全国高中数学联合竞赛加试(A卷)解答-14版.pdf
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1、2014 年全国高中数学联合竞赛加试全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)卷) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、 (本题满分一、 (本题满分 4040 分)分)设实数满足,. 求证: . 证明证明
2、 1 若,则命题已成立. 若,不妨设,则由知. 我们 有 , 10 分 以及 , 其中式等号在时成立,式等号在时成立,因此,中等号不能 同时成立. 30 分 由于,将,式相乘得 , 即 , , ,a b c1abc+=0abc 1 24 abc abbcca+max , , aa b c=1abc+= 1 3 a 2 1()11 434124 abca abbcca + += 11 () 44 abbccaa bcbc+=+ 111 (1) 444 aabcbcbc=+= 1 3 a = 1 2 a = 1 0 4 abbcca+ 2 1 44 abc abbcca + 1 42 abc ab
3、bcca+ 1 从而 . 40 分 证明证明 2 由于,故中或者一个正数,两个负数;或者三个都是正 数. 对于前一种情形,不妨设,则 , 结论显然成立. 10 分 下面假设,不妨设,则,. 我们有 . 由于, 且, 因此 . 30 分 于是只需证明,即 . 由于,故 . 由平均不等式 . 将,两式相加即得式成立,因此原不等式成立. 40 分 1 24 abc abbcca+, ,a b c 0a ,0b c ()()(1)0abbccab accab acbb+=+=abc 1 3 a 1 0 3 c 1 22 abc ab + = 11 (1)(1) 2222 ccc ccababcc c
4、+ 2 13 44442 cc ccc =+ 2 4 3 0 424 ccccc + 3210c ccc + 1 0 3 c 2 二、 (本题满分二、 (本题满分 4040 分)分) 如图, 在锐角三角形中, 过点 分别作三角形的外接圆的切线,且满足直线与 的延长线分别交于点 设与交于点,与交于点. 证明: 证明证明 1 如图,设两条切线交于点,则结合可 知作的平分线交于点,连接 由知,故与 相似 10 分 由此并结合,及内角平分线定理可得 , 因此 20 分 同理,由此推出 30 分 再结合以及内角平分线定理得到 , ABC60BAC,B C ABC,BD CEBDCEBC=DE ,AB A
5、C,F GCFBDMCEBGN AMAN= ,BD CEKBKCK=BDCE= DEBCBACALBCL,LM LN DEBCABCDFB= FDBDBCBAC= = ABC DFB DEBCBDBC= MCBCBDACLC MFFDFDABLB = LMBF LNCG 180ALMALBBLMALBABLBAL= += += 180CALALCACLALCCLN= += + ALN= BCFG 1 LMLMBF CGCLAB BCCL AB LNBFCG LNBC ACBLBL AC = G F N M ED C B A K L G F N M E D C B A 3 即 故由,得到与全等,
6、因而 ,证毕 40 分 证明证明 2 由于和都是的切线,故. 再由 ,可得四边形是等腰梯形,从而DEBC. 由于,故. 10 分 设三角形的三内角分别为,三条边长分别为, . 由有,可得. 由,可得,故由可得 . 在三角形中,由余弦定理得 . 30 分 用同样方法计算和时, 只需在上述与的表达式, 中将 交换. 而由可见的表达式关于对称,因此,即 ,结论获证. 40 分 LMLN= ALAL=ALMALN= LMLN=ALMALN AMAN= BDECDBCBACECB= = BDCE=BCED BFDABCB= =FDBDBCBACA= = =DFBABC ABC, ,A B CBCa=CA
7、b= ABc=DFBABC FDBDa cbb = ac FD b = BC FD BMBCb MDFDc =BDa= ab BM bc = + ABMABMBA=+ 22 22 2 2 cos() () a babc AMcAB bcbc =+ + 22222 2 2 2 ()2 a babc abc c bcbcab + =+ + () 2222222 2 1 ()()() () c bca bc abcbc bc =+ + () 22342222232234 2 1 2 () b cbcca ba bca cb cb cbcc bc =+ + () 223322222 2 1 2 ()
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- 全国 高中数学 联合 竞赛 加试 解答 14
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