泰勒公式课件.ppt

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1、3 3 泰勒公式泰勒公式 首页首页一一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式二二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式 三三 在近代似计算上的应用在近代似计算上的应用 首页首页一一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式 为此，我们考察任一为此，我们考察任一 次多项式次多项式 我们在学习导数和微分概念时已经知道，我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数如果函数 在点在点 可导，则有可导，则有即在点即在点 附近，用一次多项式附近，用一次多项式 逼近函数逼近函数 时，其误差为时，其误差为 的高阶无穷小量的高阶无穷小量.然而在很多场合，取然而在很

2、多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为式去逼近，并要求误差为 ，其中，其中 为多项式的次数为多项式的次数.首页首页由此可见，多项式由此可见，多项式 的各项系数由其在点的各项系数由其在点 的各阶的各阶导数值所唯一确定导数值所唯一确定.对于一般函数对于一般函数 ，设它在点，设它在点 存在直到存在直到 阶的导数阶的导数.同这些导数构造一个同这些导数构造一个 次多项式次多项式 逐次求它在点处的各阶导数，得到逐次求它在点处的各阶导数，得到即即首页首页 由上面对多项式由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒

3、多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式 在点在点 有相同有相同的函数值和相同的直至的函数值和相同的直至 阶导数值，即阶导数值，即称为函数称为函数 在在 点处的点处的泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)多项式多项式，的各项的各项系数系数 称为称为泰勒系数泰勒系数.首页首页下面将要证明下面将要证明 ，即以（，即以（2 2）式所示的）式所示的泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近 时，其误差为关于时，其误差为关于 的高阶无穷小的高阶无穷小量量.若函数若函数 在点在点 存在直至存在直至 阶导数，则有阶导数，则有 定理定理6.86.8即即 首页首页并易知并易知(析析)要证明要证明(4)(4)式成立式成立,只需证

4、明只需证明 设设则只需证则只需证由关系式（由关系式（3 3）可知，）可知，因为因为 存在，所以在存在，所以在 点的某邻域点的某邻域 内存在内存在 阶导阶导函数函数.于是，当于是，当 且且 时，允许接连使用洛必达法时，允许接连使用洛必达法则则 次，得到次，得到首页首页 定理所证的（定理所证的（4 4）式称为函数）式称为函数 在点在点 处的处的泰勒公式泰勒公式，注注1 1称为称为泰勒公式的余项泰勒公式的余项，形如形如 的的余项称为余项称为佩亚诺（佩亚诺（PeanoPeano）型余项）型余项.所以（所以（4 4）式又称为）式又称为带有佩亚带有佩亚诺型余项的泰勒公式诺型余项的泰勒公式.若若 在点在点

5、附近满足附近满足其中其中 为为(1)(1)式所示的阶多项式，这时并不意味着式所示的阶多项式，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式必定就是的泰勒多项式.注注2 2首页首页不难知道，不难知道，在在 但因但因所以若取所以若取 时，（时，（5 5）式对任何）式对任何 恒成立恒成立.其中其中 为狄利克雷函数为狄利克雷函数.例如例如,处除了处除了 外不再存在其他任何阶导数外不再存在其他任何阶导数.即即 首页首页综合定理综合定理6.8 6.8 和上述注和上述注2 2，若函数，若函数 满足定理满足定理6.86.8的条件的条件时，满足（时，满足（5 5）式要求的逼近多项式）式要求的逼近多项式 只可能是只可能是 的

6、泰勒多的泰勒多项式项式 .以后用得较多的是泰勒公式（以后用得较多的是泰勒公式（4 4）在）在 时的特殊形式：时的特殊形式：它也称为（它也称为（带有佩亚诺余项的带有佩亚诺余项的）麦克劳林麦克劳林（MaclaurinMaclaurin）公式公式.注注3 3 满足（满足（5 5）式要求（即带有佩亚诺型误差）的）式要求（即带有佩亚诺型误差）的 次逼近次逼近多项式是唯一的多项式是唯一的.注注4 4注注5 5首页首页验证下列函数的麦克劳林公式验证下列函数的麦克劳林公式：例例1 1 也可以写作也可以写作 需要说明的是：需要说明的是：由于这里有由于这里有 ，把它们代入公式（把它们代入公式（6 6），便得到），

7、便得到 的麦克劳林公式的麦克劳林公式.（2 2）设）设 ，首页首页由于由于 因此因此关于公式关于公式 (3(3）中的余项可作同样说明）中的余项可作同样说明.（4 4）设）设 .由于由于 因此因此 把它们代入公式（把它们代入公式（6 6），便得），便得 的麦克劳林公式的麦克劳林公式.证证这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明.因此公式中的余项可以写作因此公式中的余项可以写作注注 利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限还可用来求

