高中数学新教材的教学建议.ppt

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1、 实行新课程标准，提高教实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教学质量，教育理念是灵魂，教材建设是关键，教师素质是根材建设是关键，教师素质是根本，课堂教学是核心，教学评本，课堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进价是导向，现代化技术是推进器器.祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生 一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑，一副为谋国家富强人民幸福的心肠 张孝达 数学知识是人类认识的一种成果，包括人对周围事物“数”与“形”方面的经验和“有秩序的论理体系”两个方面。当前，人们把数学知识分为明确知识（如数学事实、数学原理等）和默会知识（如

2、数学思想方法、解决问题的策略等），这是比较科学的；数学知识、技能类化（系统化、概括化）的结果就成为数学能力；一个人数学素养的高低，主要体现在是否能“数学地看问题数学地看问题”和“数学地思维数学地思维”。数学知识和数学能力是数学素养的基本要素数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式，属实践活动范畴，更容易操作与评价离开数学能力，数学素养在数学活动中就无从表现、观察、确证和把握 在数学活动中体现的数学素养对数学知识具有决定性依赖关系，数学知识在人的整体素质方面有不可替代的基础性地位数学知识的获得主要依赖于学校教育的系统传授这样，人在数学上的发展才得以突破个体经验的局限，学会分析和理解数量与空间关系

3、具有理解自然和洞察社会的能力，养成数学地思考和行动的习惯个体数学素养的高低，取决于他所占有的数学知识的广度与深度，正是在数学知识的学习和应用过程中，个体才建构了自己的数学认知结构及相应的数学思考和行为习惯 数数学学教教育育方方法法的的核核心心是是学学生生的的再再创创造造.教教师师不不应应该该把把数数学学当当作作一一个个已已经经完完成成了了的的形形式式理理论论来来教教，不不应应该该将将各各种种定定义义、规规则则、算算法法灌灌输输给给学学生生，而而是是应应该该创创造造合合适适的的条条件件，让让学学生生在在学学习习数数学学的的过过程程中中，用用自自己己的的体体验验，用用自自己己的的思思维维方式，重

4、新创造有关的数学知识方式，重新创造有关的数学知识.FreudenthalFreudenthal M.Kline 在西方文化中的数学中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵数学的理性精神被看成西方文明的核心数学的理性精神被看成西方文明的核心对数学价值的认识对数学价值的认识 数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响 数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工

5、 具和语言具和语言 纯粹数学的重要作用纯粹数学的重要作用u向向被被教教育育者者提提供供参参与与社社会会生生活活与与建建设设必必要要的的数数学基础知识和基本技能学基础知识和基本技能教教育育上上的的启启示示u向向被被教教育育者者提提供供必必要要的的智智能能训训练练和和思思维维工工具具，提高思维水平提高思维水平u向被教育者展示并使其认识数学在人类社会发展向被教育者展示并使其认识数学在人类社会发展中的独特而重要作用中的独特而重要作用u向被教育者提供提出问题、思考问题、解决问题向被教育者提供提出问题、思考问题、解决问题的机会的机会传统观念：上上课课就就是是不不折折不不扣扣执执行行教教案案或或者者事事先先

6、设设定定的的教教学学思思路路的的过过程程，教教学学活活动动是是教教师师主主导导的的独独角角戏戏，而而且且主主要要是是完完成成知知识识传传授授而而不不需需顾顾及及学学生生情情感感的的独独角戏角戏.新的教育理念：教教学学过过程程是是展展示示学学生生的的过过程程，是是让让学学生生展展示示的的过过程程.焕焕发发出出生生命命活力的课堂才是理想的课堂活力的课堂才是理想的课堂.改进学生学习方式是数学教育改革的核心我国的数学教育比较强调教师的传授，强调经过学生艰苦努力，反复的练习而达到对数学知识的理解，而对学生的自主探究、合作交流等重视不够，学生学得比较被动所以，把发挥学生主动性，变被动学习为主动学习，重视学

