王高雄版《常微分方程》部分习题解答习题1.2.docx

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1、习题1.21 .包=2xy,并满足初始条件：X=,y=l的特解。ax解：=2xdx两边积分有：InIyl=X2+cyy=er+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，C=O时，y=0原方程的通解为y=cex2,=0y=l时c=1特解为y=J2 .y2dx+(x+l)dy=O并求满足初始条件：x=0,y=l的特解。解：y2dx=-(x+l)dydy=-Ldx2x+1两边积分：一二lnx+l+lncy1ylnc(x+l)另外y=0,x=-l也是原方程的解x=0,y=l时c=e特解:y=InlC(X+1)Idy_ly2dxxy+xiy解：原方程为：虫=上上一LTdxyx+xyx+x3两边积分：x(l

2、x2)(l+y2)=cx24. (l+x)ydx+(l-y)xdy=O解：原方程为：LUdy二四dxyX两边积分：InlXyl+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5. (y+x)dy+(x-y)dx=O解：原方程为：dy_x-ydxx+y令工=U那么生=u+x也代入有：XdxdxM+l1-du=dxu+1xln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctg义.X6. X-y+Jx2-y2=Odx解：原方程为：=2+1!/1-(2)2axXXX那么令，U包=u+X业XdXdXIdu=sgnxdxi三7XVarcsin=sgnxlnx+cX7. tgydx-

3、ctgxdy=0解:原方程为：-=-tgyctgx两边积分：InlSinyl=-InlCOSXHnlClsiny=一!一=一另外y=0也是原方程的解，而C=O时，y=0.CCOSXCOSX所以原方程的通解为Sinycosx=C.dxy解：原方程为：上二Jedxy2e3-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：=2In-dxXX人y对，/dydu令J=U,那么=u+xXdxdxduu+X=ulnudxIn(lnu-l)=-lncx解：原方程为：-=ee-vdxev=ce,dy11=(x+y)dx解：令x+y=u,那么 =也dx dxdu=dxl+u2arctgu=x+ca

4、rctg(x+y)=x+cdx(+y).rl.dydudx dx解：令x+y=u,那么上=-1du11=rdxu2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13dy=2x-y+ldxx-2y+解：原方程为：(x-2y+l)dy=(2x-y+l)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=Odxy-d(y2-y)-dx2+x=c2l2xy-y+y-x-x=c为jy+5dxx-y-2解：原方程为：(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 212dxy-d(-y2+2y)-d(-x2+5x)=Oy2+4y+x2+10x-2xy

5、c.15:=(x+1)2+(4y+l)2+8xy+ldx解：原方程为：(x+4y)2+3afdydu令x+4y=u那么=dx4公41du12=u+34dr4du7=4u2+13dx3,U=ytg(6x+C)-l,2tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程土电=f(xy),经变换xy=u可化为变量别离方程，并由此求以下方程:ydx221) y(l+xy)dx=xdy.、Xdy2+2y2Z)=,ydx2-x2y2证明：令Xy=U,那么X虫y=-dxdx那么上=-二,有：dxXdxXXdUC=f(u)+1Udx1 1du=dx(/()+1)所以原方程可化为变量别离方程。、a，dy1duu

6、1)令Xy=U那么=-(1)dxXdxx原方程可化为：?(xy)2(2)dxXi,.1,、1duuu7将1代入2式有：一下-f=(1+J)XdxXXu=yju2+2+cx17 .求一曲线，使它的切线坐标轴间的局部初切点分成相等的局部。解：设(x,y)为所求曲线上任意一点，那么切线方程为：y=y,(x-x)+y那么与X轴，y轴交点分别为：X=Xoy=y0 -X。y那么x=2x0=X0-所以Xy=CyTT18 .求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为。的曲线方程，其中。二。解：由题意得：y=dy=-dxXyXlny=lnxcy=cx.a=那么y=tgaX所以C=Iy=x.419 .证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，那么y=kx那么：y=kx2+c即为所求。