8、某种类型的极限.首页首页例例 写出写出 的麦克劳林公式或泰勒公式，并求的麦克劳林公式或泰勒公式，并求 与与解解 用用 替换公式替换公式(1(1）中）中x，便得，便得根据定理根据定理6.86.8注注2 2，知道上式即为所求的麦克劳林公式，知道上式即为所求的麦克劳林公式.由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，x98 与与x99的系数分别为的系数分别为由此得到由此得到首页首页例例3 3 求求 在在x=2=2处的泰勒公式处的泰勒公式解解 由于由于根据与例的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式根据与例的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式.因此因此首页首

9、页例例求极限求极限 我们用麦克劳林公式表我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取示极限的分子（取n=4，并利用例）：，并利用例）：因而求得因而求得 解解 本题可用洛必达法则求解（较繁琐），本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应泰勒公在这里可应泰勒公式求解，式求解，考虑到极限式的分母考虑到极限式的分母x4，若函数若函数f在在(a,b)上存在直至上存在直至n n阶的连续导函数，在阶的连续导函数，在 内存内存在在 (n+1)阶导函数，阶导函数，现在我们将现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计体的计算或估计

10、则对任意给的则对任意给的 ，当当 时，逼近误差是较时，逼近误差是较 高阶的无穷小量，高阶的无穷小量，首页首页 使得使得 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 上面我们从微分近似出发，推广得到用上面我们从微分近似出发，推广得到用n次多项式逼近函次多项式逼近函数的泰勒公式（数的泰勒公式（4 4）.它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：定理定理6.96.9（泰勒定理）（泰勒定理）至少存在一点至少存在一点 则则 与与 在在 上上连续连续，在，在 内可内可导导，首页首页析析所要证明的（所要证明的（7 7）式即为）式即为 或或 不妨不妨设设

11、且且 又因又因 所以由柯西中值定理可证得结论成立所以由柯西中值定理可证得结论成立.作辅助函数作辅助函数当当 时，得到泰勒公式时，得到泰勒公式 首页首页（7 7）式同样称为泰勒公式，）式同样称为泰勒公式，所以（所以（7 7）式又称为）式又称为带有拉格朗日型带有拉格朗日型余项的泰勒公式余项的泰勒公式.注意到注意到n=0时，（时，（7 7）式即为拉格朗日中值公式）式即为拉格朗日中值公式 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广.注注3 3 （8 8）式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式）式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.注注1 1 称

12、为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项.注注2 2 它的余项为它的余项为首页首页例例5 5 把例把例1 1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式项的形式.解解 得到得到 得到得到（3）类类似于似于 可得可得首页首页由得到由得到 由得到由得到01,x-1.由得到由得到 0 01,x1,x1 1 是以高阶无穷小是以高阶无穷小量的形式给出的量的形式给出的,是一种定性的描述是一种定性的描述;而拉格朗日型余项成而拉格朗日型余项成立则要求立则要求f在在 上存在直至上存在直至n阶的连续导数，阶的连续导数，泰勒公式的佩亚诺型余项成立的泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条

13、件是函数条件是函数f 在点在点x0存在直至存在直至n阶导数；阶导数；泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有以下不泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有以下不同特点：同特点：注注 从定理的条件看从定理的条件看,在在 内存在内存在 阶导函数阶导函数;后者所需条件比前者强后者所需条件比前者强.从余项形式看从余项形式看,佩亚诺型余项佩亚诺型余项 而拉格朗日型余项是用而拉格朗日型余项是用 阶导数形式给出的阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计函数时产生的误差可以给出定量的估计.从证明方法看从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必

14、达法则证明的佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的;而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的.首页首页首页首页而拉格而拉格朗朗日型余项在近似计算估计误差时用得较多日型余项在近似计算估计误差时用得较多.可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论余项的结论,即若函数即若函数f在点在点x0的某个邻域上存在的某个邻域上存在（n+1）阶连阶连续导函续导函数数,则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式余项公式.从应用方面看从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用得较多佩亚诺型余项在求极限时用得较

15、多;在适当加强的条件下在适当加强的条件下,首页首页三、在近代似计算上的应用三、在近代似计算上的应用 在在4，5两节两节里里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性.例例6 6（1 1）计算）计算e e的值，使其误差不超过的值，使其误差不超过10-6；（2 2）证明数）证明数e e的无理数的无理数.这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用.首页首页解(1)由例由例5 5公式（公式（1 1），当），当x=x=1 1时有时有 故故 当当n=n=9 9时，便有时，便有从而略去从而略去 而求得而求得e的近似值为的近似值为则则 当当时，时，为正整数，为正整数，首页首页倘若倘若 (p,q为为正整数正整数)，从而上式左边为整数，因为从而上式左边为整数，因为 所以当所以当 nn2 2时右边为非整数，矛盾，从而时右边为非整数，矛盾，从而e e只能是无理数只能是无理数.(2)由（由（9 9）式得）式得