辽宁省大连市2021高三数学一模试题含解析.doc

《辽宁省大连市2021高三数学一模试题含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁省大连市2021高三数学一模试题含解析.doc（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、辽宁省大连市2021届高三数学一模试题（含解析）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x24x0，Bx|x|2，则AB（）A（0，2）B（2，4）C（，2）（4，+）D（，2）（0，+）2已知z，i是虚数单位，则|z|（）A1BCD23已知两条不重合的直线m、n和平面，则mn的一个充分不必要条件是（）Am，nBm，nCm，nDm，n4熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用在数学中，利用熵可以解决如下问题：有n个互不相等的数，需要比较（log2n！）

2、次（n!表示n的阶乘；x表示的是向上取整函数，如2.13）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（）A8B9C10D115若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则C的离心率为（）A2BCD6我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P（B|A）（）ABCD7已知函数f（x）2sin（x+）（|），曲线yf（x）在点（，f（

3、处的切线与直线x3y+10互相垂直，则函数f（x）的图象向右平移个单位得到图象的解析式是（）Ay2cos（x）By2cosxCy2cos（x+）Dy2cos（x+）8如图所示，在三棱锥ABCD中，平面ACD平面BCD，ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，ABBC，AC2CB4，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A32B40CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9高中数学课程标准（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人

4、进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（）A甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高10已知a0，b0，且4a+bab，则（）Aab16B2a+b6+4Cab0D11已知抛物线C：x22py（p0）的准线方程为y2，焦点为F，O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是C上两点，则下列说法正确的是（）A点F的坐标为（0，2）B若|AB|16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8C若直线AB过点（0，4），则以AB为直径的

5、圆过点OD若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F12已知函数，则下列说法正确的是（）Af（x）是奇函数Bg（x）的图象关于点（1，2）对称C若函数F（x）f（x）+g（x）在x1m，1+m上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N4D令F（x）f（x）+g（x），若F（a）+F（2a+1）4，则实数a的取值范围是（1，+）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式（1+x）5展开式中含x2项的系数为 14我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔

6、的顶层到底层）则宝塔的顶层有 盏灯15已知平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BAD，平面内有动点E，满足|ED|2|EC|，则的取值范围为 16ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若该三角形的面积为，且sin（AB）（34cosA）sinB，则c的最小值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；注：

7、测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式（）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明18如图，在三棱台ABCDEF中，平面ABED平面BCFE，BABC，BC3，BEDEDAAB1（）求证：AE平面BCFE（）求直线DF与平面AEF成角的正弦值19已知正项数列an前n项之和为Sn，满足4Sn（an+1）2（）求数列an的通项公式（）若数列bn满足bn，其前n项和为Tn，证明：Tn20一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向

8、前跳2步，若出现反面向前跳1步（）若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望（）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n（nN*）的概率记为pn，求pn的最大值21已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在C上，且PF2F2F1（）求C的标准方程；（）设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与坐标轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上22已知函数f（x）xlnxax+a，aR（）求f（x）的极值点；（

9、若g（x）+x，证明：对任意m（，1，x1，x2（0，+）且x1x2，有1答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax|x24x0，Bx|x|2，则AB（）A（0，2）B（2，4）C（，2）（4，+）D（，2）（0，+）解：集合Ax|x24x0x|0x4，Bx|x|2x|2x2，ABx|2x4（2，4）故选：B2已知z，i是虚数单位，则|z|（）A1BCD2解：已知i（1i）1+i，|z|，故选：B3已知两条不重合的直线m、n和平面，则mn的一个充分不必要条件是（）Am，nBm，nCm，nDm，n解：A：由m，n，得m

10、与n可能平行，相交，异面，A错误，B：由m，n，得m与n可能平行，相交，异面，B错误，C：由m，n，根据垂直同一平面的两直线平行，得mn，反之不一定成立，C正确，D：由m，n，得m与n可能平行，相交，异面，D错误，故选：C4熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用在数学中，利用熵可以解决如下问题：有n个互不相等的数，需要比较（log2n！）次（n!表示n的阶乘；x表示的是向上取整函数，如2.13）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这些数从

11、小到大排序，需要比较的次数为（）A8B9C10D11解：根据题意有6个互不相等的数，需要比较（log26！）次，log26！log2720，且9log2512log2720log2102410，（log26！）10，故选：C5若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则C的离心率为（）A2BCD解：根据题意，设双曲线的一个焦点为（c，0），其中一条渐近线的方程为yx，即bx3y0，若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3，则有b3，则c6，则双曲线的离心率e；故选：A6我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三

12、方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P（B|A）（）ABCD解：某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P（A），P（AB），P（B|A）故选：D7已知函数f（x）2sin（x+）（|），曲线yf（x）在点（，f（）处的切线与直线x3y+10互相垂直，则函数f（x）的图象向右平移个单位得到图象的解析式是（）Ay2cos（x）By2cosxCy2cos（x+）Dy2cos（x+）解：函数f（x）2sin（x+）（|），则f（x）2c

