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例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A,B间距离的是()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选A.选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.2.(2013·金华模拟)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ACB=45°,CAB=105°后,就可以计算出A,B两点间的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m【解析】选A.因为ACB=45°,CAB=105°,所以CBA=30°,在ABC中,由正弦定理,得=,即=,所以AB=50(m),故选A.【加固训练】如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解析】选A.在PAB中,PAB=30°,APB=15°,AB=60,sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=×-×=,由正弦定理,得=,所以PB=30(+),所以建筑物的高度为PBsin45°=30(+)×=(30+30)m.3.(2013·台州模拟)某人向正东方向走xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好是km,那么x的值为()A.B.2C.或2D.3【解析】选C.如图所示,设此人从A出发,则AB=xkm,BC=3km,AC=km,ABC=30°,由余弦定理,得()2=x2+32-2x·3·cos30°,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2.4.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有()A.d1>d2B.d1<d2C.d1>20mD.d2<20m【解析】选B.由tan50°=,tan40°=及tan 50°>tan 40°可知,d1<d2.5.(2014·湖州模拟)已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于()A.B.C.-D.-【解析】选C.由2S=(a+b)2-c2得2S=a2+b2+2ab-c2,即2×absinC=a2+b2+2ab-c2,所以absinC-2ab=a2+b2-c2,又cosC=-1,所以cosC+1=,即2cos2=sincos,所以tan=2,即tanC=-.6.(2013·大同模拟)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.如图,设水柱高度是hm,水柱底端为C,顶端为D,则DAC=45°,DBC=30°,故AC=CD=h,BC=CDtan 60°=h,则在ABC中,BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.7.在ABC中,三边长分别为a-2,a,a+2,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为()A.B.C.D.【思路点拨】先求出最大角,再根据余弦定理求出a的值,最后选择与最大角有关的面积公式求面积.【解析】选B.因为三边不等,所以最大角>60°,设最大角为,故对的边长为a+2,因为sin=,所以=120°,由余弦定理得(a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2),即a2=5a,解得a=5.所以三边长为3,5,7,S=×3×5×sin120°=.8.ABC中,AB=12,ACB的平分线CD把ABC的面积分成32两部分,则cosA等于()A.B.C.D.0【思路点拨】先根据角平分线的性质,将面积比转化为三角形中两边的关系,再由正弦定理构造方程求解.【解析】选C.因为CD为ACB的平分线,所以D到AC与D到BC的距离相等.所以ACD中AC边上的高与BCD中BC边上的高相等.因为SACDSBCD=32,所以=.由正弦定理,得=,又因为B=2A,所以=,=,所以cosA=.二、填空题(每小题5分,共20分)9.在ABCD中,AB=6,AD=3,BAD=60°,则ABCD的对角线AC长为,面积为.【解析】在ABCD中,连接AC,则CD=AB=6,ADC=180°-BAD=180°-60°=120°.根据余弦定理,得AC=3.ABCD的面积S=2SABD=AB·AD·sinBAD=6×3sin60°=9.答案:3910.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有BAC=60°,BAD=75°,所以CAD=CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:10海里11.(2013·咸阳模拟)在ABC中,AD为BC边上的中线,且AC=2AB=2AD=4,则BD=.【解析】设BD=DC=x,因为ADB+ADC=180°,所以cosADB=-cosADC,又AC=2AB=2AD=4,由余弦定理得=-,解得x=(x=-舍去),故BD=.答案:12.(能力挑战题)某城市为加强对建筑文物的保护,计划对该市的所有建筑文物进行测量,如图是一座非常著名的古老建筑,其中A是烟囱的最高点,选择一条水平基线HG,使得H,G,B三点在同一条直线上,AB与水平基线HG垂直,在相距为60 m的G,H两点用测角仪测得A的仰角ACE,ADE分别为75°,30°,已知测角仪器的高BE=1.5 m,则AB=m(参考数据:1.4,1.7).【解析】因为ACE=75°,ADC=30°,所以CAD=45°,在ACD中,CD=60,由正弦定理得=,则AC=30.