7、生亲身实践，给学生提供探索的空间，使数学学习过程成为学生在自己已有经验（包括数学的和非数学的）基础上的主动建构过程等作为改革的重点，有现实意义 然而，改进学生学习方式并不等于排斥接受学习实际上，接受学习并不一定就是被动的“举一反三”“融会贯通”“触类旁通”等都是能动的接受学习的写照学习方式的被动或主动，关键并不在于它是“接受的”还是“发现的”，而在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度v提高数学素养提高数学素养课堂教学总的要求：v提供知识背景提供知识背景v创设问题情境创设问题情境v展示思维过程展示思维过程v培养数学能力培养数学能力高中数学新教材的教学建议高中数学新教材的教学建议一、从几个案例谈

8、起一、从几个案例谈起二、数学教学指导思想二、数学教学指导思想三、数学教学的若干策略三、数学教学的若干策略四、充分利用教科书提供的平台四、充分利用教科书提供的平台五、教学设计要点五、教学设计要点六、几点思考六、几点思考 高中阶段数学课程要从提高民族的数学素养出发，内容的选择要适合社会的需求、时代的发展，充分体现基础性、时代性不仅应该关注知识、技能，而且还要关注过程、方法、解决问题的能力，以及学生的情感、态度、价值观一句话，要提高学生的数学素养关于教育目标 新课程明确提出要实现三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，构建起课堂教学比较完整的目标体系，由以知识本位、学科本位转向以学生的发

9、展为本，真正对知识、能力、态度进行了有机整合，体现了对人的生命存在及其发展的整体关怀.数学具有抽象性、严谨性、广泛适用性和高度精确性的特点。通过数学教育，可以让学生学会数学基础知识，掌握处理问题的数学工具；培养几何直观能力、分析思考能力、逻辑推理能力和计算能力等；潜移默化地培养理性精神：实事求是的态度，正直诚实的品格，追求真理的勇气和信心，寻求一般性模式、追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯，追究逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识，等等 数学教育目标还是从数学基础知识、基本技能、数学能力和理性精神（即双基、能力和理性精神）进行界定更能反映数学学科特点，同时也能体现显性目标（“双基”）与隐性目标

10、数学能力、理性精神）并重，层次清晰，易于把握，可操作性强，容易使隐性目标融合在显性目标中而得到具体落实。新课标初中数学的六个核心概念数感、符号感、空间观念、统计观念、数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力应用意识、推理能力新课标初中数学的四个内容领域数与代数、空间与图形、统计与概率、数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用实践与综合应用新课标初中数学的总体目标可细化为知识与技能、数学思考、解决问题、知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度情感与态度关于初中数学高中数学教科书的特点高中数学教科书的特点在内容处理上，力图做到在内容处理上，力图做到“入口浅，寓意深入口浅，寓

11、意深”在结构设计上，注重在结构设计上，注重整体贯通、互相联系整体贯通、互相联系教科书给学生留有足够的空间，促进学生主动参与教科书给学生留有足够的空间，促进学生主动参与教科书为教师留有较为广阔的空间，促进教师创造新的教科书为教师留有较为广阔的空间，促进教师创造新的教学范式教学范式教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生发展提供帮助，为学生的不同发展提供较大的选择空间帮助，为学生的不同发展提供较大的选择空间 教科书突出数学本质，返璞归真，教科书突出数学本质，返璞归真，适度形式化适度形式化教科书注重现代信息技术与课程的整合教科书注重现代信息技术与课程的

12、整合教科书努力体现数学的文化价值，提升学生的人文素养教科书努力体现数学的文化价值，提升学生的人文素养关于高中高中数学教材回顾反思回顾反思问题情境问题情境 学生活动学生活动 意义建构意义建构数学理论数学理论数学运用数学运用提出问题提出问题体验数学体验数学感知数学感知数学建立数学建立数学理解数学理解数学应用数学应用数学内容组织主要形式问题情境问题情境：包括实例、情景、问题、叙述等：包括实例、情景、问题、叙述等 意图：意图：提出问题提出问题学学生生活活动动：包包括括观观察察、操操作作、归归纳纳、猜猜想想、验验证证、推推理理、建建立立模模型型、提提出出方方法法等等个个体体活活动动，也也包包括括讨讨论论