13、os（x+），因为曲线yf（x）在点（，f（）处的切线与直线x3y+10互相垂直，故f（）2cos（+）2sin，所以sin，又|，所以，故f（x）2sin（x+），则函数f（x）的图象向右平移个单位得到图象的解析式为y2sin（x+）故选：A8如图所示，在三棱锥ABCD中，平面ACD平面BCD，ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，ABBC，AC2CB4，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A32B40CD解：设CD的中点为M，因为三角形ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，所以AMDMCM2，且AMCD，过M作MNCD，又平面ACD平面BCD，且平面ACD与平面BCD的交线为CD，所以MN平面

14、ACD，AM平面BCD，则三棱锥的外接球球心在MN上，设外接球的半径为R，由ABBC，则AB2，AMBM，则BMBC，又CM2BM2+BC2，所以三角形BCM为等腰直角三角形，设球心为O，CM的中点为P，则MPCPBP，则OM，即，解得R，所以三棱锥的外接球的表面积为S4R241040，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9高中数学课程标准（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达

15、图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（）A甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高解：根据雷达图可看出，甲的数学运算素养为5分，乙的为4分，A正确；甲的逻辑推理素养为4分，乙的为5分，B错误；甲的六个核心素养中只有数学运算素养为5分，C正确；乙的六个核心素养中，有3个为5分，D错误故选：AC10已知a0，b0，且4a+bab，则（）Aab16B2a+b6+4Cab0D解：a0，b0，ab4a+b2，当且仅当ab时取等号，解得ab16，即ab的最小值为16，

16、A正确；由已知得1，所以2a+b（2a+b）（）6+6+4，当且仅当时取等号，B正确；由已知无法判断a，b的大小，故ab0无法判断，C错误；因为1，所以，所以1，结合二次函数的性质可知，即b8时取等号，此时取得最小值，故以，D正确故选：ABD11已知抛物线C：x22py（p0）的准线方程为y2，焦点为F，O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）是C上两点，则下列说法正确的是（）A点F的坐标为（0，2）B若|AB|16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8C若直线AB过点（0，4），则以AB为直径的圆过点OD若直线OA与OB的斜率之积为，则直线AB过点F解：抛物线C：x22py（p0）的准

17、线方程为y2，C的解析式为：x28y，对于A：准线方程为y2，故焦点F（0，2），故A正确；对于B：设lAB：ykx+b（k0），则，整理得：x28kx8b0，故x1+x28k，x1x28b，故AB中点为（4k，4k2+b），|AB|16，b2k2，d4k2+b+2k2+2（k2+1）2226，当且仅当2（k2+1）时“”成立，故B错误；对于C：设lAB：ykx+4，则b4，则|AB|4，AB的中点（4k，4k2+4）到O的距离d4，故以AB为直径的圆不过点O，故C错误；对于D：KOAKOB，x1x2168b，故b2，即lAB：ykx+2，过F（0，2），故D正确故选：AD12已知函数，则下列

18、说法正确的是（）Af（x）是奇函数Bg（x）的图象关于点（1，2）对称C若函数F（x）f（x）+g（x）在x1m，1+m上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N4D令F（x）f（x）+g（x），若F（a）+F（2a+1）4，则实数a的取值范围是（1，+）解：A：x+1（x1）0恒成立，函数f（x）的定义域为R，f（0）lg（+1）0，f（x）不是奇函数，A错误，B：将g（x）的图象向下平移两个单位得y2，向左平移一个单位得h（x），h（x）h（x），h（x）图象关于（0，0）对称，g（x）的图象关于（1，2）对称，B正确，C：将f（x）的图象向左平移一个单位得m（x）lg（x），m（x）+m（

19、x）lg（+x）+lg（x）lg10，m（x）为奇函数，f（x）关于（1，0）对称，F（x）若在1+a处取得最大值，则F（x）在1a处取得最小值，则F（1+a）+F（1a）f（1+a）+f（1a）+g（1+a）+g（1a）0+44，C正确，D：F（a）+F（2a+1）4f（a）+f（12a）+g（a）+g（12a）4，f（x）lg（x+1）lg+（x1），设m（x）lg（x），tx，t+10，tx为增函数，m（x）lg（x）为增函数，f（x）lg（x+1）lg+（x1）为减函数，又g（x）1+为减函数，F（x）为减函数，F（x）的图象关于（1，2）对称，F（a）+F（2a+1）4F（a）+F（

20、2a）F（2a+1）F（2a）则2a+12a，a1，D正确故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式（1+x）5展开式中含x2项的系数为10解：由于二项式（1+x）5的展开式的通项公式为 Tr+1xr，r0，1，5，故展开式中含x2的项的系数是10，故答案为：1014我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）则宝塔的顶层有3盏灯解：根据题意，设从上到下，每层的灯的数目组成数列an，则数列an是公比为2的等比数列，则有S7127

