贝塞尔大地主题正反算及其编程.doc

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1、存档日期： 存档编号： 江苏师范大学科文学院本科生毕业设计（论文）论 文 题 目： 贝塞尔大地主题正反算及程序设计姓 名： 姚瑶 系 别： 环境与测绘系 专 业： 测绘工程 年 级 、 学 号： 08测绘 、 088324135 指 导 教 师： 石双忠 江苏师范大学科文学院教务部印制31摘要 在大地测量计算过程中，大地主题解算计算繁琐复杂，手工计算易于出错，而且费时费力。随着计算机技术的高速发展，计算机计算的速度快、准确度高、计算机语言的丰富、编程可视化等优点为我们将复杂烦琐的计算过程简单、简洁、高效化带来了契机。为了便于工程计算，本课题着眼于研究借助计算机及其编程语言MATLAB来实现大地

2、主题解算问题。 大地主题解算方法，主要有高斯平均引数法、勒让德级数法、贝塞尔法。前两种方法受到大地线长度的制约，随着大地线两端点的距离加大，其解算精度明显降低。而贝塞尔法具有不受大地线长度制约的优点，解算精度最大不超过5毫米，是大地主题解算方法中解算精度最高的一种。因此，本文就以贝塞尔法为研究对象，开发贝塞尔大地主题解算小程序。关键词：贝塞尔大地主题正反算，程序设计Abstract In Geodetic computation process, the solution of geodetic problem computational complexity of manual calcul

3、ation, error prone, and took the time and trouble. With the rapid development of computer technology, computational speed, high accuracy, computer language, the advantages of rich programming visualization for we will complex complicated calculating process is simple, concise, efficient change bring

4、s opportunity. For the convenience of engineering calculation, this paper focus on the research of have the aid of computer and programming language MATLAB to realize the geodetic problem solving. Solution of geodetic problem method, mainly Gauss average argument method, Legendre series expansion me

5、thod, Bessel method. The former two methods by geodesic length constraints, along with the line ends point distance increase, the calculation precision significantly reduced. Bessel law is not affected by the advantages of geodesic length restriction, calculation accuracy of less than 5mm, is the th

6、eme of the earth solution method of calculating precision is highest kind. Therefore, this article on Bessel law as the object of study, the development of Bessel solution of geodetic problem of small procedures. Key words：Direct and inverse solution of geodetic problem，The designing of program目录摘要I

7、AbstractII1. 椭球面和球面上对应元素间的关系11.1 贝塞尔法解算大地问题的基本思想11.2 对应元素关系式12. 在球面上进行大地主题解算52.1 球面上大地主题正解方法62.2 球面上大地主题反解方法63. 贝塞尔微分方程的积分83.1 用于大地主题反算时的大地线长度公式83.2 用于大地主题正算时的大地线长度公式103.3 椭球面大地线端点经差与球面经差的关系式113.4 反解时，大地线长度和球面长度关系式的简化134. 贝塞尔大地主题正解算步骤154.1 计算起点的归化纬度154.2 计算辅助函数值154.3 计算系数154.4 计算球面长度154.5 计算经差改正数164

8、6 计算终点大地坐标及大地方位角165. 贝塞尔大地主题正解算MATLAB程序设计175.1 正算流程175.2 界面设计及功能模块编写186. 贝赛尔大地主题反解算步骤236.1 辅助计算236.2 用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差：236.3 计算系数及大地线长度S246.4 计算反方位角247. 贝塞尔大地主题反解算MATLAB程序设计257.1 反算流程257.2 界面设计及功能模块编写268 总结29参考文献31致谢29江苏师范大学科文学院本科生毕业设计 贝塞尔大地主题正反算及程序设计 1. 椭球面和球面上对应元素间的关系1.1 贝塞尔法解算大地问题的基本思想基本