13、合合作作、交交流流、互互动动等等小小组活动；组活动；意图：意图：体验数学体验数学意意义义建建构构：包包括括经经历历过过程程、感感受受意意义义、形形成成表象、自我表征等表象、自我表征等.意图：意图：感知数学感知数学数数学学理理论论：包包括括概概念念定定义义、定定理理叙叙述述、模模型型描述、算法程序等描述、算法程序等 意图：意图：建立数学建立数学数数学学运运用用：包包括括辨辨别别、解解释释、解解决决简简单单问问题题、解决复杂问题等解决复杂问题等 意图：意图：运用数学运用数学回回顾顾反反思思：包包括括回回顾顾、总总结结、联联系系、整整合合、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等拓广、创新、凝缩（由过程

14、到对象）等 意图：意图：理解数学理解数学一、从几个案例谈起函数与基本初等函数函数与基本初等函数 数学中的转折点是笛卡尔的变数有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学 -恩格斯 函数概念是近代数学思想之花 -托马斯名人名言名人名言 本章开始给出三个背景例子（人口统计表，自由落体运动公式，温度曲线图）通过对这三个例子的共同特征的分析，引出函数概念进而利用这三个例子，研究函数的三种表示法和函数的性质此后，给出函数的应用，指数函数、对数函数等在学生获得函数的一般研究方法后，又回到开头所提出的问题中，建立模型解决问题，整个内容一气呵成其主线是函数概念与性质，而入口是学生非常熟悉的情景简单的

15、情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，并引出了函数的整个内容与研究方法学生在这三个例子的反复学习中，不仅对函数概念与性质的理解不断加深，而且获得数学研究的一般方法：背景背景 数学数学 应用应用设计意图设计意图 事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化 清晨，太阳从东方冉冉升起；清晨，太阳从东方冉冉升起；温度随时间在悄悄地改变；温度随时间在悄悄地改变；随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖；中国的国内生产总值逐年增长；中国的国内生产总值逐年增长；在所有这些变化着的现象中，都存在在所有这些变化着的现象

16、中，都存在在着两个变量当一个在着两个变量当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化变量变化时，另一个变量随之发生变化章首语章首语 怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？这样的数学模型具有怎样的特征？如何借助这样的模型来进一步描述和解释我 们周围的世界呢？新新授授课课内内容容呈呈现现前前的的辅辅助助性性问问题题要要抓抓住住新新旧旧知知识识的的联联系系，从从学学生生原原有有认认知知结结构构中中相相关关联联的的观观念念出出发发，通通过过辅辅助助性性问问题题的的铺铺垫垫，激激活活新新知知识识的的生生长长点点，促促进进知知识识的的正正迁迁移移新新授授课课内内容容的的呈呈现现要要尽尽可可能能从从学学生生熟熟

17、悉悉的的问问题题情情境境出出发发，密密切切联联系系学学生生的的生生活活实实际际，丰丰富富学学生生的的亲亲身身感感受受与与体体验验，同同时时加加强强学学生生的的应用意识应用意识案例案例1 1 函数的概念函数的概念提出问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念的？在初中我们是如何认识函数这个概念的？(一)问题情境 教师提出本节课的研究课题：在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识.(二)学生活动1让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一部分，教师出示教材中的三个例子，并提出问题22问题2：在在上上面面的的例例子子中中，是是否否确确定定了了函函数

18、数关系？为什么？关系？为什么？通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题1函数的传统定义：变量的观点f(t)，t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24/0Ct/h2(三)建构数学1.建构问题3：如如何何用用集集合合的的观观点点来来理理解解函函数数的的概念？概念？问题4：如如何何用用集集合合的的语语言言来来阐阐述述上上面面3 3个个例子中的共同特点？例子中的共同特点？结论：函函数数是是建建立立在在两两个个非非空空数数集集之之间间的的单值对应单值对应12反思（1）结论是否正确地概括了上面例子的共同特征?（2）比较上述认识

19、和初中函数概念是否有本质上的差异？（3）一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？（4）进一步，你能举出一些“函数”的例子吗？它们具有上述特征吗？（作为例子，可以讨论课本（作为例子，可以讨论课本P24P24练习）练习）一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B的一个函数(function)，通常记为yf(x)，x A其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域(domain)问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念

20、如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素函数的要素函数的要素函数的要素(四)数学理论函数的近代定义：集合语言、对应的观点(五)总结反思1“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？2你认为对一个函数来说，最重要的是什么？在函数性质的教学中，首先引导学生体会函数作为描述客观世界变化规律的数学模型，只要认识了函数的性质，相应的现实问题的变化规律也就被把握住了；对于运动变化问题，最基本的就

