招考数学复习-米勒最值问题.pdf
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1、 运用米勒定理简解最大角问题运用米勒定理简解最大角问题 米勒问题和米勒定理米勒问题和米勒定理 1471 年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位,视角最大?最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目, 因为德国数学家米勒曾提出这类问题,因此最大视角问题又称之为“米勒问题”,更一般的米勒问题如下: 米勒问题米勒问题: 已知点A、B是MON的边OM上的两个定点, 点C是边ON上的动点,则当C在何处时,ACB最大? 对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。 米勒定理米勒定理:已知点A、B是
2、MON的边OM上的两个定点,点C是边ON上的一动点,则当且仅当ABC的外圆与边ON相切于点C时,ACB最大。 证明证明:如图,设C、C是边ON上不同于点C的任意两点,因为AC B、AC B均是圆外角,ACB是圆周角, 易证AC B、AC B均小于ACB, 故ACB最大。 根据切割线定理得,2OCOA OB,即OCOA OB,于是我们有:ACB最大 等 价 于ABC的 外 接 圆 与 边ON相 切 于 点C, 等 价 于2OCOA OB等 价 于OCOA OB。 NMCCCOBA 关于切割线定理:如图,过O外一点画圆的一条切线PC和一条割线PB,交O于另一点A,则有2PCPA PB(读者可利用相
3、似自行证明) 例题: (1)如图 1,点 A,B 在MQN 的边 QM 上,过 A,B 两点的圆交 QN 于点 C,D. 点 E 在线段 CD 上(异于点 C,D) ,点 F 在射线 DN 上(与点 D 不重合).试证明AEBAFB; 点 P 从 Q 点出发沿射线 QN 方向运动,你能发现在这个运动过程中APB 的大小是如何变化的?APB 的度数能取到最大值吗?如果能,说出点 P 的位置; (2)如图 2,点 A 与点 B 的坐标分别是(1,0) , (5,0) ,当点 P 在 y 轴上移动时,APB是否有最大值?若有,请直接写出点 P 的坐标;若没有请说明理由。 OCBAP 练习 1:先阅读
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