9、思想：将椭球面上的大地元素按照贝塞尔投影条件投影到辅助球面上，继而在球面上进行大地问题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式，同时也要解决在球面上进行大地主题的解算。1.2 对应元素关系式 图 1-1椭球面与球面 如图 1-1所示，在椭球面极三角形中，用及分别表示大地线上某点的大地坐标，大地线长及大地方位角。在球面极三角形中，与之相应，用及分别表示球面大圆弧上相应点的坐标，弧长及方位角。在椭球面上，大地线微分方程为 （1.1）在单位圆球面上，易知大圆弧的微分方程为： （1.2） （1.3） （1.4） （1

10、5）为了简化计算，贝塞尔提出以下三个投影条件：（1）椭球面大地线投影到球面上为大圆弧；（2）大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；（3）球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。按照上述条件，在球面极三角形中，根据正弦定理得： （1.6）另外，根据大地线克莱劳方程 （1.7）比较两式，易知： （1.8）这表明在贝塞尔投影方法中，方位角投影保持不不变。至此，在贝塞尔投影的六个元素中，其中四个元素()的关系已经确定，余下的与,与的关系尚未确定。下面我们首先建立他们之间的微分方程。 根据第一投影条件，可使用（1.3）、（1.4）及（1.5）式，顾及第二投影条件（），则由（1.5）式可得： （1

11、9）将上式代入（1.3）式，得： (1.10)进而得到 （1.11） 现在我们研究以上三个方程的积分。首先对（1.10）式，可写成: （1.12）由于，则 （1.13）则 或 （1.14）式中C积分常数。根据贝塞尔投影第三条件确定常数C，由于，因为，于是。 再来研究（1.9）和（1.11）式，根据第三投影条件，他们可以写成 （1.15） （1.16）又因为 则 因此（1.15）及（1.16）式可以写成下式 （1.17） （1.18）以上两式称为贝塞尔微分方程，他们表达了椭球面上大地线长度与椭球面上大圆弧长度，椭球面上经差与球面上经差的微分关系，下面对这组方程进行积分： （1.19） （1.2

12、0）就可求得S与，L与的关系式。2. 在球面上进行大地主题解算 图 2-1球面 如图2-1所示，在球面上有两点和，其中P1点的大地纬度为，大地经度为，点的大地纬度为，大地经度为；和点间的大圆弧长为，的方位角为，其反方位角为，球面上大地主题正算是已知，要求，和经差；反算问题是已知，和经差，要求，及。 在球面上进行大地主题正反算，实质上是对极球面三角形的解算。为了解算极球面三角形可用采用多种球面三角形公式。在这里，我们给出正切函数式其优点是能保证反正切函数的精度。在有关计算中，反三角函数应用最少，易于编写计算机程序，从而使其得到实质性的改善。 现在我们首先把极球面三角元素间的基本公式汇总如下： （

13、2.1） （2.2） （2.3） （2.4） （2.5） （2.6）至此，在贝塞尔投影的六个元素中，其中四个元素 （2.7） （2.8） （2.9）2.1 球面上大地主题正解方法此时已知：，要求和经差。首先按（2.9）式计算，继而用下式计算： （ （2.1.1）为了确定经差，将（2.1）（2.6），得 （2.1.2）为求出反方位角，将（2.8）（2.7），得 （2.1.3）2.2 球面上大地主题反解方法反算问题是已知和经差，要求：及。为确定正方位角，我们将（2.1）（2.3）式，得 （2.2.1）式中 （2.2.2）为求定反方位角，我们将（2.2）（2.4）式，得 （2.2.3）为求解出球面距

14、离，我们首先将（2.1）式与相乘，（2.3）式与相乘，并将它们相加，将相得到的加结果再除以（2.5）式，得 （2.2.4）式中及见（2.2.2）式。3. 贝塞尔微分方程的积分 为了便于数值计算，有必要将（1.19）及（1.20）进行积分，展开为某个参数的具体函数式。3.1 用于大地主题反算时的大地线长度公式首先我们来探讨（1.19）式的积分图3-1 球面见图3-1 球面所示，将大圆弧延长与赤道相交于，此点处大圆弧方位角为，则在球面直角三角形中， 则 于是（1.20）式可写成 （3.1.1）式中b椭圆短半径。 对被积函数的常数引用符号 （3.1.2）则 （3.1.3） 为了便于积分，将被积函数展