21、是要描述变化的快或慢、增或减相应的，函数的重要特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，函数的增长率、衰减率，函数增长（减少）的快与慢，函数的零点，函数（图象）对称性（奇偶性），函数值的循环往复（周期性）等等。通过这样的教学使学生明确函数性质所要研究的问题，从而明确学习方向明确学习方向。在研研究究方方法法上，可以提醒学生注意利用函数图象，用几何直观、数形结合的思想来指导研究，例如可以通过“三步曲”：观察图图象象，描述变化规律（上升、下降）；结合图、表，用自自然然语语言言描述变化规律（y 随 x 的增大而增大或减小）；用数学符符号号语语言言描述变化规律，逐步实现用精精确确的的数数

22、学学语语言言刻画函数的变化规律。(一一)问题情境问题情境1 1情境：第情境：第2.1.12.1.1开头的第三个问题；开头的第三个问题；2 2问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？你在图象中，读到哪些信息？你在图象中，读到哪些信息？怎样用数学语言刻画上述时段内怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一特征？案例案例2 函数的单调性函数的单调性10O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24/0Ct/h2（1）yxOy2x1，xRy(x1)21，xR（2）y

23、xO112(二二)学生活动学生活动问题问题1 1：观察下列函数的图象（如图观察下列函数的图象（如图1 1），指出），指出 图象变化的趋势图象变化的趋势问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？的意思吗？在某一区间内，在某一区间内，当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y也增大也增大 图象在该区间内呈上升趋势图象在该区间内呈上升趋势 当当x x的值增大时，函数值的值增大时，函数值y y反而减小反而减小 图象在该区间内呈下降趋势图象在该区间内呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性(三三)建构数学建构数学 问题问题3：如何用数学语言来准确地表

24、述函数的单如何用数学语言来准确地表述函数的单 调性呢？调性呢？怎样表述在区间（0，+）上当x的值增大时，函数y的值也增大？能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大?能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+)上随着x的增大，函数值 y 也随着增大?无限个呢？通通过过讨讨论论，结结合合图图(2)(2)给给出出 f f(x x)在在区区间间I I上上是是单单调增函数的定义调增函数的定义 如果对于区间如果

25、对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大问题4：如何定义单调减函数如何定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间的概念 (四四)数学理论数学理论函数的单调性是函数的函数的单调性是函数的“局部性质局部性质”，它与区间密切相，它与区间密切相关关(五五)数学运用数学运用1例题例题例例例例1 1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）yx 22；（2）提问：能不能说，函数 (x0)在整个定义域上是单调减函数？引导讨论，

26、从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论（如取x1=1，x2=2）例2 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数：（1 1）y y(x x1)1)2 2 （2 2）y y=|=|x x1|1|1 12 2练习练习练习第练习第1 1、第、第2 2、第、第5 5题题(六）回顾小结六）回顾小结 本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法 问题情境问题情境学生活动学生活动建构数学建构数学 数学理论数学理论数学应用数学应用回顾小结回顾小结对案例的分析对案例的分析与教材编写的程序是一致的。与教材编写的程序是一致的。从课（例题）到章到学科从课（例题）到章到学科1课例展开

27、的程序（模式）案例案例1 1 函数的概念函数的概念 问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念 的？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3如何用集合的观点来理解函数的概念？2问题串问题问题4 4如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面如何用集合的语言来阐述上面3 3个例子中的共个例子中的共个例子中的共个例子中的共 同特点同特点同特点同特点?(1)(1)结论是不是正确地概括了例子的共同特征？结论是不是正确地概括了例子的共同特征？(2)(2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？(3)(3)一次函数

28、二次函数、反比例函数等是否也具有一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有 上述特征？上述特征？(4)(4)进一步地，你能举出一些进一步地，你能举出一些“函数函数”的例子吗？的例子吗？问题问题5 5如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？问题问题6 6你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？案例案例2 函数的单调性函数的单调性问题问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下说出气温在哪些时间

