面(1)的特征方程是:一I1+I2好一f+ll=0将(7),(8),(9)代E方程解得一口ll=口,=口,=因为5=,=口1口44U=,=,所以口55=15/l于是(,)可写成:,.+i+;十+=0其中,丑为二次曲面(1)的四个特征根.(2)对于(I),因为,.=,50口100000口00000口000000口,.50000=一口5d1口一艘,330(7)(8)(9)0011,”叫和4,13411?98?西北轻工业学院第l3卷所以原的.=0,0,0.由此可得,当二次曲面(1)的,.一0,.0,s0时,方程可化为().此时,J一,=d+d+d,2=,:d】d+d0+d1d13:,:口】d2d二次曲面(1)的特征方程是:一0l+2+d)+(d1”+d2d3+d1d3)一d】d23=0一d】,:d,A=a,丑=0因为,5一,:一dld=-13as所以n一土于是(I)可写成:1+2十3+2z一10化成标准形式.解二次曲面的矩阵与(r,z,rs,z)的矩阵分别是:0lll1l0一ll111011111011lll13O0110lll111一ll0l10+II+II+II+I:I一一sr,V00l1.十卜010+0ll=第d期张慧:应用不变量简化二次曲面的方程?9g?0一l1lOl1l0+045.=315【11【0j卜【_l口t9Oll0ll400O5=l0336O0052l3O360一一,V?1O0?西北轻工业学院第l3卷参考文献1江苏师范学院数学系编.解析几何.北京:高等教育出版社,19952北京大学数学力学系代数小组编.高等代数.北京:人民教育出版社,19783高立芳.东北电力学院,1993,2APPLICATIONOFFIXEDQUANTITIESTOTRANSFORMQUADRATICSURFACEEQUATIONSINT0STANDARDEQUATIONSABs1RACJInthispaper.thefixedquantitesofquadiaticsurfaceinfourdimensionalspaceasllldie0underthecoordinatetrantformationApplicationoffixedquantitiestotransfrIT1.lJadraticsHrfaceequationsintostandardequations-Theexpressiongivenissimpleaadacceptable.Keywords:quadralicsurface;fixedquantityorthogonaltransfor-mation;charact.,tiemljltinomia1.,characteristlevalue