新北师大九年级数学下册知识点总结.doc

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1、 . 九年级数学下册知识点归纳第一章 直角三角形边的关系一锐角三角函数1.正切：定义：在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tanA,即;tanA是一个完整的符号,它表示A的正切,记号里习惯省去角的符号；tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示tan乘以A；初中阶段,我们只学习直角三角形中,A是锐角的正切；tanA的值越大,梯子越陡,A越大；A越大,梯子越陡,tanA的值越大。2.正弦：定义：在RtABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sinA,即;3.余弦：定义：在RtABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作

2、cosA,即;锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。图2hi=h:llABC图1二特殊角的三角函数值30 45 60 sincostan1三三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角2.俯角：当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角3.规律：利用特殊角的三角函数值表,可以看出,当角度在090间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小。0sin1,0cos1。4.坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 。用字母i表示,即5.方位角：从某点的

3、指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30,南偏东45、南偏西为60,北偏西60。图4图37.同角的三角函数间的关系：互余关系sinA=cos、cosA=sin平方关系：商数关系：8.解直角三角形：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形须知一条边。9.直角三角形变焦关系：在ABC中,C为直角,A、B、

4、C所对的边分别为a、b、c,则有三边之间的关系：a2+b2=c2；两锐角的关系：AB=90；边与角之间的关系：面积公式:; 直角三角形的内切圆半径 直角三角形的外接圆半径10.三角函数的应用 11.利用三角函数测高 第二章 二次函数1.概念：一般地,若两个变量x,y之间对应关系可以表示成的形式,则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围。2. 图像性质：二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例,此时常数b=c=0.2抛物线的描述：开口方向、对称

5、性、y随x的变化情况、抛物线的最高或最低点、抛物线与x轴的交点。函数的取值范围是全体实数；抛物线的顶点在,对称轴是y轴。当a0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当a0时B、当a0时当a越大,抛物线开口越小；当a越小,抛物线的开口越大。最大值或最小值：当a0,且x0时函数有最小值,最小值是0；当a0,且x0时函数有最大值,最大值是0。3二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线,二次函数的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。4二次函数的图

6、象：是以直线为对称轴,顶点坐标为,的抛物线。开口方向和大小由a来决定|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长或下降速度越快；|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长或下降速度越慢。5二次函数的图象与yax2的图象的关系：的图象可以由yax2的图象平移得到：利用顶点坐标6二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴,顶点坐标为h,k的抛物线。开口方向和大小由a来决定7二次函数的性质：二次函数配方成则抛物线的对称轴：x=顶点坐标：,增减性：若a0,当x时,y随x的增大而增大。若a0,则当x时,y随x的增大而减小。最值：若a0,则当x=时,；若a0,则当x=

7、时,3.确定二次函数的表达式：待定系数法1一般式：2顶点式：2交点式：y=a4.二次函数的应用： 几何方面应用题5.二次函数与一元二次方程1二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一二次方程的两个实数根2抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：0 抛物线与x轴有2个交点；=0 抛物线与x轴有1个交点；0 抛物线与x轴有0个交点无交点；3当0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离：化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第三章 圆1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之

8、旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆,记作O,读作圆O集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心即定点,二是半径即定长。2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。3. 圆的对称性: 1 与圆相

9、关的概念：弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,以CD为端点的弧记为,读作圆弧CD或弧CD。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2圆是轴对称图形,直径所

10、在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论：平分一般弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备： 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5.圆周角和圆心

11、角的关系:1圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；3圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补; 6 确定圆的条件:1理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2经过三点作圆要分两种情况:经过同一直线上的三点不能作圆.经

12、过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.尺规作图7.三角形的外接圆、三角形的外心。三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.8.直线与圆的位置关系相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为r,圆心O到直线的距离

13、为d；dr 直线L和O相交.d=r 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.5切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.6三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. 9切线长定理：过圆外一点所画的

14、圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式.10.圆内接正多边形定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角,边心距是正多边形的边到圆心的距离.11.弧长及扇形的面积 弧长公式: 弧长 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 扇形的面积公式:扇形的面积 扇形的面积S扇形=LR212.与圆有关的辅助线如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.圆心向弦作垂线如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.直径添线成直角若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.切点圆心要相连7 / 7