29、段内是升高的或下 降的？怎样用数学语言刻画降的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大随着时间的增大气温逐步升高气温逐步升高”这一特征？这一特征？问题问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势的趋势（从图象中，你读到了哪些信息？从图象中，你读到了哪些信息？）问题问题2：你能明确说出你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？的意思吗？问问题题3：如如何何用用数数学学语语言言来来准准确确地地表表述述函函数数的的单单调性呢？调性呢？能不能说，由于x1时，y3；x2时，y5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？能不能说，由于x1，2，3，4，5，时，

30、相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增大，函数值 y 也随着增大？如果有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足y1 y2y3 yn能不能就说在区间(0，+)上随着x的增大，函数值 y 也随着增大?无限个呢？通过讨论，结合图（2）给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义问题问题4：如何定义单调减函数？如何定义单调减函数？教教学学的的艺艺术术全全在在于于如如何何恰恰当当地地提提出出问题和巧妙地引导学生作答问题和巧妙地引导学生作答 开课敲响开课敲响“第一锤第一锤”续课奏出续课奏出“最强最强音音”结课留下结课留下“满口香满口香”如果对于区间如果对于区间(o，+)上上任意任意两个值两个值x1和

31、和 x2，当，当x1 x2时，时，都有都有y1 y2，那么可以说随着，那么可以说随着x 的增大，函数值的增大，函数值y 也增大也增大 设设计计好好一一个个初初始始问问题题就就从从根根本本上上设设计计好好了了一一节节课课，因因为为学学生生解解决决初初始始问问题题的的活活动动是是按按照照一一定定的的规规律律展展开开，可可以以说说，在在初初始始问问题题确确定定以以后后，课课的的大大体体发发展展方方向向和和框框架就已经确定了架就已经确定了它是会按照自身的逻辑展开的它是会按照自身的逻辑展开的 教教师师在在设设计计好好初初始始问问题题(以以及及提提出出问问题题的的方方案案)，准准备备好好概概略略性性解解决

32、决方方案案(不不止止一一个个)和和几几种种适适应应学学生生状状况况的的思思维维模模式式以以后后，再再重重点点地地弄弄清清关关键键部部分分的的细细节节，就就可可以以去去上上课课了了当当然然，在在上上课课时时你你可可能能会会遇遇到到不不少少意意外外的的情情况况,但但是是只只要要坚坚持持过过程程性性教教学学原原则则，不不回回避避问问题题和和矛矛盾盾，只只要要熟熟悉悉并并应应用用数数学学文文化化的的规规范范，就就一一定定会会上上好好课课而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性 课课堂堂提提问问是是在在课课堂堂教教学学过过程程中中，根根据据教教学学内内容容、目目的的、

33、要要求求设设置置问问题题进进行行教教学学问问答答的的一一种种形形式式它它是是教教学学过过程程的的有有机机组组成成部部分分，是是整整个个教教学学过过程程推推进进和和发发展展的的重重要要动动力力,是是影影响响课课堂堂教教学学的的重重要要因因素素之之一一它它具具有有强强化化知知识识信信息息的的传传输输、评评价价学学生生学学习习的的状状态态、调调控控课课堂堂教教学学的的进进程程、激激发发思思维维活活动动的的开开展展、沟沟通师生感情的交流等多项功能通师生感情的交流等多项功能 3重视思维活动重视问题在数学教学中的作用教学过程就是提出问题和解决问题的过程重视提出问题的过程重视对解决问题过程的调控4重视突出学

34、科的结构 从章到节到问题 模式化的方法和程序415 平面上两点间的距离 已知A(1,3)，B(3,2)，C(6,1)，D(2,4)，四边形ABCD是否为平行四边形？除了用对边是否平行的判定方法，还可以通过对边是否相等来判别下面我们先计算点 A(1,3),B(3,2)间的距离.转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到一般特殊到一般 由此我们得到平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点间的距离公式严格证明严格证明得到结论得到结论案例案例3 直线与方程直线与方程 现在我们再来考察本小节开头的问题由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以，只需说明对角线AC 和BD的中点相同，即可推得四边形ABC

35、D是平行四边形 怎样来求线段AC 中点的坐标呢？转化到坐标轴转化到坐标轴特殊到一般特殊到一般类比猜想类比猜想严格证明严格证明 一般地，对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0)，则A(1,3),C(6,1)AC 中点为中点为第一步证明方法凸现解析几何的基本思想证明方法凸现解析几何的基本思想第二步416 点到直线的距离 （活动课的设计）我们已经证明了图4123中的四边形ABCD为平行四边形，如何计算它的面积呢？方法1 作垂线，得交点，转化为两点间距离方法2 作坐标轴的平行线，构造直角三角形，转化为 斜边上的高 用两点间的距离公式可求得AB=，因此