15、开级数为： （3.1.4）很显然，由于k中含偏心率,所以它收敛快。 为了便于积分，将幂函数用倍数函数代替:合并同类相后，得 （3.1.5）对上式中的最后一项进行积分后，乘以椭球短半径b，得 甚至在最精密的计算中，它也可以忽略不计。其他三角函数积分后，分别得 （3.1.6） （3.1.7）所以，我们可以得到具有足够精度保证的S与的关系式： （3.1.8)式中 （3.1.9）将克拉索夫斯基椭球元素值代入上式，得 （3.1.10） 由此可知(3.1.8)式的解算精度与距离长短无关，其误差最大不超过0.005m。利用此式可计算从赤道开始至大圆弧任意一点的大地线的长度。为了计算两点间的大地线长度，对这两

16、点分别使用(3.1.8)式后，得： （3.1.11）因为,所以 （3.1.12）此式用于大地主题反算。3.2 用于大地主题正算时的大地线长度公式 当正算时，可采用趋近法和直接法。对于逐次趋近法，由(3.1.12)式可得 （3.2.1）第一次趋近时，初值可采用 （3.2.2）对于直接法，由（3.1.11）式第二式，得 （3.2.3）根据三角级数反解规则，由上式解出 (3.2.4)式中 (3.2.5)对于式右端第二项的数值很小，如果舍去，误差不会超过0.0001,故在许多情况下可以认为。 由于,顾及（3.1.11）式第一式，得 依据（3.2.2）式，上式可写为 （3.2.6）所以由（3.2.4）式

17、和（3.2.6）式，经某些变换后，可得 （3.2.7）此式即为对的直接解法公式，比（3.2.1）式有优点。3.3 椭球面大地线端点经差与球面经差的关系式 在积分前，必须对被积做某些变换，以使被积函数中的变量和积分变量一致。所以要探讨（1.20）式的积分。首先将被积函数展开级数，并对第一项积分后，得： （3.3.1）注意到 （3.3.2） 又根据贝塞尔投影条件，在球面三角形中有 则易得 （3.3.3）将（3.3.2）式及（3.3.3）式代入（3.3.1）式，得 （3.3.4）将三角函数的幂函数用倍数函数代替，并且合并同类项后，得： （3.3.5）上式右端的截断项，其值小于0.00015。 对于上

18、式积分，并代入及，则得到纬差计算公式：对于正算，有 （3.3.6）对于反算，有 （3.3.7）式中 （3.3.8）当将克拉索夫斯基椭球元素值代入，得系数 （3.3.9）用这些系数计算经差的误差不大于0.0002。3.4 反解时，大地线长度和球面长度关系式的简化下面我们来研究反解问题时，计算S和的更简化的公式。对于（3.1.12）式可改写为 （3.4.1）则 （3.4.2）为便于计算机编程计算，还需对上式进行一些变换。由于在球面三角形中有公式于是有根据，经某些变化则得此外把这些公式代入（3.4.2）式，可得： （3.4.3）引入符号 （3.4.4）将它代入到（3.4.3）式，得到反解时计算大地线

19、长度的公式 （3.4.5）然后将克拉索夫斯基椭球元素值代入，则 （3.4.6）（3.4.5）式的优点是不必计算及其三角函数值，且系数计算也简单。仿此，对（3.3.7）式变换后有 式中系数，对克拉索夫斯基椭球 （3.4.7）4. 贝塞尔大地主题正解算步骤已知：点的大地经纬度，和,两点间的大地方位角及大地线长度求：点的大地经纬度,和大地反方位角。4.1 计算起点的归化纬度4.2 计算辅助函数值4.3 计算系数对于克拉索夫斯基椭球，有4.4 计算球面长度4.5 计算经差改正数4.6 计算终点大地坐标及大地方位角符号+-符号+-+180-180符号-+符号+-+-180-180+360-,第一象限角。