21、a1381，解可得a13，即宝塔的顶层有3盏灯，故答案为：315已知平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BAD，平面内有动点E，满足|ED|2|EC|，则的取值范围为12，24解：因为平行四边形ABCD中，AB3，AD4，BAD，建立如图所示坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（5，2），D（2，2），设E（x，y），平面内有动点E，满足|ED|2|EC|，（x2）2+（y2）24（x5）2+（y2）2，即：（x6）2+（y2）24，故（x6）244x8，（3，0）（x，y）3x12，24故答案为：12，2416ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若该三角形的面积为，且sin（A

22、B）（34cosA）sinB，则c的最小值为解：因为sin（AB）（34cosA）sinB，所以sinAcosBsinBcosA3sinB4sinBcosA，即sinAcosB3sinB（1cosA），故a3b，整理得b2+c2a23bcc2，所以cosA，因为SABC，所以sinA，因为sin2A+cos2A1，所以（）2+（）21，化简得，由0，得c4100，所以c，所以c的最小值为故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可

23、测量长度）、量角器（可测量平面角度）（）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式（）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明解：（）选用测角仪与米尺即可，如图所示：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上；在H、G两点用测角仪测得A的仰角分别为、，CDa，测得测角仪的高度是h；经计算得建筑物AB+h（或+h）；（）测量工具问题；两次测

24、量时位置的间距差；用身高代替测角仪的高度（注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可）18如图，在三棱台ABCDEF中，平面ABED平面BCFE，BABC，BC3，BEDEDAAB1（）求证：AE平面BCFE（）求直线DF与平面AEF成角的正弦值【解答】（）证明：取AB中点M，连接ME、MD，因为BEDEDAAB1，所以四边形ADEM和四边形BEDM都是菱形，MBE为正三角形，所以AEMD，因为BEMD，所以AEBE，因为平面ABED平面BCFE，平面ABED平面BCFEBE，所以AE平面BCFE（）解：由（）知AE平面BCFE，所以AEEF，因为BABC，所

25、以EFED，又因为AEEDE，所以EF平面ADE，因为EF平面AEF，所以平面AEF平面AED，因为DNAE，所以DN平面AEF，DNMD，在三棱台ABCDEF中，因为EDAB，所以DF，所以直线DF与平面AEF成角的正弦值为19已知正项数列an前n项之和为Sn，满足4Sn（an+1）2（）求数列an的通项公式（）若数列bn满足bn，其前n项和为Tn，证明：Tn解：（）正项数列an前n项之和为Sn，满足4Sn（an+1）2当n2时，4Sn1（an1+1）2得：anan12或an+an10（舍去），故anan12，当n1时，解得a11，所以an2n1证明：（）由（）得：，所以，所以，当n1时，当

26、n2时，当n3时，当n4时，由于（n2），则故20一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步（）若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望（）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n（nN*）的概率记为pn，求pn的最大值解：（）设甲向前跳的频数为Y，乙向前跳的频数为Z，则P（Y2）P（Z2），P（Y3）P（Z3），P（Y4）P（Z4），P（YZ）由知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，P（X4），P（X5），P（X6），P（X7），P（X8），X的分

27、布列为： X 45 6 7 8 P E（X）6（）由题意知p1，p2，当n3时，pn，pnpn1（pn1pn2）（pn2pn3）（）n2（p2p1）（）n，pn（）n+，（n3），p1，p2，pn+，当n为奇数时，pn，当n为偶数时，Pn，且数列Pn为递减数列，pn的最大值为21已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在C上，且PF2F2F1（）求C的标准方程；（）设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与坐标轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上解：（）PF2F2F1；c1，则F1（1，0），F1（

28、1，0），|PF2|+|PF1|2a，a2，b23，C的标准方程为（）证明设直线yk（x1），M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），由题意知A（2，0），B（2，0），联立直线和椭圆得（3+4k2）x28k2x+4k2120，所以，由A，M，Q三点共线得，由B，N，Q三点共线得，所以，代入，所以，代入，化简得，由题意知x02，解得x04，所以点Q在直线x4上22已知函数f（x）xlnxax+a，aR（）求f（x）的极值点；（）若g（x）+x，证明：对任意m（，1，x1，x2（0，+）且x1x2，有1解：（）f（x）xlnxax+a（x0），f（x）lnx+1a，由f（x）0，解

29、得：xea1，由f（x）0，解得：0xea1，故f（x）在（0，ea1）递减，在（ea1，+）递增，故函数f（x）有极小值点xea1，无极大值点；（）证明：由（）可知当a1时，f（x）0，故xlnxx1，当且仅当x1时“”成立，又x1，当0x1时，x10，ex110，故0，当x1时，0，当x1时，x10，ex110，故0，故x0时，x1，当且仅当x1时“”成立，故xlnx成立，当且仅当x1时“”成立，令h（x）g（x）x，则h（x）xlnx，m1，h（x）0，函数h（x）在（0，+）的任意子区间内不恒为0，故h（x）在（0，+）上为增函数，不妨设x1x20，则h（x1）h（x2），故g（x1）x1g（x2）x2，故1