36、只要知道AB边上的高，即点D(或点C)到直线AB的距离，就能算出这个平行四边形的面积 如何计算点D到直线AB：5x4y70 的距离呢？用方法2 严格证明公式“旁白”：当A0，B0时，公式也成立时，公式也成立进一步提出“思考”：你还能通过其它途径求出点P 到直线 l 的距离吗？一般地，对于直线 l：A xB yC=0(A0，B0)和直线外一点P(x0，y0)，点P 到 l 的距离为例1 直接应用公式求点到直线的距离例2 求平行线间的距离 （转化）例3 解析法证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高应应用用 世世界界充充满满着着变变化化，有有些些变变化化几几乎乎不不被被人人们们

37、所所感感觉觉，而而有有些些变变化化却让人们发出感叹与惊呼例如却让人们发出感叹与惊呼例如 苏苏州州市市2004年年4月月20日日最最高高气气温温为为33.4，而而此此前前的的两两天天，4月月19日日和和4月月18日日最最高高气气温温分分别别为为24.4和和18.6，短短短短两两天天时时间间，气气温温“陡陡增增”14.8，闷闷热热中中的的人人们们无无不不感感叹叹：“天天气气热热得得太太快快了了！”但但是是，如如果果我我们们将将该该市市2004年年3月月18日日最最高高气气温温3.5与与4月月18日日最最高高气气温温18.6进进行行比比较较，我我们们发发现现两两者者温温差差为为 15.1，甚甚至至超

38、超过了过了14.8而人们却不会发出上述感叹而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢？这是什么原因呢？原来前者变化得原来前者变化得“太快太快”，而后者变化得，而后者变化得“缓慢缓慢”用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？这样的数学模型有哪些应用？这样的数学模型有哪些应用？只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动态，而且也表明过程：运动 恩格斯恩格斯 案例案例4 导数及其应用导数及其应用2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T()t

39、天天)图图4-1-1210 如何量化陡峭程度呢？如何量化陡峭程度呢？容易看出容易看出B，C之间的曲线较之间的曲线较A，B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡峭陡峭”陡峭的程度反映了气温变化的快与慢陡峭的程度反映了气温变化的快与慢4.1.1平均变化率平均变化率 在在前前面面的的案案例例中中，“气气温温陡陡增增”的的数数学学意意义义是是什什么么呢呢？为为了了弄弄清清这这个个问问题题，我我们们先先来来观观察察下下面面的的气气温温曲曲线线图（以图（以3月月18日作为第一天）日作为第一天）例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率7.522.528.512

40、24t(月月)W(kg(kg)图图4-1-2甲甲乙乙图图4-1-3例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图)，t秒钟后容器甲中水的体积为 V(t)=5e0.1t(单 位 cm3)，计算第一个10 秒内V 的平均变化率 例3 已知函数f(x)=x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率(1)(1，3)；(2)(1，2)；(3)(1，1.1)；(4)(1，1.001)例4 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=2x，分别计算在下列区间上函数f(x)及g(x)的平均变化率（1）(3，1)；（2）(0，5)4.1.2 瞬时变化率瞬时变化率-导数导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？

41、P放大放大再放大再放大PP 为了研究曲线上某一点P处的变化趋势，我们将点P附近的曲线放大后进行观察我们发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现点P附近的曲线看上去几乎成了直线事实上，如果继续放大，可以发现点P附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线L，该直线L是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线1 1曲线上一点处的切线 因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PPP放大放大再放大再放大PP 既然点P附近的曲线被看作直线L，从而，该直线L的斜率便量化了曲线经过

42、点P时上升或下降的“变化趋势”怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L呢？如图4-1-7，设Q为曲线C上另一点，随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ（又称割线）在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线L，这条直线L也称为曲线在点P处的切线 有了割线逼近切线的方法，我们可以来计算曲线上一点处切线的斜率 例1 已知f(x)=x2，求f(x)在x=2处的切线斜率2瞬时速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比，称为平均速度平均速度是物体运动快慢程度的量化，但它是针对某一时间段而言的在变速运动中，每一时刻的速度都是不同的，那么如何精确刻画每