20、5. 贝塞尔大地主题正解算MATLAB程序设计5.1 正算流程Begin输入a b B1 L1 A1 S计算起点归化纬度W1 sinu1 cosu1计算辅助函数值sinA0 cot1 sin21 cot21计算系数A B C 计算球面长度计算经差改正数B2 L2 A2输出B2， L2， A2算例：已知：=474652.6470;=354936.3300 =441213.664; S=44797.2826m求得：=480445.0004; =361452.6470 =2243053.5505.2 界面设计及功能模块编写（1）在开始运行系统时，首先呈现在用户面前的是图5-2-1所示的主界面。 图5

21、2-1贝塞尔大地主题解算界面在该界面窗体上:A.添加一个菜单编辑（Menu Editor）,该菜单用于链接椭球参数设置界面。B.一个静态文本框（Static Text),用于说明标题贝塞尔大地主题解算。C.两个单选框（Radios Button），用于选择正算和反算。D.两个命令按钮（Push Button),用于控制状态，可供用户选择确定和取消功能。a.右击确定按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图5-2-2所示图5-2-2单选框按钮代码编写b.右击确定按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图5-2-3所示图5-2-3确定按钮代

22、码（2） 选中正算按钮，然后点击菜单椭球参数设置界面。如图5-2-4所示该界面窗体上：A. 三个静态文本框（Static Text),一个用于说明标题椭球参数设置，两个用于注释椭球参数a和b.B.两个可编辑文本（Edit Text）,用于输入数据，即参数a和b的输入。C.两个命令按钮（Push Button),用于控制状态，可供用户选择确定和取消功能。 图5-2-4椭球参数设置界面a. 右击确定按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图5-2-5所示图5-2-5确定按钮代码b.右击取消按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图5-2-6所

23、示图5-2-6取消按钮代码（3） 点击图5-2-4界面上的确定按钮，然后点击即5-2-1界面上的确定按钮，即可进入正算界面。图5-2-7所示 图5-2-7正算界面在该窗体上：A.八个静态文本框（Static Text),用于说明标题正算，四个静态文本框用于注释要输入的数，即、和，另外三个用于计算时要输出的结果，即、和。B.两个命令按钮用于计算和退出功能。a.右击计算按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图5-2-8所示图5-2-8正算计算按钮代码b.同样右击退出按钮中的View Callbacks中的Callback，添加代码如图5-2-9 图5-2-9退出按钮代

24、码(4)在图5-2-7中静态文本框中输入已知数据，然后点击计算，则会出现如下界面 图5-2-10正算结果运行界面通过与上面的算例结果进行比较，该结果与算例中的小数点后面的数据有点误差，这是由于计算机取位的原因引起的。6. 贝赛尔大地主题反解算步骤已知：,两点的大地经纬度,和,。求：,两点间的大地线长S和正反大地方位角,。6.1 辅助计算 ， , , ， ， 6.2 用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差：第一次趋近时，取，符号+-符号+-+180-180+ 360- 符号+-180、第一象限的角度。系数及按（3-4-7）式计算，用算得的计算，依此，按上述步骤重新计算得再用计算，仿此

25、一直迭代，直到最后两次相同或小于给定的允许值。、及均采用最后一次计算的结果。6.3 计算系数及大地线长度S6.4 计算反方位角的符号确定与相同。7. 贝塞尔大地主题反解算MATLAB程序设计7.1 反算流程Begin计算A , B , C , S , A2计算， A1 ，, x , sinA0ii i , i=l+i , A1计算辅助函数W1 W2 sinu1 sinu2 cosu1 cosu2 L a1 a2 b1 b2输入a b B1 L1 L2 B2输出S , A1 , A2算例：已知:=474652.6470； =354936.3300 =480409.6384； =361445.00