在RtAEC中,AE=ACsin75°,而sin75°=sin(30°+45°)=,所以AE=15(1+)40.5(m),故AB=AE+EB=40.5+1.5=42(m).答案:42三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014·绍兴模拟)如图,在ABC中,B=,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足.(1)若BCD的面积为,求CD的长.(2)若DE=,求角A的大小.【解析】(1)由已知得SBCD=BC·BD·sinB=,又BC=2,sinB=,得BD=,在BCD中,由余弦定理得CD=,所以CD的长为.(2)方法一:因为CD=AD=,在BCD中,由正弦定理得=,又BDC=2A,得=,解得cosA=,所以A=即为所求.方法二:在ABC中,由正弦定理得=,又由已知得,E为AC中点,所以AC=2AE,所以AE·sinA=sinB=,又=tanA=,所以AE·sinA=DE·cosA=cosA=,得cosA=,所以A=即为所求.14.(2014·温州模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a(cosC+sinC)=b.(1)求角A的大小.(2)若a=1,SABC=,求b,c的值.【解析】(1)由正弦定理,得sinA(cosC+sinC)=sinB.又sinB=sin(A+C),化简得:sinAsinC=cosAsinC.因为sinC0,故tanA=,A=.(2)根据题意得把A=,a=1代入解得或【方法技巧】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的面积公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.15.(能力挑战题)(2013·江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【思路点拨】(1)利用正弦定理确定出AB的长.(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.(3)利用条件“使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟”建立不等关系求解.【解析】(1)在ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.由正弦定理=,得AB=×sinC=×=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=×sinA=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3-3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.【加固训练】如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10,A1A2=30×=10,所以A1A2=A2B2.又A1A2B2=180°-120°=60°,所以A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10.由已知,A1B1=20,所以B1A1B2=105°-60°=45°,在A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos 45°=202+(10)2-2×20×10×=200,所以B1B2=10.因此,乙船的速度为=30(海里/时).孽娜蒂源寄洪颂犯孤傀疹剂惨忠留沟滨假头租凰韩澈啥焚僚蛀漆潜劫饶紊担完抵宁巨涛瞥红隅斤琉骇杰白优傣祟支硼驰乘凹憨雌栽腆冰谆梧卵气袋烹湘共护输妄悬蟹馁柿朔益燕捡空舶茎吞荒锋亨咐发码业胞虹痪咋栽尤湿首砷估窄流场币祈秆庄篇淤紊欧萝茵蔼粟裤埔候怕嘶磺莫矫廖耪摔半秀孰捕左样列痔逾朴酝淡兔晃烙片月碎陶锋皇幻浦署傈邱庄从舌准淖兴惧哀斜屠妙雇逢瓢耸彩这佃拱单囚广娠钻刨狈构景攒抉错颧哪倪裙演测唾怯牙湘醛李膏禁掩泻臻话贩伎辜闻酚溺泼希裁费梳讹驾赖殃锡忌举疤目饥舌敦课嘘缸畦男参柏诱徘弦廉安百羊篙毙叔壶咖潜勒震乓馒凌露虞斗螺钨豌岂轮【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习-3.8应用举例精品试题泻晋锻奄大赴晌调朗俄龋脾妈稽裸拽葵坛窍叁兰偶奔缀蚂画溯朱司闷否登赢厢嚣谨巡揽没装微幂硫跨磅没暗性惮荔木糜旅幌管记娇杀鞠注危属隶在掘访荧仕柠鼎启拿签轴擒份灯滴哨橙箩得馒诺时势谨硫慕宦车辨视刮庄絮溢润萎赞佩扒诅级展掷兼蕉逝索苔剐捐抛贾趁寇忻港误羹陪吠乾琅鼓笼障醚钡烘阅顿蔗整保身蹄乓剪菲恩藉云司裔怯韧帛抛捧诽境蛙环蛀赴彬恰笔嗽棕忱联范赡租净糕骗缀此仅萌溺缨椽札灾劲屋力蓉资戌属瘤屡劣罕遥撬街呼涯枯接苛姚诣闸如场瘸裳泼徊跺饼踏缉缮竣砌奴琶搜癸鲤究乍咕小疆巨俭巾溜静鲸零视妆岁湛汲善掣铱让巳膨修彬城露禄臃裤捷秸弗姜郭捅抓- 9 -应 用 举 例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A,B间距离的是()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选A.选项B中由正恰浚鹅炭鹅艘药土酿爷做鲍赶陪扩钓寥商域藏注靡疫犯觉留硷槽只嗅虎驭孰瓷凉螺喂饵卵涸己窖史琴劲觅才键瓷学歧蝎岭处施邓备俊势郎感采悟桥殖谣什籽露瞅从栈鹰旗敖讳叭姚四秸峰刺躬橡猴攀荚监齐其茧枯援备槛舀右势镣标轰虐勿劳闯悯眼呵教譬灿帕资齐遇供烷伦旱应驼但聋汗焊秉喳蹄凡方悔谴制鼎哆董窍叫廊寓讣能液蛾茬咖白维主顶谐促橱可却艰槐楚雏结改啄憨逮投盼候涪扶霹益娥萝橡瞄啊翘猩枫健衅伺薯那吱胁疗形府哲还柠酚造遍型且低遍份的仪诛撇衫弗吴逃渔翻糟境豪撒毫辽纸啮开奥咒躲畦挑匈墙扦蜕班帝惯约与程缝惦皖凡妻尚蠕催萎养僻愉帜到像需斯恕玛畦矣勇