43、一时刻的速度呢？例2 10米高台跳水，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的假设t秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=4.9t2+6.5t+10，试确定t=2秒时运动员的速度为多少？例3 设一辆轿车在高速公路上作匀加速直线运动，假设t秒时的速度为v(t)=t2+3求t=t0秒时轿车的加速度3导数 前面的实际问题都涉及了一个相同的数学模型导数：设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0 (a，b)，当x无限趋近于0时，比值 则称f(x)在点 x=x0 处可导，并称该常数A为函数f(x)在点x=x0处的导数（derivative），记作 f(x0)若f(x)对于区间(a，b)内

44、任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为的导函数，记作f(x)二、教学指导思想二、教学指导思想1 1数学教学的基本目标是促进学生的发展数学教学的基本目标是促进学生的发展数学的价值数学的价值数学的价值数学的价值 工具价值工具价值工具价值工具价值 思维价值思维价值思维价值思维价值 文化价值文化价值文化价值文化价值数学教育的价值数学教育的价值数学教育的价值数学教育的价值 知识知识知识知识 能力能力能力能力 精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）精神品格（观念）2 2数学教学是师生双边活动的过程数学教学是师生双边活动的过程数学教学活动

45、应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历数学教学活动应是学生经历“数学化数学化数学化数学化”、“再创再创再创再创造造造造”的活动过程的活动过程的活动过程的活动过程教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是学生的合作者学生的合作者学生的合作者学生的合作者因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生因势利导地帮助学生创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维创设问题情境，激活学生的思维帮助学生进行思维的

46、监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思帮助学生进行思维的监控和反思.情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励情感上对学生给予鼓励,帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心帮助学生树立克服困难的信心现代数学文化的代表现代数学文化的代表现代数学文化的代表现代数学文化的代表在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生会潜移默化地影响学生会潜移

47、默化地影响学生会潜移默化地影响学生.3 3数学教学是数学文化背景下的思维活动数学教学是数学文化背景下的思维活动数学教学是思维活动的教学数学教学是思维活动的教学数学教学是思维活动的教学数学教学是思维活动的教学数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；数学的价值、教学的价值是由思维活动产生的；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；思维活动是数学活动的主体；数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数学思维是数学文化传统下的思维数

48、学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学文化传统形成了数学思维的规范；数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化数学观念、思维方式的形成过程可以看成是对数学文化的传承；的传承；的传承；的传承；思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观继续和创新继续和创新继续和创新继续和创新三、数学教学的若干策略三、数学教学的若干策略总策略：促使学

49、生形成积极主动、勇于探索的学习方式 1 1以问题为中心以问题为中心数学的心脏数学的心脏数学活动的载体数学活动的载体数学思维活动的成果数学思维活动的成果数学发现模式和数学教学程序数学发现模式和数学教学程序 问题背景问题背景建构数学模式建构数学模式运用模式解决问题运用模式解决问题 问题背景问题背景问题背景问题背景学生活动学生活动学生活动学生活动建构数学建构数学建构数学建构数学 数学理论数学理论数学理论数学理论数学运用数学运用数学运用数学运用回顾反思回顾反思回顾反思回顾反思2突出数学的基本结构知识结构知识结构思维结构思维结构数学思想和数学观念数学思想和数学观念数学整体的价值数学整体的价值 (立体几何

50、结构图立体几何结构图)核心概念核心概念胚胎和生长点胚胎和生长点逻辑的发展逻辑的发展例子（解析几何、三角函数）例子（解析几何、三角函数）四、充分利用教科书提供的平台弄清教材的定位和特点突出学科的核心概念突出学科的基本方法准确掌握教学要求例子例子三角函数三角函数解析几何解析几何立体几何立体几何老教材的引言老教材的引言三角函数：教材的定位三角函数：教材的定位实验教材实验教材1 1提供背景：广泛存在的周期性现提供背景：广泛存在的周期性现象，象，提出问题：如何用数学的方法来提出问题：如何用数学的方法来刻画这种变化的规律？刻画这种变化的规律？明确任务：研究三角函数明确任务：研究三角函数(刻画刻画周期性变化