26、04求得：S=44797.2826； =441213.664 =2243053.55047.2 界面设计及功能模块编写（1）在开始运行系统时，点击反算，呈现在用户面前的是图7-2-1所示的主界面。图7-2-1贝塞尔大地主题解算界面（2）点击左上角椭球参数设置菜单，如图7-2-2所示图7-2-2椭球参数设置界面（3） 在图7-2-2界面中点击确定，在主界面中点击确定，进入反算界面，如图7-2-3所示。图7-2-3反算界面在该窗体上：A.八个静态文本框（Static Text),用于说明标题反算，四个静态文本框用于注释要输入的数，即、和，另外三个用于计算时要输出的结果，即S、和。B.两个命令按钮用

27、于计算和退出功能。a. 右击计算按钮中的View Callbacks中的Callback,添加代码如图7-2-4所示。图7-2-4反算计算按钮代码b.同样右击退出按钮中的View Callbacks中的Callback，添加代码如图7-2-5所示。图7-2-5退出按钮代码(4)在图7-2-3中静态文本框中输入已知数据，然后点击计算，则会出现如下界面。图7-2-6反算运行结果界面通过与上面的算例结果进行比较，该结果与算例中的小数点后面的数据有点误差，这是由于计算机取位的原因引起的。8 总结大地主题解算的步骤过程非常复杂，公式繁多。传统的手工计算方法确实困难重重，严重不能满足现代测绘的高速、高效、

28、高精度、大批量处理的计算要求。因此，借助计算机语言编制大地主题解算的应用小程序具有现实意义和实用价值。本文编制的贝塞尔大地主题解算小程序，具有如下优点：（1） 界面美观、简洁、易读性强。无论正算还是反算，设计界面只有几个控件或菜单。布局合理，运行时使用者一目了然。（2） 计算速度快。实验表明，一旦程序运行起来，整个过程时间主要耗费在椭球参数设置与已知参数的输入上，计算机计算时间不到1秒，瞬间完成。（3）计算精度高。本文实例数据来次大地测量课程教材，其计算结果与教材上的计算结果高度一致。仅在小数点后面的数据有略微差异。（4）廉价、实用性强。目前，关于大地主题解算问题，网络、市场上都能找到付费软件

29、但开发这种小程序相当容易，这样即省经费，又有保障，并且随时可以使用。非常实用、方便。参考文献1孔祥元等.大地测量学基础.武汉大学出版社.2001.092张华海、王宝山、赵长胜等.应用大地测量学.中国矿业大学出版社.2008.083李海涛、邓樱.MATLAB程序设计教程.高等教育出版社.2002.084阮沈勇、王永利等.MATLAB程序设计.电子工业出版社.2004.015肖伟、刘忠等.MATLAB程序设计与应用.清华大学出版社.2005.08致谢 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，得到了很多人对我的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！ “饮其流时思其源，成吾学

30、时念吾师。”感谢我的导师石双忠老师，无论是从论文的选题到结构安排，还是从内容到文字的修饰，都得到了他的悉心指导。在这篇论文的设计过程中，石老师不辞辛劳，多次与我就论文中许多核心问题作深入细致地探讨，给我提出切实可行的指导性建议，并细心全面地修改我的毕业论文。石老师这种认真负责的精神，使我深受感动。在此，请允许我向尊敬的石双忠老师表示真挚的谢意！ “可怜天下父母心”，请容许我向我最爱的家人表示诚挚的谢意，想到他们，我总是感到温暖而安详。感谢我的爸爸、妈妈，正是因为有他们的鼓励和支持，才有了我的今天。他们的支持与鼓励，永远是支撑我前进的最大动力。 “何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时。”在此我还要感谢帮助我的同学，感谢教会我排版的晓英，感谢为了我可以尽快打印出论文而牺牲了自己的休息时间的室友们，大学生活有了你们的陪伴而更显精彩。 要感谢的人太多，要说得话也太多，尽管文字很无力，但我还是想用无力的语言表达我想说的话，所以借写论文致谢信之机向我的导师、父母、同学、表达我最诚挚的谢意！